江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题及答案

1、最新资料推荐2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上 .1.已知集合 A1,1 ， B 3,0,1 ，则集合 A I B2.已知复数 z 满足 z i 34i （ i 为虚数单位） ，则 z3.双曲线 x2y21 的渐近线方程为434.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600 . 现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21 ，则 n5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1， 2 ， 3 ， 4 ）先后抛掷 2 次，观察其朝

2、下一面的数字，则两次数字之和等于6 的概率为6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为 8cm2 ，则它的体积为cm3 8.设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 a2 a4 2 ， S2 S41，则 a109.已知 a0 ， b 0 ，且 23ab ，则 ab 的最小值是ab10. 设三角形 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 tan A3c b ，则tan Bbcos A1最新资料推荐aex , x111.已知函数 f (x)x4 , x（ e 是自然对数的底）. 若函数 yf ( x) 的最小

3、值是4 ，1x则实数 a 的取值范围为12.uuuruuur4 ，ACB2在 ABC 中，点 P 是边 AB 的中点，已知 CP3 ， CA3，则uuuruuurCP CA13.已知直线 l ： xy20 与 x 轴交于点 A ，点 P 在直线 l 上，圆 C ： ( x2) 2y22上有且仅有一个点B 满足 ABBP ，则点 P 的横坐标的取值集合为14.若二次函数 f ( x)ax2bxc ( a 0) 在区间 1,2上有两个不同的零点，则 f (1)的取a值范围为二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分 . 请在答题卡指定区域 内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .rr)

4、.15. 已知向量 a ( 2 sin,1) ， b (1,sin(4（1）若角 的终边过点 (3, 4) ，求 a b 的值；（2）若 a / / b ，求锐角的大小 .16. 如图，正三棱柱 ABCA1B1C1 的高为6 ，其底面边长为2 . 已知点 M ， N 分别是棱A1C1 ， AC 的中点，点D 是棱 CC1 上靠近 C 的三等分点 .求证：（ 1） B1M / / 平面 A1BN ；（2） AD平面 A1BN .2最新资料推荐17. 已知椭圆 C ： x2y2 1 ( ab 0) 经过点 (3, 1 ) ， (1,3) ，点 A 是椭圆的下顶点 .a2b222（1）求椭圆 C 的

5、标准方程；（2）过点 A 且互相垂直的两直线l1 ， l 2 与直线 yx 分别相交于 E ， F 两点，已知OE OF ，求直线 l1 的斜率 .18. 如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为 6 ， O 是圆心，且 OCAB . 在 OC 上有一座观赏亭 Q ，其中AQC2. 计划在 BC 上再建一座观赏亭 P ，记3POB (0) .2（1）当时，求OPQ 的大小；3（2）当OPQ 越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角的正弦值 .19. 已知函数f (x)x3ax2bxc ， g( x) ln x .（1）若 a0 ， b2，且 f (

6、x)g( x) 恒成立，求实数 c 的取值范围；（2）若 b3 ，且函数 yf ( x)在区间 ( 1,1) 上是单调递减函数 .求实数 a 的值；f (x), f (x)g( x)当 c 2 时，求函数 h( x)g( x)g (x), f (x)的值域 .20. 已知 Sn 是数列 an 的前 n 项和， a13，且 2Snan 13 (nN * ) .（1）求数列 an 的通项公式；（2）对于正整数 i ， j ， k (i jk) ，已知a j ， 6ai ，ak 成等差数列， 求正整数，的值；3最新资料推荐（3）设数列 bn 前 n 项和是 Tn ，且满足：对任意的正整数n ，都有等

7、式a1bna2 bn 1 a3bn 2anb1 3n 1 3n 3 成立 . 求满足等式 Tn1的所有正整数 n .an32017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）21. 【选做题】在 A， B， C， D 四小题中只能选做两题，每小题 10 分，共计 20分 . 请在答题卡指定区域内作答， 解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 .A. 选修 4-1 ：几何证明选讲如图， AB 是圆 O 的直径， D 为圆 O 上一点，过点 D 作圆 O 的切线交 AB 的延长线于点C ，且满足 DADC .（1）求证：AB2BC ；（2）若 AB2 ，求线段 CD 的长

8、 .B. 选修 4-2 ：矩阵与变换4012a已知矩阵 A1， B，列向量 X.005b（1）求矩阵 AB ；（2）若 B 1A 1 X5，求 a ， b 的值 .1C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知圆C经过点(2 2, )，圆心为直线sin()3 与极轴的交P34点，求圆 C 的极坐标方程 .D. 选修 4-5 ：不等式选讲已知 x ， y 都是正数，且xy1，求证： (1xy2 )(1yx2 )9.4最新资料推荐【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分. 请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22. 如图，在

9、四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PD 垂直于底面 ABCD ，PDAD2 AB ，点 Q 为线段 PA （不含端点）上一点.（1）当 Q 是线段 PA 的中点时，求CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值；（2）已知二面角 QBDP 的正弦值为 2 ，求PQ 的值 .3PA23.在含有 n 个元素的集合An 1,2, , n 中，若这 n 个元素的一个排列 （ a1 ，a2 ， an ）满足 ai i (i1,2, n) ，则称这个排列为集合An 的一个错位排列（例如：对于集合A31,2,3，排列(2,3,1)是 A3 的一个错位排列；排列 (1,3, 2) 不是 A3 的一个

10、错位排列） .记集合 An 的所有错位排列的个数为Dn .（ 1）直接写出 D1 ， D 2 ， D3 ， D4 的值；（ 2）当 n 3 时，试用 D n 2 ， D n 1 表示 D n ，并说明理由；（3）试用数学归纳法证明：D2n (nN * ) 为奇数 .5最新资料推荐2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学试题参考答案一、填空题1.12.53.6.25437.8.311.ae412.613.y3 x4.635.321689.2610.131 ,514.0,1)3二、解答题15. 解：（ 1）由题意 sin43， cos，55所以 a b2 sinsin(a)

11、2 sinsincos4cossin4442423232552522.（2）因为 a / /b ，所以2 sinsin(a) 1 ，即2 sin(sincoscos sin ) 1 ，444所以 sin 2sincos1，则22cos0tan1sincos1sincos，对锐角有，所以，所以锐角.416. 证明：（1）连结 MN ，正三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1/ / CC1 且 AA1 CC1 ，则四边形 AAC1 1C 是平行四边形，因为点M 、 N 分别是棱 A1C1 ， AC 的中点，所以 MN / / AA1 且MNAA1 ，又正三棱柱 ABCA1B1C1 中 AA1/

12、 / BB1 且 AA1BB1 ，所以 MN / / BB1 且 MNBB1 ，所以四边形 MNBB 1 是平行四边形，所以B1 M / / BN ，又 B1M平面 A1BN ， BN平面A1 BN ，所以 B1M / / 平面 A1BN ；6最新资料推荐（2）正三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AA1 平面 ABC ，BN平面 ABC ，所以 BNAA1 ，正ABC 中， N 是 AB 的中点，所以 BNAC ，又 AA1 、 AC平面 AAC1 1C ，AA1 IACA ，所以 BN平面 AAC1 1C ，又 AD平面 AAC1 1C ，所以 ADBN ，由题意， AA6 ， AC 2

13、， AN 1， CD6AA1AN3，所以，13ACCD2又A1 ANACD，所以A1 AN 与ACD 相似，则AA1NCAD ，2所以ANA1CADANA1AAN1，2则 ADA1N ，又 BN I A1NN ， BN ， A1 N平面 A1BN ，所以 AD平面 A1 BN .31111a24b2a24 ，17. 解：（ 1）由题意得，解得13111a24b2b2所以椭圆 C 的标准方程为 x2y21 ；4（2）由题意知A(0,1) ，直线 l1 ， l2 的斜率存在且不为零，7最新资料推荐设直线 l1 ： yk1x1，与直线 yx 联立方程有yk1 x 1，得 E(1,1yxk11) ，k

14、11设直线 l2： y1x 1 ，同理 F (1,1) ，k11111k1k1因为 OEOF ，所以 |1|1| ，|1k111k111， k110 无实数解；11k1k11k111， k112， k122k11 0 ，解得 k112，k1111k1k1综上可得，直线l1 的斜率为 12 .18. 解：（ 1）设OPQ，由题， RtOAQ 中， OA3，AQOAQC2，33所以 OQ3 ，在OPQ 中， OP3 ，POQ223，6由正弦定理得OQOP，OPQsinsinOQP即33，所以3sinsin()sin(5) ，sinsin()666则 3sinsin 5coscos 5sin1 co

15、s3 sin，所以3 sincos ，6622因为为锐角，所以 cos0 ，所以 tan3，得；36（2）设OPQ，在OPQ 中， OP3 ，POQ2236，8最新资料推荐由正弦定理得OQOP，即33，OPQsinOQPsinsinsin()2所以3sinsin()sin() cos()22coscossinsin，从而 (3sin)sincoscos，其中3sin0 ， cos0 ，cos所以 tan，3sin记 f ()cos， f( )13 sin，(0,) ；3 sin( 3sin) 22令 f ()0 ， sin3(0,) 使得 sin33，存在唯一00，23当(0, 0 ) 时 f

16、 ()0 ， f () 单调增，当( 0 ,2) 时 f() 0， f () 单调减，所以当0 时， f () 最大，即 tanOPQ 最大，又OPQ 为锐角，从而OPQ 最大，此时sin3.3答：观赏效果达到最佳时，的正弦值为3 .319. 解：（ 1）函数 yg( x) 的定义域为 (0,) . 当 a0 ， b2， f ( x)x32x c ， f (x)g ( x) 恒成立， x32 x cln x 恒成立，即 cln xx32x .令 ( x)ln xx313x212x3x3(1x)(13x3x2 )2x ，则 (x)2xx，x令(x)0，得x1，( x) 在 (0,1 上单调递增，

17、令(x)0，得x1，( x) 在 1,) 上单调递减，当 x1时， ( x) max(1)1. c1 .9最新资料推荐（2）当 b3 时， f ( x)x3ax23xc ， f ( x)3x22ax 3 .由题意， f ( x)3x22ax30 对 x(1,1)恒成立，f (1) 32a30.， a 0，即实数 a 的值为 0f ( 1) 3 2a 3 0函数 yh(x)的定义域为 (0,) .当 a 0， b3 ， c2 时， f (x) x33x 2 .f (x)3x23，令 f (x)3x230 ，得 x1 .x(0,1)1(1,)f ( x)-0+f ( x)极小值 0Z当 x(0,1

18、) 时， f ( x) 0，当 x1 时， f ( x)0 ，当 x(1,) 时， f ( x)0 .对于 g(x)ln x ，当 x(0,1) 时， g(x)0，当 x1 时， g ( x)0 ，当 x(1,) 时，g( x) 0 .当 x(0,1) 时， h( x)f ( x)0 ，当 x1时， h( x)0 ，当 x(1,) 时， h( x)0 .故函数 yh(x)的值域为 0,).20. 解：（ 1）由 2Snan1 3 (nN * ) 得 2Sn1an 23 ，两式作差得 2an1an 2an 1 ，即 an 23an 1 (nN * ) .a1 3 ， a22S139 ，所以 an

19、 13an(nN * ) ， an0 ，则 an 13(nN * ) ，所an以数列 an 是首项为 3 公比为3的等比数列，所以 an3n(nN * ) ；（2）由题意ajak2 6ai，即3 j3k2 6 3i ，所以 3ji3k i12 ，其中 ji1， ki2 ，10最新资料推荐所以 3j i33 ， 3k i99 ，123 j i3k i12 ，所以 ji1 ， k i2 ，1；（3）由 a1bna2 bn 1a3bn 2anb13n 1 3n 3 得，a1bn 1a2bna3bn 1anb2an 1b13n 23(n 1)3，a1bn 13(a1bna2 bn 1an1b2anb1

20、 ) 3n 23(n1) 3 ，a1bn 13(3n13n3) 3n23(n1)3 ，所以 3bn 13n 23(n1)33(3n13n3)，即 3bn 16n3，所以 bn 12n 1 ( n N * ) ，又因为 a1b131 13 133，得 b11，所以 bn2n1 ( nN * ) ，从而 Tn 1 3 5(2 n 1)12n12*Tnn2*) ，n n ( n N) ，n(n N2an3当 n 1 时 T11 ；当 n2 时 T24 ；当 n3 时 T31 ；a13a29a33下面证明：对任意正整数nTn1，3 都有an3(n 1)2 1n 1n2 1nn1n 1Tn 1Tn1(

21、n 1)23n2 )1( 2n22n 1) ，an 1an3333当 n3 时，2n22n1(1 n2 )n(2n)0 ，即 Tn1Tn0 ，an1an所以当 n3 时， Tn 递减，所以对任意正整数n3都有 TnT31；anana33综上可得，满足等式Tn1的正整数 n 的值为13 .an3和2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（附加题）参考答案21. 【选做题】A. 选修 4-1 ：几何证明选讲11最新资料推荐证明：（ 1）连接 OD ， BD . 因为 AB 是圆 O 的直径，所以ADB 90o ， AB 2OB .因为 CD 是圆 O 的切线，所以CDO 9

22、0o ，又因为 DADC ，所以 AC ，于是 ADBCDO ，得到AB CO ，所以 AOBC ，从而 AB2BC .（2）解：由 AB2及 AB 2BC 得到 CB1 ， CA3 . 由切割线定理，CD 2CB CA13 3 ，所以 CD3 .B. 选修 4-2 ：矩阵与变换401248解：（ 1） AB1050；05（2）由 B 1 A 1 X5，解得 X548528，又因为 Xa1AB0515，所以1ba 28， b 5 .C. 选修 4-4 ：坐标系与参数方程解：在 sin()3 中，令0 ，得2 ，3所以圆 C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆 C 的半径 PC(2 2) 222

23、22 2 2cos2 ，4于是圆 C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos.D. 选修 4-5 ：不等式选讲证明：因为 x ， y 都是正数，所以 1 x y 233 xy20 ， 1 y x233 yx20，12最新资料推荐(1 xy2 )(1 yx2 )9xy ，又因为 xy1，所以 (1x y2 )(1yx2 ) 9 .【必做题】22. 解：（ 1）以 D 为原点， DA ， DC ， DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设ABt ，则 D (0,0,0) ， A(2t,0,0) ， B(2 t,t ,0) ， C (0, t ,0) ， P(0,0,2 t ) ， Q (t,0

24、, t) ；uuuruuuruuur(0,0, 2t ) ，所以 CQ(t , t, t ) ， DB(2t ,t ,0) ， DPuruuururDBn10设平面 PBD 的法向量 n1( x, y, z) ，则 uuurur，DPn102txty即02tzuruuurcosn1 ,CQ0，解得ur uuur nur1 CQuuur n1 CQ2xy 0ur(1, 2,0) ，所以平面 PBD 的一个法向量 nz013t1553t，5则 CQ 与平面 PBD 所成角的正弦值为15.5（2）由（ 1）知平面 PBD 的一个法向量为ur(1,2,0) ，设 PQ(01) ，则n1uuuruuuruuuruuuruuurPA(0,0,2 t )(2t ,0,2t)(2t,0,2 t (1) ，PQPA ， DQDPPQuuuruuruuuruur( x, y, z) ，则DQn20DB(2t, t,0) ，设平面 QBD 的法向量 n2uuuruur，即DB n