数理方程课件5-1

1、第五章 Legendre多项式,李莉 ,5.1 Legendre方程与Legendre多项式的引出,例：在本来匀强的静电场 中，放置一个导体球，球的半径为a，试研究导体球怎样改变了匀强电磁场。,解： 这个问题是三维静电场问题，球外电势满足Laplace方程，在距球无穷远处，电场保持为原来的 。,以球心为原点取球坐标系，则定解问题是：,在球坐标系中，Laplace方程的表达式是：,用分离变量法求解，设：,代入到方程中，得：,(5.1.4),将关于 的变量和关于 的变量分离：,用 遍乘上式，并适当移项，可得：,由此可得两个微分方程：,（5.1.5）,和,（5.1.5）,对上面第二个方程，再将变量

2、分离开来：,由此再得两个常微分方程：,(5.1.6a),即,(5.1.6b),以及,(5.1.7a),(5.1.7a),对方程（5.1.7a）作变换 可得：,代入5.1.7a，得：,即：,(5.1.7b),即,(5.1.7c),至此球坐标系下的Laplace方程分离变量的结果是得到三个常微分方程：,（5.1.5）,(5.1.6b),(5.1.7c),（5.1.5）,(5.1.6b),(5.1.7c),方程(5.1.5)加上周期性条件,(5.1.8),构成本征值问题，解之得到：,方程（5.1.6）是Euler方程，令 ，解之得：,（5.1.10）,（5.1.9）,方程（5.1.7）叫做关联Leg

3、endre方程。在m=0时，退化为Legendre方程：,（5.1.11）,m=0物理含义：轴对称问题，即场量u与角度 无关，只是 和 的函数。,重新考虑定解问题,非齐次边界条件（5.1.2）是引起场量u发生变化的唯一根源，这个非齐次函数不是角变量 的函数，所以问题具有轴对称性。,（5.1.11）,在第三章中，我们已经求出了Legendre方程(5.1.11)的通解，并且指出，Legendre方程(5.1.11)加上自然条件,（5.1.12）,构成本征值问题，其本征值和本征函数依次是：,综上，定解问题(5.1.1)-(5.1.3)在具有轴对称性质的假设下，具有本征解：,（5.1.14）,将这些

4、解叠加起来，得到级数解为：,（5.1.15）,下一步：利用Legendre多项式的性质，确定未知常数。,当 时，方程为关联Legendre方程：,(5.1.7c),令,(5.1.16),则函数Y满足：,(5.1.17),另一方面，利用微商的莱布尼兹法则：,将勒让德方程,对x求m次微商，可得：,其中,（II）,即：,满足自然条件（5.1.12）的Legendre方程的解是legendre多项式 ，,满足同样边界条件的关联Legendre方程的本征函数称为关联Legendre多项式，记作,所以,一般解：,本征解：,比较（5.1.17）和（5.1.17），可知：,（5.1.17）,（5.1.17）,

5、代回,可得：,5.2 Legendre多项式的性质,Legendre多项式的微分表示,Legendre多项式：,l为偶数,l为奇数,现在我们来证明，Legendre多项式还可表示成如下的微分形式：,（5.2.1）,证明：将式（5.2.1）中的 按二项式定理展开，可得：,Rodrigues公式由此得证。,（5.2.1）,将其中的l次微商实施。凡是x的幂次2l-2k低于l的项在微商过程中都成为零，留下的项必满足： ，即,故,利用Rodrigues公式，可方便地给出低阶的几个Legendre多项式的显式：,（5.2.2）,的奇偶性由l的奇偶性来决定。,（5.2.3）,由图可见，,Legendre多项

6、式的积分表示,1）. 施列夫利（Schlufli）积分,根据复变函数的Cauchy积分公式,的微分表示又可变为积分表示：,其中C是在z平面上围绕z=x点的任一闭合回路。,2）. Laplace积分,将积分回路C选成：以z=x为圆心，以 为半径的圆周,（5.2.5）,在积分回路上：,将以上各式代入式,经过整理简化，可得：,（5.2.6）,按 ，从x变回 ，可得：,（5.2.7）,Legendre多项式的Laplace积分,利用该式，可得Legendre多项式的一些特殊值。比如：,Legendre多项式的母函数,如果一个函数按其某个自变量的幂级数展开时，其系数是Legendre多项式，则称该函数为

7、Legendre多项式的母函数，或称生成函数。,即如果有,则称 为Legendre多项式的母函数。,例：考察电量为 ，位于半径为1的单位球北极N处的点电荷在球 内一点 处所产生的电势是,其中,（5.2.8）,另一方面，球内电势满足：,在球坐标系中，由于电荷放在极轴上，它所产生的静电场是轴对称的，与变量 无关。,一般解为：,（5.2.9）,比较（5.2.8）和（5.2.9），有：,（5.2.8）,（5.2.10）,因为,所以：,（5.2.10）,为确定系数 ，取特殊位置,并利用 ，式（5.2.10）化为：,因为 ，上式左端可展成Talor级数，即,比较两边的系数，可知：,式（5.2.10）化为：

8、,（5.2.11）,或,（5.2.12）,由此可见，Legendre多项式 是函数 在 的邻域中进行级数展开时所得的系数。因此，该函数称为Legendre多项式 的母函数。,类似地，在球外一点,（5.2.13）,或,（5.2.14）,Legendre多项式的递推公式,（5.2.15）,（5.2.16）,（5.2.17）,证明式（5.2.15）。,将母函数公式,的两边对r求一次微商，可得：,再用 乘上式两边，可得：,比较等式两边 的系数，可得：,移项并整理：,结论得证。,Legendre多项式的正交归一性,Legendre多项式在-1,1上满足如下正交归一关系：,（5.2.18）,第一式称为正交

9、性，第二式是Legendre多项式的模方：,证明：Legendre方程加上边界条件,构成Sturm-Liouville本征值问题。于是Legendre多项式具有正交性。,于是第一式成立。,也可给出证明如下：,和 分别为l阶、k阶Legendre方程的一个特解，故有：,以 乘第一式， 乘第二式，再把结果相减，然后积分得：,对前两项利用分部积分：,即,因为 ，所以,第一式得证。,下面证明第二式。,由母函数关系式,有,将上式两边对x积分，并应用正交性，有：,故有,比较 的系数，有：,（5.2.20）,记 为 的模方，而 为 的归一化因子，,因为函数 在-1,1上归一：,（5.2.21）,按 的广义F

10、ourier级数展开,按Sturm-Liouville型本征值问题的一般结论，本征函数族 是完备的。如果定义在区间-1,1的函数f(x)具有连续二阶导数，且满足与 相同的边界条件，则可按 展成绝对且一致收敛级数,（5.2.22）,Fourier-Legendre级数,其系数的计算公式为：,（5.2.23）,如果使用原来的变量 ，则有：,（5.2.24）,其中,（5.2.25）,一个重要公式,（5.2.26）,证明：写出Legendre方程的Sturm-Liouville型形式：,（5.2.27）,（5.2.28）,用 乘式（5.2.27）， 乘式（5.2.28），结果相减再积分，得：,对左端两

11、项实施分部积分，未积出的部分相互抵消，从而结论得证。,例1：在-1,+1上将 函数按 展开成FourierLegendre级数。,解：设,求系数有两种方法：,一种是按公式(5.2.23)，将 代入，利用洛德利格斯公式（微分），采用分部积分技巧等。较繁琐。,另一种为比较系数法。,我们知道,所以,由此可见，展开系数为：,例2：计算积分,解：方法一,方法二： 利用递推公式,有：,因为,于是,例3：设f(x)是一个k次多项式，证明当kn时， 即f(x)和 在-1,+1上正交。,证明：利用Legendre多项式的微分表示：,有：,上式右端第一项之值为零，在对第二项分部积分k-1次，并注意f(x)是一个k

12、次多项式， 是常数，于是上式变为：,5.3 Legendre多项式的应用,第1节开始时提到的问题：在均匀电场 中放置一个导体球球的半径为a，求在球外区域中的电场。,定解问题：,其级数形式的一般解为：,(5.3.4),利用Legendre多项式的性质来确定待定系数。,先利用条件(5.3.2)，将式(5.3.4)代入，可得：,比较两边的系数，可得：,(5.3.5),将上式代入一般解(5.3.4)，得到：,(5.3.6),再利用条件(5.3.3)来确定系数,将上式代入以后，得到：,比较系数可得：,解得：,将它们代入式(5.3.4)，得到最后的解是：,其中第一项就是原来的匀强电场，第二项是导体球上感应电荷的影响，与 成正比，说明在远离球面的地方，这个影响将消失。,(5.3.7),(5.3.8),例4：在半径为a的球面上，电势分布为 ，试求在球内、外区域中的电势分布,解： (1) 球内电势满足,(5.3.10),因为问题具有轴对称性，故一般解为：,(5.3.13),下面用边界条件确定系数。,(5.3.11),(5.3.12),(5.3.13),由球内解的条件(5.3.12)：,可得：,将式(5.3.13)代入边界条件(5.3.11)：,可得：,这是将函数 按 的FourierLegendre级数展开问题。,于是球内电势的分布是：,(5.