中学数学教学论第一章内容2

1、3 中学数学教学目的,三、教学目的中的若干方面 (一)基础知识与基本技能： 1.基础知识 (1)知识的分类 明确知识与默会知识： 明确知识：能言传的、可以用语言文字符号表达的知识； 默会知识：只能意会而不能言传的知识。,注1 人类的默会知识远远多于明确知识。 注2 默会知识的特征： 默会知识镶嵌于实践活动中； 默会知识很难以正规形式加以传递； 默会知识是不能被批判性反思的。 注3 冰山模型,明确知识,默会知识,存于个人经验，镶嵌于实践活动中,存于书本、可编码、可传递、可反思,陈述性知识与程序性知识： 陈述性知识：关于事物及其关系的知识； 程序性知识：关于完成某项任务的行为或操作步骤的知识。 注

2、1 程序性知识被区分为： 一般领域的程序性知识； 特殊领域的程序性知识 自动化的基本技能：指那些可以“熟能生巧”的程序性知识； 策略性知识：是一种关于如何学习、如何思维的知识。,注2 程序性知识与陈述性知识比较主要区别在于： 第一：陈述性知识是关于“是什么”的知识，程序性知识是关于“怎么做”的知识； 第二：陈述性知识是相对静止的知识，程序性知识是体现在动态的操作过程中的知识； 第三：陈述性知识的提取和构建是一个有意识地、主动地激活有关命题的过程，速度较慢，程序性知识一旦熟练，则可以自动执行，速度较快。 注3 以上两类关于知识的划分有着很大的一致性。,（2）数学知识的分类 中学数学中的“双基”包

3、括： 数学的概念、性质、法则、公式、定理等； 由内容所反映的数学思想方法； 按照一定程序与步骤进行运算、处理数据、推理、作图、绘制图表等数学技能。 陈述性知识（明确知识） 数学概念、数学命题 程序性知识（默会知识） 数学技能对应于数学领域的自动化基本技能； 数学思想方法对应于数学领域的策略性知识。,3 中学数学教学目的,三、教学目的中的若干方面： (一)基础知识与基本技能： 2.对基础知识和基本技能的理解： 知识：人们在改造世界的实践中获得的认识和经验的总和. 数学基础知识：是指数学科学的初步知识，而不是指数学科学的逻辑基础. 数学基础知识包括：数学概念、数学命题、数学思想和数学方法. 技能：

4、是顺利完成某种任务的活动方式或心智活动方式，它是通过练习获得的.,注：初中生应当掌握的技能： 运算（包括估算） 简单有理数（包括近似数）的笔算、表算（或计算器算）； 简单代数式、方程或不等式的恒等变形或同解变形 基本的识图、作图 会使用直尺、圆规和其它工具（如刻度尺、三角板、量角器等）作（或画）简单的直线型和圆； 会描点作正、反比例函数的图像 基本的推理 能按一定步骤和格式作一、二步的推理 必要的数据处理 高中生应当掌握的技能： 运算； 作图； 推理； 处理数据。,3 中学数学教学目的,应当注意： 数学的基础知识与基本技能是一个相对的和发展的概念； 对基础知识和基本技能不能强求一律； 某些知识

5、带有关键性： 代数中的有理数的运算和指数律； 平面几何中的三角形（逻辑论证的开始）； 立体几何中的直线与平面（空间观念）； 三角中的三角函数性质（诱导公式、加法定理的来源）； 解析几何中的曲线与方程（解析几何的基本思想）； 微分、积分概念的建立（微积分基本思想）.,3 中学数学教学目的,3. “双基”的深度和广度： 了解：对知识的涵义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能在有关的问题中识别它们. 理解：对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知道它是怎样得出来的，它与其它概念和规律之间的联系，有什么用途. 掌握：在理解的基础上，通

6、过练习，形成技能，能够（或会）运用它去解决一些问题. 灵活运用：指能够综合运用知识并达到了迅速、灵活的程度，从而形成了能力.,例 命题“三角形两边之和大于第三边”的教学要求。 了解：指知道这一定理的含义； 理解：要求会证明它，知道它是根据什么得出来的； 掌握：要求能够应用这一定理去解决问题。 如：证明命题：三角形三条中线的和必小于三角形的周长，并且大于周长的四分之三。 灵活运用：如果对于下面的问题学生也能想到用此定理去证明，那么可以说学生已经达到了“灵活运用”的层次了。,设a,b,c,d都是正实数，证明：,之中任两者之和大于第三者。,3 中学数学教学目的,(二)培养和发展学生能力 1.能力：能

7、力是符合活动要求影响活动效果的个性心理特征的综合. (1)一般能力：完成各种活动都要求具有的能力； (2)特殊能力：完成某种专业活动必须具备的能力. 数学能力是一种特殊能力.,3 中学数学教学目的,2.运算能力 (1)运算：在运算律指导下对具体式子进行变形的演绎过程。 (2)运算能力：是指逻辑思维能力与运算技能的结合. 例 解方程：3(x1)=2(x1)+3,3 中学数学教学目的,(3)运算能力的内容：不仅会根据法则、公式等正确地进行运算，而且要理解运算的算理；能够根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径. 中学数学中涉及的运算： 数与式的各种代数运算： 初等超越运算（指数、对数、三角运算） 向量

8、运算； 求导数、求积分的初步运算； 概率运算和统计中的数据处理； 初等的、简单的“集合运算”和“逻辑运算”； 几何变换，等。,3 中学数学教学目的,(4)运算能力的特点 运算能力是一种综合能力. 例1 已知复数 z 满足 z+|z|=1+i，求复数 z . 解1：令z=a+bi，（运算技能） 解2：因 Re(z+|z|)=|z|+Rez0，而本题有 Re(z+|z|)=10 所以本题无解.,例2 已知A1B1C1ABC是正三棱柱，D是AC中点. （1）证明AB1平面DBC1； （2）假设AB1BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角的度数.,3 中学数学教学目的,(4)运算能力的

9、特点 运算能力是有层次的. 从简单到复杂； 从具体到抽象； 从低级到高级. 如“面积”：三角形多边形任意几何图形； 三角形的面积：割补法代数法三角法坐标法。 运算能力的内容是在发展的. 运算能力包括数与式的组合变形与分解变形的能力.,3 中学数学教学目的,例1 分解因式：3x4n+2x3n+5x2n+4xn2 解：原式=(3x4n+2x3nx2n)+( 6x2n+4xn2) =x2n(3x2n+2xn1)+2(3x2n+2xn1) =(3x2n+2xn1)(x2n+2) =(3xn1)(xn+1)(x2n+2) 例2 试证任一自然数的立方可分为两个平方数之差. 证明：设所给自然数为x，则有,(

10、5)、运算能力的培养 （1）深刻理解数学概念，适当记忆数学事实； （2）注重数学思想方法在运算过程中的主导作用； （3）重点培养“选择”能力； （4）注重运算中的“全局观念”； （5）强调良好计算习惯的养成。 中学数学教学概论P158P161.,3 中学数学教学目的,3.空间想象能力 (1)空间想象能力：对事物的空间形式进行观察、分析和抽象思维的能力. (2)空间想象能力的三个阶段： 空间知觉,3 中学数学教学目的,空间观念 能由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化； 能根据条件做出立体模型或画出图形； 能从较复杂的图形中分解出基本的图形

11、，并能分析其中的基本元素及其关系； 能描述实物或几何图形的运动和变化； 能采用适当的方式描述物体间的位置关系； 能运用图形形象地描述问题，利用直观来进行思考.,3 中学数学教学目的,空间想象能力 能够由实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状； 能够想象几何图形的运动和变化； 能够从复杂的图形中区分出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系； 能够根据条件作出或画出图形； 会形象地揭示问题本质.,3 中学数学教学目的,例1 有一个三棱锥和一个四棱锥，它们的棱长都相等.它们重叠一个侧面后，还有几个暴露的面？,3 中学数学教学目的,例2 有三个边长为12的正方形，连接相邻两边的中点把

12、每一个正方形分割成两块，然后将这六块粘附于一个正六边形折叠成一个多面体，求这多面体的体积.,3 中学数学教学目的,例 若方程 3x2+(a2+1)x12a 4=0的一个根小于0，另一个根大于1而小于2，求实数a的范围. 解：设y= 3x2+(a2+1)x12a 4.其图形是开口向上的抛物线.根据图形可知： 解得：0a1或5a12.,3 中学数学教学目的,4.逻辑思维能力 (1)逻辑思维能力：正确、合理地进行思考的能力. 即按照逻辑思维规律，运用逻辑方法来进行思考、推理、论证的能力. (2)逻辑思维能力的作用： 是今后科学研究的需要； 是平时学习和日常生活的需要. 可以帮助人们正确的认识客观现实

13、； 对于真理的论证和错误的揭露有重大作用； 它是揭露错误思想、荒谬诡辩的一个有力武器； 对掌握新知识有很大帮助.,3 中学数学教学目的,(3)数学思维的基本成分： 形象思维：凭借事物的具体形象和表象的联想来进行的思维； 形象思维是一种很有用的思维，在某些场合利用它问题将很容易解决； 形象思维能矫正其它思维中可能出现的错误。 抽象逻辑思维：是以概念、判断、推理的形式来进行的思维； 直觉思维. 直觉思维是一种很重要的思维； 直觉思维与分析思维相比较而存在. 注：培养学生的逻辑思维能力是数学教学义不容辞的任务。,注 在运算能力、空间想象能力与逻辑思维能力之中，培养学生的逻辑思维能力是核心。 运算能力

14、是逻辑思维与一些具体的运算知识和技能相结合而在处理数量关系方面的表现； 空间想象能力是逻辑思维与一些经验几何知识和识图、作图技能相结合而在处理空间形式方面的表现。,3 中学数学教学目的,5.解决问题. (1)要求： 初中 初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题，发展应用意识. 形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神. 学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 初步形成评价与反思的意识. 高中 在数学教学过程中注重培养学生数学的提出问题、分析问题和解决问题的能力，发展学生的创新意识和应用意识，提高学生数学探究能力、

15、数学建模能力和数学交流能力，进一步发展学生的数学实践能力.,3 中学数学教学目的,(2)运用数学的意识：指运用数学知识的心理倾向性. 当主体面临有待解决的问题时，能主动尝试着从数学的角度，运用数学的思想方法寻求解决问题的策略.,例 现有流量均为300m3/秒的两条河流A、B汇合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为kg/m3和0.2kg/m3.假设从汇合处开始，沿岸设有若干观测点.两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒内交换100m3的水量，即从A股流入B股100m3水，经混合后，又从B股流入A股100m3水并混合.问从第几个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0

16、.01kg/m3（不考虑泥沙沉淀）？ （答：从第9个观测点开始，两股水流的含沙量之差小于0.01kg/m3） 分析： （1）因含沙量随观测点的序列变化，所以这是一个数列问题； （2）在不断混合的过程中A水含沙量递减，B水含沙量递增，且最终相等； （3）第 n 个观测点测得的含沙量an , bn由前一个观测点测得的含沙量 an-1,bn-1经交换100m3水量混合而得，所以这是一个由递推公式给出的递推数列问题； （4）交换可分两步，得正确的递推关系：,3 中学数学教学目的,已知数列an、bn满足：a1=2,b1=0.2，且 问从第几项开始，an - bn0.01. 有两个大容器A、B各盛300m

17、l同样溶液，A器中溶液浓度为2g/ml，B器中溶液浓度为0.2g/ml.每次混合过程如下：先从A器倒入B器100ml，经混合后，又从B器倒入A器100ml并混合.问从第几次开始，A、B两器中溶液的浓度之差小于0.01g/ml（不考虑沉淀）.,3 中学数学教学目的,当主体接受一个新的数学理论时，能主动地探索这一新知识的实际应用价值. (3)运用数学意识的培养 要把培养学生具有运用数学的意识落实到整个数学教学的全过程； 打破传统的单纯学科式的数学知识体系. 注：知识、技能、能力三者之间既有区别又有联系.,（三）情感态度与价值观 初中： 能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心与求知欲。 在数学学习活

18、动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。 初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 形成实事求是的态度以及进行质疑和独立思考的习惯。 高中： 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度； 具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。,3 中学数学教学目的,1.良好的个性品质 （1）正确的学习目的，浓厚的学习兴趣，顽强的学习毅力； （2）实事求

19、是的科学态度； （3）独立思考，敢于创新的精神； （4）良好的学习习惯 2.初步的辨证唯物主义的观点 正确讲述数学概念的物质基础及其抽象形成过程； 分析数学理论产生发展的原因和条件； 在教学中，充分运用唯物辩证法的普遍规律，揭露数学内容中的辨证关系，培养学生的辨证思维。,4 数学新课程教学实践应注意的问题,初中（全日制义务教育数学课程标准（实验稿）： 让学生经历数学知识的形成与应用过程； 鼓励学生自主探索与合作交流； 尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要； 应关注证明的必要性、基本过程和基本方法； 注重数学知识之间的联系，提高解决问题的能力； 充分运用现代信息技术.,4 数学新课程教学实践应注意的问题,高中（普通高中数学课程标准（实验稿）： 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划； 帮助学生打好基础，发展能力； 注重联系，提高对数学整体的认识； 注重数学知识的应用，发展学生的应用意识和能力； 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成； 改善教与学的方式，使学生主动地学习； 恰当运用