因式分解应用例析

1、 因式分解应用例析一、用于计算例1计算.【分析】若按常规思路从左到右逐个运算，比较麻烦；设法进行简便运算.观察整个算式,不难看出每一个因式都是两数的平方差,于是可以将每个因式分解,得以求解.个人收集整理 勿做商业用途解: = =.【点评】本题如果按照常规思路来解,比较困难,通过分析认真分析式子的结构、发散思维，运用所学知识，利用因式分解，使问题得以简捷解决.个人收集整理 勿做商业用途例2计算.【分析】仔细观察算式发现：最后两项可分解因式，提公因式2后得，再依次和前一项进行类似计算.解：=6.【点评】本题逆向思考，从最高的两项进行因式分解，逐次提取公因式，达到消项的目的.例3阅读下面的解题过程，

2、然后回答问题：（1）分解因式：.解：原式=.设，则原式=.（2）计算：解：设=x，则原式=.利用（1）、（2）的解法计算：.【分析】本题是属于阅读理解的题目，可仿照（1）、（2）用换元法，使问题变得简单些.解:设2004=,则=.【点评】解决阅读理解这类题目的要点：要认真仔细阅读题目中的语言文字信息、观察式子的特点，找出内在联系，写出求解过程.本题运用字母代数的特点，将被开方数转化为完全平方数，体现特殊与一般的思想方法.个人收集整理 勿做商业用途二、用于求值例4已知实数满足,求的值.【分析】本题对已知条件进行化简，并将分解因式，代入求值.解：，即：.=.例5已知的值.【分析】本题要充分利用“”

3、这个条件,经过变式来求值.这里可将拆成两项,变为,再添加(.解:，=4.【点评】将多项式变形或拆项，整体运用已知条件，体现“整体”与“分解”思想的有机统一.例6已知a=+20，b=+19，c=+21，那么代数式的值是（）A.4B.3C.2D.1【分析】因本题所求代数式中含有a、b、c的平方项与二次乘积项与完全平方展开式所含的项基本相同，所以应想办法，如何造型利用公式法分解因式进行化简.个人收集整理 勿做商业用途解：原式=当a=+20，b=+19，c=+21时，有：ab=1，bc=2，ac=1，原式=.故应选B.【点评】本题通过配成完全平方式，将条件代入，整体消元，方便简洁.三、用于判断数的整除

4、性例7已知可以被在60到70之间的两个数整除,则它们是（）A61、63B61、65C63、65D63、67【分析】由联想到运用平方差公式进行因式分解，从而做出判断.因为=, 而 ,=97=63,所以选择C.【点评】利用因式分解判断数的整除性，大大的简化运算量.从而体现公式方便快捷.例8已知是正整数，且，那么数对（）为_.【解析】将变形分解，a2-b2=45分解得(a+b)(a-b)=145=59=315构造方程组，解得(23,22),(9,6),(7,2).四证明不等分式例9设是三角形的三边长,求证:.【分析】本题是证明一个不等问题,想办法利用三角形三边的关系以及因式分解来证明.证明:=,又是

5、三角形的三边长,，即，.【点评】本题借助因式分解，将左边的多项式分解成一次因式的积，再根据三角形的三边的关系进行判断因式的符号.个人收集整理 勿做商业用途五、用于判断三角形的形状例10已知是三角形的三边长,且满足试判断ABC的形状,并说明理由.【解析】即：， ，.又是三角形的三边长,ABC是等边三角形.六、用于实际应用例11在半径为R的圆形钢板上，冲去4个半径为r小圆，如图所示，利用因式分解计算，当R=85cm，r=15cm时剩余部分的面积（结果用表示）. 【分析】剩余部分的面积可以看成是大圆的面积减去4个小圆的面积，在运算过程中，利用因式分解有时可以使运算简化.个人收集整理 勿做商业用途解：

6、剩余部分的面积为:R-4r=(.【点评】本题巧妙的运用因式分解，避免了半径的平方运算，减小了运算量，使计算变得简便,迅速.例12如图所示,把三个电阻串联起来,线路AB上的电流为I,电压为V,则当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5时,求V的值.个人收集整理 勿做商业用途【研析】将因式分解的知识运用到物理学的运算当中,可减少运算量,使运算简化.解：当=34.9,=20.8,=32.3,I=2.5时,=2.5(34.9+20.8+32.3)=220.【点评】根据物理学的知识，串联线路电压等于各部分电压之和，构造数学模型，运用因式分解中的提取公因式，使运算得以简化.例13校园内有一个环形花坛，它的外圆半径R=7.5米,内圆半径r=2.5米,请问:该花坛的占地面积是多少?(取3.14)个人收集整理 勿做商业用途【分析】由于花坛是环形的,所以花坛的占地面积是外圆的面积减去内圆的面积.解:=(7.5+2.5)(7.5-2.5)= 50155(米).答:该花坛的占地面积约是155米.小试牛刀1、如果，则一定成立的是（）（A）是的相反数（B）是的相反数（C）是的倒数（D）是的倒数2、填空: 已知的值为_.3、求证:N=是一个完全平方数4、小学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是x岁和y岁，且=117，请问：学生李亮和他的妹妹李娇的年龄分别是多少岁？个人收集整理 勿做商业用途