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文档简介
1、课时作业24正弦定理和余弦定理1(2016天津卷)在ABC中,若AB,BC3,C120,则AC(A)A1 B2C3 D4解析:在ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2a2b22abcosC,得139b223b,即b23b40,解得b1(负值舍去),即AC1,故选A2在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,C已知8b5c,C2B,则cosC等于(A)A BC D解析:8b5c,由正弦定理,得8sinB5sinC又C2B,8sinB5sin2B,8sinB10sinBcosBsinB0,cosB,cosCcos2B2cos2B1.3在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a
2、,b,C若c2(ab)26,C,则ABC的面积是(C)A3 BC D3解析:c2(ab)26,即c2a2b22ab6.C,由余弦定理得c2a2b2ab,由和得ab6,SABCabsinC6,故选C4(2019湖南衡阳调研)在ABC中,a、b、c分别为内角A、B、C所对的边,若2sinCsinAsinB,cosC且SABC4,则c(A)A B4C D5解析:因为2sinCsinAsinB,所以由正弦定理可得2cab,由cosC可得c2a2b22abcosC(ab)2ab,又由cosC,得sinC,所以SABCabsinC4,ab10.由解得c,故选A5在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
3、c,若,(bca)(bca)3bc,则ABC的形状为(C)A直角三角形 B等腰非等边三角形C等边三角形 D钝角三角形解析:,bC又(bca)(bca)3bc,b2c2a2bc,cosA.A(0,),A,ABC是等边三角形6(2019合肥质检)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC,bcosAacosB2,则ABC的外接圆面积为(C)A4 B8C9 D36解析:由余弦定理得ba2.即2,整理得c2,由cosC得sinC,再由正弦定理可得2R6,所以ABC的外接圆面积为R29.7(2018浙江卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,C若a,b2,A60,则sinB,
4、c3_.解析:由得sinBsinA,由a2b2c22bccosA,得c22c30,解得c3(舍负)8(2019烟台模拟)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a1,b,则SABC.解析:因为角A,B,C依次成等差数列,所以B60.由正弦定理,得,解得sinA,因为0A120,所以A30,此时C90,所以SABCab.9(2018江苏卷)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC120,ABC的平分线交AC于点D,且BD1,则4ac的最小值为9_.解析:依题意画出图形,如图所示易知SABDSBCDSABC,即csin60asin60acs
5、in120,acac,1,4ac(4ac)59,当且仅当,即a,c3时取“”10(2019梅州质检)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2b2bc,且sinC2sinB,则角A的大小为.解析:由sinC2sinB得,c2b,a2b2bcb2b6b2,a27b2.则cosA,又0A,A.11(2019贵阳质检)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2(bc)2(2)bc,sinAsinBcos2,BC边上的中线AM的长为.(1)求角A和角B的大小;(2)求ABC的面积解:(1)由a2(bc)2(2)bc,得a2b2c2bc,cosA,又0A,A.由sinAsinB
6、cos2,得sinB,即sinB1cosC,则cosC0,即C为钝角,B为锐角,且BC,则sin1cosC,化简得cos1,解得C,B.(2)由(1)知,ab,在ACM中,由余弦定理得AM2b222bcosCb2()2,解得b2,故SABCabsinC22.12设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,abtanA,且B为钝角(1)证明:BA;(2)求sinAsinC的取值范围解:(1)证明:由abtanA及正弦定理,得,所以sinBcosA,即sinBsin.又B为钝角,因此A,故BA,即BA.(2)由(1)知,C(AB)2A0,所以A.于是sinAsinCsinAsinsinAcos
7、2A2sin2AsinA122.因为0A,所以0sinA,因此22.由此可知sinAsinC的取值范围是.13在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足b2c2a2bc,0,a,则bc的取值范围是(B)A BC D解析:由b2c2a2bc得,cosA,0A,则A,由0知,B为钝角,又1,则bsinB,csinC,bcsinBsinCsinBsinsinBcosBsin,B,B,sin,bc.14(2019山东济宁模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosBbcosAc,则tan(AB)的最大值为(A)A BC D解析:由acosBbcosAc及正弦定理可
8、得,sinAcosBsinBcosAsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB,即sinAcosBsinBcosA,得tanA5tanB,从而可得tanA0,tanB0,tan(AB),当且仅当5tanB,即tanB时取得等号,tan(AB)的最大值为,故选A15(2019广东七校联考)已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2,A,且sin(BC)sin2B,则ABC的面积为或.解析:法1A,且sin(BC)sin2B,sin2Bsin(BC),即sinAsin2Bsin(BC),又sinAsin(BC),sinBcosCcosBsinC2sinBcosBsin
9、BcosCcosBsinC,即cosBsinCsinBcosB当cosB0时,可得B,C,SABCac22tan;当cosB0时,sinBsinC,由正弦定理可知bc,ABC为等腰三角形,又A,abc2,SABCa2.综上可知ABC的面积为或.法2由已知及ABC可得sinsin2B,即sin2Bsin,sin2Bcos2Bsin2B,即sin.A,0B,2B,2B或,B或.当B时,C,SABC22tan;当B时,ABC是边长为2的等边三角形,SABCa24.综上可知,ABC的面积为或.16(2019河南信阳模拟)已知a,b,c分别是ABC内角A,B,C的对边,且满足(abc)(sinBsinCsinA)bsinC(1)求角A的大小;(2)设a,S为ABC的面积,求ScosBcosC的最大值解:(1)(abc)(sinBsinCsinA)bsinC,根据正弦定理,知(abc)(b
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