专题二----四点共圆的应用

1、最新资料推荐专题二 -四点共圆的应用【知识点】1、如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”；2、性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的一个外角等于它的内对角；3、判定：若两个直角三角形共斜边，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径；共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆；对于凸四边形ABCD，若对角互补，则A、 B、 C、 D 四点共圆；相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD，其对角线AC、 BD交于 P，若 PA PC=PB PD，则 A、 B、 C、 D 四点共圆；割线定理的逆

2、定理：对于凸四边形ABCD，两边 AB、 DC的延长线相交于点P，若 PB PA=PC PD，则 A、 B、 C、 D 四点共圆；4、四点共圆的妙用：巧用四点共圆可以帮助我们在解题过程中快速地求角等、边等、相似、边长、最值等问题。【例 1】如图，点C 为线段 AB上任意一点（不与点A，B 重合），分别以 AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰 ACD和 BCE， CA=CD，CB=CE，且 ACD= BCE，连接 AE 交 CD于 M，连接 BD交 CE于点 N， AE与 BD交于点 P，连接 CP。D求证： APC= BPCPDACB【变式 1】如图，在正方形ABCD中， E 为 CD上一动点，

3、连接AE 交对角线BD于点 F，过点 F 作 FG AE交BC于点 G，求证： AFG为等腰直角三角形。ADFEBGC1最新资料推荐【例 2】如图，在正方形 ABCD中，点 E 是 BC边上的点， AEP=90，且 EP交正方形外角的平分线CD于点 P， 交边 CD于点 F；求证： AE=EPADPBEC【变式 2】如图，在Rt ABC和在 Rt DBC中， BAC=BDC=90，点 O、M分别为 BC、 AD的中点，求证： OM ADMDABOC【例 3】如图， ABC和 EFG均为边长为2 的等边三角形，点D 是边 BC、EF 的中点，直线AG、FC相交于点 M，当 EFG绕点 D 旋转时

4、，线段EM长的最大值是；AADEMGOBDCFEF B C 【变式 3】如图，在 ABC中， ABC=90， AB=6， BC=8， O为 AC的中点，过 O作 OE OF， OE、 OF分别交射线AB、 BC于 E 、 F，则 EF 的最小值为【例 4】如图，正方形 ABCD的边长为 6，点 O是对角线 AC、BD的交点，点 E 在 CD上，且 DE=2CE，过点 C 作 CF BE，垂足为点 F, 连接 OF，则 OF的长为2最新资料推荐【变式 4】如图，正方形ABCD的中心为O点，面积为25；点 P 为正方形内一点，且OPB=45，PA： PB=3:4，则 PB=DCPOAB【检测练习】

5、AOEBFC1、如图，正方形OABC的边长为2，以 O为圆心， EF 为直径的半圆经过点A，连接 AE， CF相交于点P，将正方形 OABC从 OA与 OF重合的位置开始， 绕着点 O逆时针旋转90，交点 P运动的路径长是2、如图，在ABC中， ACB=65， BD AC于点 D， CE AB于点 E，则 AED=， CED=。3、如图， C 为半圆 O上一点， AB 为直径，且AB=2a， COA=60，延长CP交半圆于点D，过 P 点作 AP的垂线交 AD的延长线于点H，则 PH的长度为BACADHDCEOABFOPBCE5、如图，以Rt ABC的斜边 BC为一边在 ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为点O，连接 AO，如果 AB=4， AO=62 ，则 AC的长为6、已知 ABC为等腰直角三角形， C 为直角， 延长 CA到 D，以 AD为直径作圆， 连接 BD与 O交于点 E，连接 CE， CE的延长线交 O于另一点 F，则 BD： CF=CBFPDECDEOACDABOAB7、如图，若PA=PB， APB=2 ACB，AC与 PB 交