专题：确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法

1、最新 料推荐确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些考题不但涉及到洛伦兹力作用下的动力学问题，而且往往与平面图形的几何关系相联系，成为考查学生综合分析问题、运用数字知识解决物理问题的难度较大的考题。 但无论这类问题情景多么新颖、设问多么巧妙， 其关键一点在于规范、准确地画出带电粒子的运动轨迹。只要确定了带电粒子的运动轨迹，问题便迎刃而解。下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。一、对称法带电粒子如果从匀强磁场的直线边界射入又从该边界射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的中垂线对称，且入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等（如图1）；带电粒

2、子如果沿半径方向射入具有圆形边界的匀强磁场，则其射出磁场时速度延长线必过圆心（如图2）。利用这两个结论可以轻松画出带电粒子的运动轨迹，找出相应的几何关系。例 1如图 3 所示，直线MN上方有磁感应强度为B 的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与 MN成 30角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为 e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？解析： 正、负电子的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确定圆心，画出半径和轨迹（如图4），由对称性知：射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距，由图还看出经历时间相差，所以解此题的关键是找圆心、找半径和用对称。例 2如

3、图 5 所示，在半径为r 的圆形区域内，有一个匀强磁场。一带电粒子以速度v0 从 M点沿半径方向射入磁场区，并由N点射出， O点为圆心。当MON 120时，求：带电粒子在磁场区的偏转半径R及在磁场区中的运动时间。解析：分别过 M、N点作半径 OM、ON的垂线，此两垂线的交点 O 即为带电粒子作圆周运动时圆弧轨道的圆心，如图 6 所示。由图中的几何关系可知，圆弧MN所对的轨道圆心角为60， O、O的边线为该圆心角的角平分线，由此可得带电粒子圆轨道半径为又带电粒子的轨道半径可表示为：故带电粒子运动周期：1最新 料推荐带电粒子在磁场区域中运动的时间二、旋转圆法在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射速度大

4、小相同的带电粒子时， 带电粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的半径相同的动态圆（如图 7），用这一规律可快速确定粒子的运动轨迹。例 3如图 8 所示，S 为电子源，它在纸面 360度范围内发射速度大小为 v0，质量为 m，电量为 q 的电子（ q0），MN是一块足够大的竖直挡板，与 S 的水平距离为 L，挡板左侧充满垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为 mv0/ qL，求挡板被电子击中的范围为多大？解析： 由于粒子从同一点向各个方向发射，粒子的轨迹为绕S 点旋转的动态圆，且动态圆的每一个圆都是逆时针旋转，这样可以作出打到最高点与最低点的轨迹，如图9 所示，最高点为动态圆与MN的相切时的交点P，

5、最低点为动态圆与MN相割，且 SQ为直径时 Q为最低点，带电粒子在磁场中作圆周运动，由洛仑兹力提供向心力，由得：SQ为直径，则： SQ=2L，SO=L ，由几何关系得：P 为切点，所以OPL ，所以粒子能击中的范围为（） 。例 4（ 2010 全国新课程卷）如图10 所示，在范围内有垂直于xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。坐标原点O处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xy 平面内， 与 y 轴正方向的夹角分布在0 90范围内。 己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于到 a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好

6、为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的：（ 1）速度大小；（2）速度方向与y 轴正方向夹角正弦。解析： 设粒子的发射速度为v，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律和洛仑兹力公式得：解得：。2最新 料推荐从点以半径 （ ）作“动态圆” ，如图 11 所示， 由图不难看出， 在磁场中运动时间最长的粒子，OR其轨迹是圆心为C的圆弧，圆弧与磁场的边界相切。设该粒子在磁场中的运动时间为t ，依题意，所以。设最后离开磁场的粒子的发射方向与y 轴正方向的夹角为 ，由几何关系得：，再加上，解得：，,。三、缩放圆法带电粒子以大小不同，方向相同的速度垂直射入匀强磁场中，作

7、圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此其轨迹为半径缩放的动态圆（如图 12），利用缩放的动态圆，可以探索出临界点的轨迹，使问题得到解决。例 5 如图 13 所示，匀强磁场中磁感应强度为 B，宽度为 d，一电子从左边界垂直匀强磁场射入，入射方向与边界的夹角为 ，已知电子的质量为 m，电量为 e，要使电子能从轨道的另一侧射出，求电子速度大小的范围。解析： 如图 14 所示，当入射速度很小时电子会在磁场中转动一段圆弧后又从同一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道与边界相切时，电子恰好不能从另一侧射出，当速率大于这个临界值时便从右边界射出，设此时的速率为 v0，带电粒子在磁场中作圆周运动，由几何关

8、系得：r+r cos =d电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力：，所以：联立解得：，所以电子从另一侧射出的条件是速度大于。例 6（ 2010 全国 II卷）如图15 所示，左边有一对平行金属板，两板的距离为d，电压为 U，两板间有匀强磁场，磁感应强度为B0，方面平行于板面并垂直纸面朝里。图中右边有一边长为a 的正三角形区域EFG（ EF边与金属板垂直），在此区域内及其边界上也有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。假设一系列电荷量为 q 的正离子沿平行于金属板面、 垂直于磁场的方向射入金属板之间， 沿同一方向射出金属板间的区域， 并经 EF 边中点 H射入磁场区域。不计重力。（ 1）

9、已知这些离子中的离子甲到达边界EG后，从边界EF穿出磁场，求离子甲的质量；（ 2）已知这些离子中的离子乙从EG边上的 I 点（图中未画出）穿出磁场，且GI 长为 3a/4 ，求离子乙的质量；（ 3）若这些离子中的最轻离子的质量等于离子甲质量的一半，而离子乙的质量是最大的，问磁场边界上什么区域内可能有离子到达？解析：由题意知， 所有离子在平行金属板之间做匀速直线运动，则有：qvB0=qU/ d，解得离子的速度为：v=U/B0d（为一定数值）。3最新 料推荐虽然离子速度大小不变，但质量m改变，结合带电离子在磁场中做匀速圆周运动的半径公式R=mv/qB分析，可画出不同质量的带电离子在磁场中的运动轨迹

10、，如图16 中的动态圆。（ 1）由题意知，离子甲的运动轨迹是图17 中的半圆，半圆与EG边相切于 A 点，与 EF边垂直相交于B 点，由几何关系可得半径 ： 甲，从而求得离子甲的质量甲。（ 2）离子乙的运动轨迹如图18 所示，在EIO 中，由余弦定理得：2乙乙乙，解得乙，从而求得乙离子的质量乙。（ 3）由半径公式可知 ，结合（ 1）（ 2）问分析可得：R=mv/qBR m 若离子的质量满足m甲 /2 m m甲，则所有离子都垂直 EH边离开磁场， 离开磁场的位置到 H的距离介于 R甲到 2甲之间，即；R 若离子的质量满足m mm ，则所有离子都从EG边离开磁场，离开磁场的位置介于A 到 I 之间

11、，其中甲乙AE的距离甲， IE 距离。四、临界法以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，借助半径r 和速度 v 以及磁场 B 之间的约束关系进行动态轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，找出临界点，然后利用数学方法求解极值，画出临界点的轨迹是解题的关键。例 7长为 L 的水平极板间， 有垂直纸面向内的匀强磁场， 如图 19 所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，两极板不带电，现有质量为电量为q的带负电粒子（不计重力）从左边极板间中点处垂直磁感线以水平速度v射m入磁场，欲使粒子打到极板上，求初速度的范围。解析： 由左手定则判定受力向下，所以向下偏转，恰好打到下板右边界和左边界为两个

12、临界状态，分别作出两个状态的轨迹图， 如图 20、图 21 所示，打到右边界时， 在直角三角形OAB中，由几何关系得：解得轨道半径电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力因此打在左侧边界时，如图21 所示，由几何关系得轨迹半径4最新 料推荐电子在磁场中运动时洛伦兹力提供向心力，所以所以打在板上时速度的范围为v例 8如图 22，一足够长的矩形区域 abcd 内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从矩形区域ad边中点O射出与边夹角为30，大小为v0 的带电粒子，已知粒子质量为, 电量为q，ad边长为L，abOdm边足够长，粒子重力忽略不计。求：（ 1）试求粒子能从 ab 边上射出磁场的

13、v0 的大小范围；（ 2）粒子在磁场中运动的最长时间和在这种情况下粒子从磁场中射出所在边上位置的范围。解析：（ 1）画出从 O点射入磁场的粒子运动轨迹的动态圆，能够从 ab 边射出的粒子的临界轨迹如图23 所示，轨迹与 dc 边相切时，射到 ab边上的 A点，此时轨迹圆心为O，则轨道半径 r=L，由得最大速度。11轨迹与ab边相切时，射到ab边上的B点，此时轨迹圆心为2，则轨道半径，由O得最小速度。所以粒子能够从ab 边射出的速度范围为：。（ 2）当粒子从ad 边射出时，时间均相等，且为最长时间，因转过的圆心角为300，所以最长时间：，射出的范围为：。通过以上分析不难发现，对于带电粒子在磁场中

14、的运动问题，解题的关键是画出带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，如果能够熟练掌握带电粒子在磁场中运动轨迹的上述四种画法，很多问题都可以迎刃而解。涉及圆周的某些综合题，常要在圆周里构建直角三角形来帮助解答。这些直角三角形大多由该圆周的半径、弦或切线构成。这里用几道高考 “压轴题 ”为例来说明。例 2（ 2007 全国 2）如图所示，在坐标系Oxy 的第一象限中存在沿y 轴正方向的匀强电场，场强大小为E。在其它象限中存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里。A 是 y 轴上的一点，它到坐标原点O的距离为h；C 是 x 轴上的一点， 到 O的距离为l 。一质量为 m，电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度

15、沿x 轴方向从A 点进入电场区域，继而通过C点进入磁场区域。 并再次通过A 点，此时速度方向与y 轴正方向成锐角。不计重力作用。试求：（1）粒子经过C 点速度的大小和方向；（2）磁感应强度的大小B。分析： 运动过程包含类平抛和匀速圆周运动。第（2）问较难。欲求B 值，要先算出圆周半径R，应构建相应的直角三角形，如下图中的APD 以及 CPE 再由已知的h 和 L 来求解（见解答中的式和）。解：（ 1）以 a 表示粒子在电场作用下的加速度，有5最新 料推荐加速度沿y 轴负方向。设粒子从A 点进入电场时的初速度为v0，由 A 点运动到C 点经历的时间为t ，则有?由式得v0L?设粒子从点进入磁场时

16、的速度为v，v 垂直于 x 轴的分量v1由式得v1设粒子经过C 点时的速度方向与x 轴的夹角为 ，则有由式得（ 2）粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为v 的圆周运动。若圆周的半径为R，则有 设圆心为 P，则 PC必与过 C点的速度垂直，且有PC=PA=R。用 表示 PA与 y 轴的夹角，由几何关系得 由式解得R由式得B值得归纳的是， 例题 1 和例题2 有共通的地方， 即利用两个直角三角形， 来建立两个已知长度和一个未知半径的联系。题 1 中是用 a、 a/2 求半径；题 2 中是用h、l求半径，而接下来的例题3，仍然涉及两个直角三角形，RR但这次是用两个已知的半径来求解一个未知的长度

17、。例 3（ 2008 重庆）下图是一种质谱仪的工作原理示意图。在以O为圆心， OH为对称轴，夹角为2 的扇形区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场。对称于 OH轴的 C和 D分别是离子发射点和收集点。 CM垂直磁场左边界于 M，且 OM=d。现有一正离子束以小发散角（纸面内）从C 射出，这些离子在 CM方向上的分速度均为。若该离子束中比荷为 的离子都能汇聚到 D，试求：（ 1）磁感应强度的大小和方向（提示：可考虑沿CM方向运动的离子为研究对象）；（ 2）离子沿与 CM成 角的直线 CN进入磁场，其轨道半径和在磁场中的运动时间；（ 3）线段 CM的长度。6最新 料推荐分析： 在第（ 2）问的过程中

18、，圆心上移了，但运动轨迹是对称的；第（3）问难度加大，而下图中的和 ，会有助于建立已知量OM和 O N，与未知量NM之间的联系（见解答中的式），便于CM的求解。解： （ 1）设沿 CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，由且 R=d得：由左手定则知，磁场方向垂直纸面向外。（ 2）设沿 CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R，运动时间为t ，由且联立得离子在磁场中做匀速圆周运动的周期结合得（3）由图可知再由联立求解得注：若引入正弦定理，利用非直角三角形 ，也能得出，可代替式。跳出磁场，在其他力学问题中，圆周与直角三角形也有“配合”。比如下面这道例题4。例 4（ 08 全国 2）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫