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1、第24章 圆,肇庆加美学校 吕少峥,24.1.2 垂径定理,?,1、我们所学的圆是不是轴对称图形呢?,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它们的对称轴,2、我们所学的圆是不是中心对称图形呢?,圆是中心对称图形,圆心是对称中心,温故知新,3、填空: (1)根据圆的定义,“圆”指的是“ ”,是 线,而不是“圆面”。 (2)圆心和半径是确定一个圆的两个必需条件,圆心决定圆的 ,半径决定圆的 ,二者缺一不可。 (3)同一个圆的半径 。,圆周,位置,大小,曲,相等,4.过圆上一固定点可以作圆的最长弦有( )条. A. 1 B. 2 C. 3 D.无数条 5.一点和O上的最近点距离为4cm,最远距离为
2、10cm, 则这个圆的半径是_cm.,A,7,.,O,A,C,.,B,6.图中有_条直径,_条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有_条,劣弧有_条. 7.如图, O中,点A、O、D以及点B、O、C分别在一直线上,图中弦的条数为_。 8.CD为O的直径,EOD=72,AE交O于B,且AB=OC,则A=_.,第8题,1,2,2,4,3,24,问题 :你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗?,赵州桥主桥拱的半径是多少?,问题
3、情境,阅读课本P80-82,完成以下问题: 1.圆的垂径定理是什么? 2.垂径定理的推论是什么?你能用一句话概括这些推论吗?,自学、合作与交流,如图,AB是O的一条弦,做直径CD,使CDAB,垂足为E (1)这个图形是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有那些相等的线段和弧?为什么?,O,A,B,C,D,E,活 动 一,(1)是轴对称图形直径CD所在的直线是它的对称轴,(2) 线段: AE=BE,O,A,B,C,D,E,如图:,AB是O的一条弦,直径CD交AB于M,AM=BM,垂径定理的推论,连接OA,OB,则OA=OB.,在OAM和OBM中,OA=OB,OM=OM,A
4、M=BM,OAMOBM.,AMO= BMO.,CDAB,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,几何语言表达,推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,(1) (4) (5),(2) (3),(1) (5),(2) (3) (4),讨论,(1) (3),(2) (4) (5),(1) (4),(2) (3) (5),(1)过圆心(2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对优弧 (5)平分弦所对的劣弧,(3) (5),(3) (4),(1) (2) (5),(2) (4),(1) (3) (
5、5),(2) (5),(1) (3) (4),(1) (2) (4),(4) (5),(1) (2) (3),每条推论如何用语言表示?,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,结论,高效训练,你学会了吗?,?,?,一、判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中,如果一条直线经过圆心且平
6、分弦, 必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线,将弦所对 的两条弧分别三等分,3半径为2cm的圆中,过半径中点且 垂直于这条半径的弦长是 。,8cm,1半径为4cm的O中,弦AB=4cm, 那么圆心O到弦AB的距离是 。,2 O的直径为10cm,圆心O到弦AB的 距离为3cm,则弦AB的长是 。,二、填空:,4、O的半径为10cm,弦ABCD, AB=16,CD=12,则AB、CD间的 距离是_ .,2cm,或14cm,1如图,在O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求O的半径,O,A,B,E,再来!你行吗?,解:,答:O的半径为5cm.,在Rt AOE 中,2:已知
7、:如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点。 求证:ACBD。,证明:过O作OEAB,垂足为E, 则AEBE,CEDE。 AECEBEDE。 所以,ACBD,E,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段.就可以利用垂径定理来解决有关问题了.,3、已知:O中弦ABCD。 求证:ACBD,你能讲解吗?,夹在两条平行弦间的弧相等.,你能有一句话概括一下吗?,小结:,解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线,或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理创造条件。,解得:R279(m),解决求赵州桥拱半径的问题,在RtOAD中,由勾股定理,得,即 R2=18.72+(R
8、7.2)2,赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,OA2=AD2+OD2,实践应用,7.2,18.7,体会.分享,说出你这节课的收获和体验,让大家与你一起分享!,圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.,垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,垂径定理:,在解决有关圆的问题时,可以利用垂径定理将其转化为解直角三角形的问题 。,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,(1)过圆心 (2)垂直于弦 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,课堂小结,别忘记还有我哟!,1、P82练习 1、
9、2题 2、教材88页习题24.1 8、9; 3、练习册同步,作业:,2如图,在O中,AB、AC为互相垂直且相等的两条弦,ODAB于D,OEAC于E,求证四边形ADOE是正方形,证明:,四边形ADOE为矩形,,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为,桥下水面宽度为、2 m ,过O 作OC AB 于D, 交圆弧于C,CD=2、4m, 现有一艘宽3m,船舱顶部为方形并高出水面(AB)2m的货船要经过拱桥,此货船能否顺利通过这座拱桥?,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,结束寄语,不学自知,不问自晓,古今行事,未之有也.,再见,学生练习,已知:AB是O直径,CD 是弦,AECD,BFCD 求证:ECDF,E,D,油的最大深度ED=ODOE=200(mm),或者油的最大深度ED=OD + OE=45
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