积分习题课解答.doc
积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习:我们知道,在区间,ba连续的函数有原函数,并且有牛顿莱布尼茨公式下述定理说明:函数的连续性并不是牛顿莱布尼茨公式成立的必要条件定理:假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF(注释:在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有)()(d)(aFbFxxfba提示:对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:注意到niiiniiixFxFxF111)()()(2求证:假设)(xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数)(xg,使得baxxgxfd|)()(|二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim(e4)1022dsinlimxxnxn(31)设其它,010,)(nxnxxn10)()(nknnkxxg求极限10d)(limxxgenxn(10d21xex)用极限定义计算10d2xx三、定积分10d)(xxf是和式niiixf1)(的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据假定积分10d)(xxf存在,则当n时,两个和式:ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趋向于10d)(xxf不过收敛速度有所不同研究下面的问题:假设)(xf在1,0连续,试证11021|d)(|MnSxxfn,21041|d)(|Mnxxfn其中1M和2M是与)(xf有关的正数反常积分一、收敛判别)1(dln1收敛pxxxp,)0(dln0pxxxp(发散),)0(d)1ln(0pxxxp(1p收敛))0(d)11ln(1ppxxx(1p收敛)20dsinlnxx(收敛),20dsinln1xx(发散),032d)4()2(1xxxx(收敛)1d1)cos(lnxxx(发散.换元xtln)1d)21sin1cos1(xxx(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算03d2xexx,(21,换元法)12darctanxxx()4ln(41,分部积分法),022d)1(lnxxxx(0,分部积分计算,或者换元法)三、证明题:()举例说明:axxfd)(收敛未必有0)(limxfx即使非负函数也是如此()求证:如果)(xf在),a非负且一致连续,axxfd)(收敛,则0)(limxfx2求证1dsinxxx收敛,但是12dsinxxx发散.积分习题课题目及解答积分概念定理:假设)(xf区间,ba可积且有原函数)(xF(注释:在区间,ba可积的函数未必有原函数)则有)()(d)(aFbFxxfba证明:对于区间,ba任意分割bxxxaTn10:由微分中值定理得到)()(aFbFniiiniiixFxFxF111)()()(),(1iiixx当分割的直径趋向于零时,等式右端有极限baxxfd)(2求证:假设)(xf在,ba可积,则0,存在区间,ba上的阶梯函数)(xg,使得baxxgxfd|)()(|解:0,由黎曼定理(定理2.1.4)推出,存在0,使得直径任意分割方式,21nxxxT,都有nkkkkxmM1)(今取一个满足直径的确定的分割,21nxxxT。并取阶梯函数),2,1(),)(1nkxxxmxgkkk,则有babaxxgxfxxgxfd)()(d|)()(|nkxxkkkxmxf11d)(nkxxkkkkxmM11d)(二、求和nnnnnn12)2)(1(1lim解:令nSnnnnn12)2)(1(1nnnnn1)1()21)(11(nnnnnnnnSA1)1ln()21ln()11ln(1ln12ln2d)1ln(10xx于是eSnn4lim1022dsinlimxxnxn解:nknknkxxnxxxnx11221022dsindsinnknknkkxxn1122dsinnkkkkttn1)1(22dsin131d110212xxnnkk设其它,010,)(nxnxxn10)()(nknnkxxg求极限10d)(limxxgenxn解:nkxnxnknkxnkxexxge1101d)1(d)(101101d2121d)(d)1(11xeenxxexnkxexnknknnkknknknkk三、定积分10d)(xxf是和式niiixf1)(的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据假定积分10d)(xxf存在,则当n时,两个和式:ninnifnS1)1(1和ninnifn1)212(1都趋向于10d)(xxf不过收敛速度有所不同研究下面的问题:假设)(xf在1,0连续,试证11021|d)(|MnSxxfn,21041|d)(|Mnxxfn其中1M和2M是与)(xf有关的正数证明:|)1(1d)(|d)(|11101nknknnkfnxxfSxxfnknknknknkxnkfxf11d|)1()(|nkknknkxnkxf11d|)1)(|nknknkxnkxM111d)1(nMnMnknknk21211121(其中|:)(max|1bxaxfM)