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积分习题课解答.doc

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积分习题课解答.doc

积分习题课题目及解答积分概念一、有关可积性的练习我们知道,在区间,BA连续的函数有原函数,并且有牛顿-莱布尼茨公式.下述定理说明函数的连续性并不是牛顿-莱布尼茨公式成立的必要条件.定理假设XF区间,BA可积且有原函数XF(注释在区间,BA可积的函数未必有原函数)则有DAFBFXXFBA.提示对于区间,BA任意分割BXXXATN10.注意到NIIINIIIXFXFXF111.2.求证假设XF在,BA可积,则0,存在区间,BA上的阶梯函数XG,使得BAXXGXFD||.二、求和1.NNNNNN12211LIM.(E4)2.1022DSINLIMXXNXN.(31).3.设其它,010,NXNXXN.10NKNNKXXG.求极限10DLIMXXGENXN.(10D21XEX).4.用极限定义计算10D2XX.三、定积分10DXXF是和式NIIIXF1的极限,这个定义为定积分的近似计算提供了依据.假定积分10DXXF存在,则当N时,两个和式NINNIFNS111和NINNIFN12121都趋向于10DXXF.不过收敛速度有所不同.研究下面的问题假设XF在1,0连续,试证①11021|D|MNSXXFN,②21041|D|MNXXFN.其中1M和2M是与XF有关的正数.反常积分一、收敛判别1.1DLN1收敛PXXXP,2.0DLN0PXXXP(发散),3.0D1LN0PXXXP.(1P收敛)4.0D11LN1PPXXX(1P收敛).5.20DSINLNXX(收敛),20DSINLN1XX(发散),6.032D421XXXX(收敛).7.1D1COSLNXXX.(发散换元XTLN)8.1D21SIN1COS1XXX(收敛,泰勒公式,比阶判别法)二、反常积分计算1.03D2XEXX,(21,换元法)2.12DARCTANXXX(4LN41,分部积分法),3.022D1LNXXXX(0,分部积分计算,或者换元法)三、证明题1.(1)举例说明AXXFD收敛未必有0LIMXFX.即使非负函数也是如

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