2020版高中数学第四章导数应用章末复习学案北师大版.docx

第四章 导数应用章末复习学习目标1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题1函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)>0，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果f(x)<0，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x<a时，f(x)>0，当x>a时，f(x)<0，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x<a时，f(x)<0，当x>a时，f(x)>0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值题型一函数的单调性与导数例1已知函数f(x)(x2ax2a23a)ex(xR)，其中aR.(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率；(2)试求f(x)的单调区间考点利用导数研究函数的单调性题点求含参数函数的单调区间解(1)当a0时，f(x)x2ex，f(x)(x22x)ex，故f(1)3e.即曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为3e，(2)f(x)x2(a2)x2a24aex.令f(x)0，解得x2a或xa2，当2aa2，即a时，f(x)0，f(x)在R上是增加的；当2a<a2，即a>时，则当x(，2a)或x(a2，)时，f(x)>0，故f(x)在(，2a)，(a2，)上为增函数，当x(2a，a2)时，f(x)<0，故f(x)在(2a，a2)上为减函数；当2a>a2，即a<时，则当x(，a2)或x(2a，)时，f(x)>0，故f(x)在(，a2)，(2a，)上为增函数当x(a2，2a)时，f(x)<0，f(x)在(a2，2a)上为减函数综上所述，当a<时，f(x)的增区间为(，a2)，(2a，)，减区间为(a2，2a)；当a时，f(x)的增区间为(，)；当a>时，f(x)的增区间为(，2a)，(a2，)，减区间为(2a，a2)反思感悟(1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间(2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价(3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集(4)求参数的范围时常用到分离参数法跟踪训练1已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在R上是增加的，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数解(1)求导得f(x)3x2a，因为f(x)在R上是增函数，所以f(x)0在R上恒成立即3x2a0在R上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在R上是增加的，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，则f(x)0在(1,1)上恒成立即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x2<3，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)<0，所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，)题型二函数的极值、最值与导数例2已知函数f(x)x2alnx.(1)若a1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a1，求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(3)若a1，求证：在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)x3的图像的下方考点导数的综合应用题点导数的综合应用(1)解由于函数f(x)的定义域为(0，)，当a1时，f(x)x，令f(x)0，得x1或x1(舍去)，当x(0,1)时，f(x)<0，函数f(x)是减少的，当x(1，)时，f(x)>0，函数f(x)是增加的，所以f(x)在x1处取得极小值，且极小值为.(2)解当a1时，f(x)x2lnx，f(x)x>0，则函数f(x)在1，e上为增函数，所以f(x)minf(1)，f(x)maxf(e)e21.(3)证明设F(x)f(x)g(x)x2lnxx3，则F(x)x2x2，当x>1时，F(x)<0，故F(x)在区间1，)上是减函数，又F(1)<0，所以在区间1，)上，F(x)<0恒成立即f(x)<g(x)恒成立因此，当a1时，在区间1，)上，函数f(x)的图像在函数g(x)的图像的下方反思感悟1.已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义2讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即f(x)的正负3求函数在闭区间上的最值，只需比较极值和端点处的函数值即可跟踪训练2已知函数f(x)exaxa(aR且a0)(1)若函数f(x)在x0处取得极值，求实数a的值，并求此时f(x)在2,1上的最大值；(2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围考点导数的综合应用题点导数的结合应用解(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)exa，f(0)e0a0，a1.f(x)ex1，在(，0)上，f(x)<0，f(x)是减少的，在(0，)上，f(x)>0，f(x)是增加的，当x0时，f(x)取得极小值，a1.f(x)在2,0上是减少的，在(0,1上是增加的，且f(2)3，f(1)e，f(2)>f(1)，f(x)在2,1的最大值为3.(2)f(x)exa，由于ex>0.当a>0时，f(x)>0，f(x)是增函数，且当x>1时，f(x)exa(x1)>0.当x<0时，取x，则f<1aa<0，函数f(x)存在零点，不满足题意当a<0时，令f(x)exa0，则xln(a)在(，ln(a)上，f(x)<0，f(x)是减少的，在(ln(a)，)上，f(x)>0，f(x)是增加的，当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)>0，解得e2<a<0.综上所述，所求的实数a的取值范围是(e2,0)题型三生活中的优化问题例3某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大考点题点解(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2rh200rh(元)，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又由题意知200rh160r212000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)因为r>0，又由h>0可得0<r<5.故函数V(r)的定义域为(0,5)(2)因为V(r)(300r4r3)，所以V(r)(30012r2)令V(r)0，解得r15，r25(因为r25不在定义域内，舍去)当r(0,5)时，V(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数当r(5,5)时，V(r)<0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大反思感悟利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法(1)分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系yf(x)，根据实际问题确定yf(x)的定义域(2)求方程f(x)0的所有实数根(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小，根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值跟踪训练3一家公司计划生产某种小型产品，该产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每销售1万件该产品的收入为4x万元，且每生产1万件国家给予补助万元(e为自然对数的底数)(1)写出月利润f(x)(万元)关于月产量x(万件)的函数解析式；(2)当月生产量在1,2e万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润的最大值(万元)及此时的月生产量(万件)(注：月利润月销售收入月国家补助月总成本)考点题点解(1)月利润月销售收入月国家补助月总成本，f(x)x1x22(e1)x2elnx2(x>0)(2)f(x)2x2(e1)(x>0)，当x1,2e时，f(x)，f(x)随x的变化情况如下表所示：x1，e)e(e,2ef(x)0f(x)极大值由上表得f(x)x22(e1)x2elnx2在1,2e上的最大值为f(e)，且f(e)e22.即月生产量在1,2e万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为e22(万元)，此时的月生产量为e万件导数中不等式证明问题典例已知函数f(x)xax2lnx(a>0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：f(x1)f(x2)>32ln2.考点题点(1)解f(x)(x>0，a>0)，不妨设(x)2ax2x1(x>0，a>0)，(*)则关于x的方程2ax2x10的判别式18a.当a时，0，(x)0，故f(x)0，函数f(x)在(0，)上是减少的；当0<a<时，>0，方程f(x)0有两个不相等的正根x1，x2，不妨设x1<x2，则当x(0，x1)及x(x2，)时，f(x)<0，当x(x1，x2)时，f(x)>0，f(x)在(0，x1)，(x2，)上是减少的，在(x1，x2)上是增加的(2)证明由(1)知当且仅当a时，f(x)有极小值点x1和极大值点x2，且x1，x2是方程(*)的两个正根，则x1x2，x1x2，f(x1)f(x2)(x1x2)a(x1x2)22x1x2(lnx1lnx2)ln(2a)1lnaln21，令g(a)lnaln21，当a时，g(a)<0，g(a)在内是减少的，故g(a)>g32ln2，f(x1)f(x2)>32ln2.素养评析(1)不等式证明中，常构造函数把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值解决(2)通过对条件和结论的分析，探索论证思路，选择合适的论证方法给予证明，这正是逻辑推理素养的充分体现.1已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有()Abf(b)af(a) Bbf(a)af(b)Caf(a)bf(b) Daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案A解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数a<b，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)故选A.2用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()A2m3B3m3C4m3D5m3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案B解析设长方体的宽为xm，则长为2xm，高为h3x(m)，故长方体的体积为V(x)2x29x26x3，从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去)当0<x<1时，V(x)>0；当1<x<时，V(x)<0，故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积VV(1)9×126×133(m3)3对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x1)f(x)0，则必有()Af(0)f(2)<2f(1)Bf(0)f(2)>2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)2f(1)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案D解析若f(x)不恒为0，则当x>1时，f(x)0，当x<1时，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增加的，在(，1)上是减少的所以f(2)>f(1)，f(1)<f(0)，即f(0)f(2)>2f(1)若f(x)0恒成立，则f(2)f(0)f(1)综合，知f(0)f(2)2f(1)4若函数yx3ax有三个单调区间，则a的取值范围是_考点利用函数单调性求变量题点已知函数单调性求参数答案(0，)解析由题意知，y4x2a的图像与x轴有两个交点，16a>0，a>0.5已知函数f(x)lnx，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值问题解(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知，f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)lnx(x>0)，则f(x)(x>0)令f(x)0，解得x1(舍)或x5.当x(0,5)时，f(x)<0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)>0，故f(x)在(5，)内为增函数所以函数f(x)在x5时取得极小值f(5)ln5.1导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法2利用导数求解优化问题，注意自变量中的定义域，找出函数关系式，转化为求最值问题