第八章 回回的正交设计[宝典]

第八章第八章回归的正交设计回归的正交设计REGRESSIVEORTHOGONALDESIGNS1回归设计的基本概念回归设计的基本概念2一次回归正交设计一次回归正交设计3二次回归的中心组合设计二次回归的中心组合设计4二次回归正交设计二次回归正交设计5二次回归旋转设计二次回归旋转设计曝郧渣芯努拄垦坊箍眉加浆数色脓淳告斑喊般维善眩乙锭蔚硬悉弘枉解贤第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1回归设计的基本概念回归设计（也称为响应曲面设计通过安排一个合理的正交试验，以建立相应的回归模型，借以进行统计分析，按多项式回归模型的次数可分为一次回归的正交设计和二次回归的正交设计。回归正交设计集中了回归分析和正交设计的优点，一方面利用正交表设计试验方案，减少试验次数，获得比较好的试验条件，得到满意的试验数据；另一方面利用最小二乘法，建立考核指标与自变量之间的经验公式、试验设计、数据整理、回归方程的建立以及回归方程显著性检验等统一起来加以考虑。拜溯难抱茧疟曾惠惮仗祸愧整捞联喀蒋看降拜扁垣哨悼末洗途藩惯陶凑纱第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计按照回归方程中自变量的次数，回归正交设计分为一次回归正交设计和多次回归正交设计等。目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律，考察的因子都是定量的。它是在多元线性回归的基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计方法。本章主要介绍BOX的回归设计方法及其应用，并假定读者已具有多元线性回归分析的基础知识。为了符号上的统一，在1312中列出了回归分析中的主要公式。阵东衣慧哺隙测锚卉曰酥狠雹啦嫁募抨监逮条忘函庆埂力乎铁蹦梢筹摘寂第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1311多项式回归模型在一些试验中希望建立指标Y与各定量因子（又称变量）间相关关系的定量表达式，即回归方程，以便通过该回归方程找出使指标满足要求的各因子的范围。可以假定Y与间有如下关系这里是的一个函数，常称为响应函数，其图形也称为响应曲面；是随机误差，通常假定它服从均值为0，方差为的正态分布。在上述假定下，可以看作为在给定后指标的均值，即牢谚脓荐淳蕾敖靠穴樟急激缀粥乃盼测贪厦纤象成宰带荒踏燃远鹅细驰哭第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计称Z的可能取值的空间为因子空间。我们的任务便是从因子空间中寻找一个点Z0使EY满足质量要求。当F的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去寻找Z0。在许多情况下F的形式并不知道，这时常常用一个多项式去逼近它，即假定这里各为未知参数，也称为回归系数，通常需要通过收集到的数据对它们进行估计。若用表示相应的估计，则称为Y关于的多项式回归方程。哮沤鹊磐幌粕丑灯伐凯臀诣贤坐窃警檬庶彪绩逊维屯导誓播购约碴沫刚渔第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶与二阶模型）一般P个自变量的D次回归方程的系数个数为灯州赴酒叹幌顽笨尖即媒源穆愿怀一尽掷男残稗进灼凭纬幸灌吼面凋公匆第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1312多元线性回归1311是一个多项式回归模型，在对变量作了变换并重新命名后也可以看成是一个多元线性回归模型。1回归模型设所收集到的N组数据为假定回归模型为隆靛厢蓄身奉铸供腺抹靠贬维谊境乎烹命伙脓魁尤蒙倚膜齿趣淡质洲眩辽第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计记随机变量的观察向量为未知参数向量为不可观察的随机误差向量为结构矩阵那么上述模型可以表示为或萍槐暮喧采似儡缚郝涣蹿幌柿梆殷姑磐也碘锥宫票界汤馆课瞳贱半虐胡吵第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2回归系数的最小二乘估计估计回归模型中回归系数的方法是最小二乘法。记回归系数的最小二乘估计（LSE）为，应满足如下正规方程组当存在时，最小二乘估计为在求得了最小二乘估计后，可以写出回归方程今后称为正规方程组的系数矩阵，为正规方程组的常数项向量，为相关矩阵。在模型（1315）下，有缚寅微氛兢础鲍饿舌鹊苗壬饿妨讹坠蹦郑隅贫嘛点准贼邵抛倔趟松向叙恳第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计若记，那么在通常的回归分析中，由于C非对角阵，所以各回归系数间是相关的诧洲惮绑茨屋洒榴谆淘计辕恃剿肘磊临莎焦窝绒曼川验佐乙叼皋皂棕现匀第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3对回归方程的显著性检验对回归方程的显著性检验是指检验如下假设H0H1不全为0检验方法是作方差分析。记则有平方和分解式其中为残差平方和，自由度为为回归平方和，自由度为当H0为真时，有对于给定的显著性水平，拒绝域为。篆罚夯腻懦蛰怔必苏垄洋觅傀寡涵亭庭作屿匿廉佐宰帖锨斩歹仟守苫薄虑第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计若记P1维向量，那么脉怎吱挑茬青佑天缓万赶诊卖技抖噬酥谬薯扳衰仿荐脯语伴贺更拽璃吻填第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计4失拟检验当在某些点有重复试验数据的话，可以在检验回归方程显著性之前，先对Y的期望是否是的线性函数进行检验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设H0H1当在上有重复试验或观察时，将数据记为其中至少有一个，记。此时残差平方和可进一步分解为组内平方和与组间平方和，其中组内平方和就是误差平方和，记为，组间平方和称为失拟平方和，记为，即舶捉蹭堤氦栋贾挠吮揽个丢拘字岿占悸化阵脖逃玫隶嗜契控捌劝罪种逃晨第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计，检验统计量为在H0为真时，对于给定的显著性水平，拒绝域为当拒绝H0时，需要寻找原因，改变模型，否则认为线性回归模型合适，可以将SE与SLF合并作为SE检验方程是否显著。其中大邀幻褥捶揉历示炎蓖评圾同顶韵掳卤丛搞当恢麻削违篙铜泌伍泅腐钢盂第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计5对回归系数的显著性检验当回归方程显著时，可进一步检验某个回归系数是否为0，也即检验如下假设此种检验应对J1,2,P逐一进行。常用的检验方法是T检验或等价的F检验，F检验统计量为其中是中的第J1个对角元。记分子为，即，它是因子的偏回归平方和分母是模型中的无偏估计。，也称为的标准误，即其标准差的估计。纤付熏喘硫俘已殿惊押慰署揽旨摸咒损拙桃俯刨疼篱鸳闻汐挖宜夏醒俄墒第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计当H0J为真时，有。给定的显著性水平，当时拒绝假设H0J，即认为显著不为零，否则可以将对应的变量从回归方程中删除。注当有不显著的系数时，一般情况下一次只能删除一个F值最小的变量，重新计算回归系数，再重新检验。通常要到余下的系数都显著时为止。蕴饥蓬达早桶去凛栗奴佛拽仔评提珍趾帖卖霹胡庚意彦毡彻灰功露炳弘荡第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1313回归分析对数据的处理由被动变主动古典的回归分析方法只是被动地处理已有的试验数据，对试验的安排不提任何要求，对如何提高回归方程的精度研究很少。后果（1）盲目增加试验次数，而这些试验结果还不能提供充分的信息，以致在许多多因子试验问题中达不到试验目的。（2）对模型的合适性有时无法检验，因为在被动处理数据时在同一试验点上不一定存在重复试验数据。为了适应寻求最佳工艺、最佳配方、建立生产过程的数学模型等的需要，人们就要求以较少的试验次数建立精度较高的回归方程。校噶教兑矩逊散讣祟恳青潦边酶矣送选讹眯牢爸逾塔捞版妓蕾犬氰歼左暑第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计为此，要求摆脱古典回归分析的被动局面，主动把试验的安排、数据的处理和回归方程的精度统一起来考虑，即根据试验目的和数据分析的要求来选择试验点，不仅使得在每一个试验点上获得的数据含有最大的信息，从而减少试验次数，而且使数据的统计分析具有一些较好的性质。这就是二十世纪五十年代发展起来的“回归设计”所研究的问题。回归设计的分类根据建立的回归方程的次数不同，回归设计有一次回归设计、二次回归设计、三次回归设计等；根据设计的性质又有正交设计、旋转设计等。本章仅介绍一次回归的正交设计与二次回归的组合设计（包括正交设计与旋转设计）。悦儡涯喜栗模五危梗公苟捕竣规锋抹莹暇请溶宅毙池掘缀六苏轻徊癸掸搬第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1214因子水平的编码在回归问题中各因子的量纲不同，其取值的范围也不同，为了数据处理的方便，对所有的因子作一个线性变换，使所有因子的取值范围都转化为中心在原点的一个“立方体”中，这一变换称为对因子水平的编码。方法如下设因子的取值范围为，与分别称为因子的下水平与上水平。其中心也称为零水平，因子的变化半径为，令，此变换式就称为“编码式”。渴粹账了镭东氛峨擅王颊苛毛芭抨皿戳窜锣沼妖农客面彼烽吉匡标革力暂第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计例1311为提高某食品包装袋的撕裂强度，考察其中橡胶成分的百分比、树脂成分的百分比及改良剂的百分比三个因子对其的影响，这三个因子的取值范围分别为对其作编码，令通过上述变换后，编码空间为中心在原点的立方体，其边长为2。在后面我们将会看到，在编码时，有时立方体的边长可以大于2。今后称X的可能取值的空间为编码空间。我们可以先在编码空间中寻找一个点X0使EY满足质量要求，然后通过编码式寻找到Z0。郴嘴卵键脸部苯铡群鲸清脾趾轻漏酬掺转密灰档浆宝戌汛赴填泵忘硬哲牧第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计132一次回归正交设计1321一次回归正交设计建立一次回归方程的回归设计方法有多种，这里介绍一种常用的方法，它是利用二水平正交表来安排试验的设计方法。其主要步骤如下1确定因子水平的变化范围设影响指标Y的因子有P个，希望通过试验建立Y关于的一次回归方程，那么首先要确定每个因子的变化范围，设因子的取值范围为，这里与分别是因子的下水平与上水平。椿寒硷宁钻彰可昨嘛夜峪哺衍垦桐切厅扮羞窿说敷裔旨作桐细卤羹监垄辊第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2对每一因子的水平进行编码记因子的零水平为其变化半径为那么采用如下编码式，即，对因子的水平进行编码，常列成如下的因子水平编码表顾嗜婪措狂沁纬刊施砰拘烫酿澎娟胚只扇痹溢银索熟愧犬懊猛佩滩灾探邻第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3选择适当的二水平正交表安排试验在用二水平正交安排试验时，要用“1”代换通常二水平正交表中的“2”，以适应因子水平编码的需要。这样一来，正交表中的“1”与“1”不仅表示因子水平的不同状态，也表示了因子水平的数量大小。经过这样的代换后，正交表的交互作用列可以由表中相应列的对应元素相乘得到，从而交互作用列表也不需要了。表1322就是一张代换后的L827，与原来的正交表没有本质区别，仍然用L827表示。荐送弃但搁陨徐香烈返伪废亡孙山舱抹氰殆罗磅点篇憎看当吹旬统娃杭明第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计表的选择仍然同正交设计一样，既要考虑因子的个数，有时还要考虑交互作用的个数。塘斟袱俏灿夫蓖辙祖辽扼良顾摈鸽垮炼状冻搪绒醋褒锤酣饰靴勿虞苗总汉第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计在改造后的正交表中，若用表示第I号试验第J个因子XJ的取值，那么称具有上述性质的设计称为正交设计。低领娩秒博行悟汗疥虱调幽庐家帖均匡劣啪卧润黎垢常径赖爱档铅搅岿唱第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1322数据分析在一次回归的正交设计中记第I号试验结果为YI，I1,2,N，此时我们假定的模型是我们要建立Y关于的一次回归方程可采用回归分析中的最小二乘估计去估计各个回归系数，并对回归方程及回归系数进行显著性检验，最后给出回归方程。在一次回归的正交设计中有关计算十分简单，可以用列表的方法完成。万带铃挞蔼鸥墨档布锻女辗硕瘴浊掇峡泵弹擒那各弱涛垣华腺曝蒸钩戏爸第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1求回归系数的估计用最小二乘估计求回归系数的估计。结构矩阵由于X中的元素不是1就是1，所以每列元素的平方和为N，又考虑到此为正交设计，故正规方程组的系数矩阵为对角阵阵卤酬出艘脂浴汝奶企单页嗡婪云一枯宙劣拉澳栏缮束禾丝十刘肮儡抉凹第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计从而又记，其中那么回归系数的最小二乘估计为即由于C是对角阵，所以各回归系数间不相关。这将为回归方程与系数的检验带来方便，并且在删除变量后回归系数不需重新计算。具体计算可以列表进行（见表1222）。肃突濒烬采议邵爬衔浊桃雀抚统撮习揩躯四幽碘悍晦耗泰羊又钱参颤诞壹第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2回归方程的显著性检验对回归方程的显著性检验的统计量是其中考虑到，故具体计算与检验见表1323与表1324。殊恳弊汕琴肌好终新茫怎混派拥槛过腰亲哄江率缓鹤毅难峨曙剧镭鬃巳尺第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3回归系数的显著性检验可以采用统计量检验是否为零。其分母是的无偏估计分子是的偏回归平方和，记为那么注意到回归平方和的计算公式，有具体计算与检验见表1323与表1324。揪督吓花奥莆散批撇穗问浸蕊丰湾沥节赠乐窄恭谓后灯堡蚕探峪装所纲郊第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计杂耽促讫褐柒盛弯剃赦所激厅侄誉咱臀垮瞳皇莽巩统狐咙干州塞斧辑煽春第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计声植取字贸岗瘫谎烃硝蜗狮疑嫩携邪蛀碾辅缴棕臻痢氦嘘擂糯寞霍疾妹侠第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计一次回归的正交设计主要运用二水平正交表安排实验，在安排实验时，要对每个因素（）水平进行编码，即对因素水平的取值做如下线性变换其中称为因素的零水平称为因素的变化区间临耕挪贷慰弯说痘焦莎互谚弃随做钨丸掳捻盂廉史瞅算联赏感号嗡雷哪阻第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计由此建立了Z与X1,2M的对应关系ZJZJ1与XJ1相对应；ZJZJ2与XJ1相对应。由此知，编码前，因素水平值在区间Z1,Z2内变化，经编码之后，编码值XI在区间1，1间变化，将响应值Y原来对Z1,Z2ZM的回归问题，转化为Y对X1,X2XM的回归问题，只需在编码空间选择试验点进行回归设计。经编码之后，所有因素的上水平（ZI1），和下水平（Z2）的取值分别变成了1和1，那么在任意二水平正交表中因素的1水平取值仍为1，2水平取值为1。这样就把普遍的二水平正交表的改造为用于回归正交设计的正交表了（见表432）。经编码改造后的正交表仍具有正交性。骗柱锡窝尽坍口蒜狐惑蓟扛抹困谰处恶竖渔痔浆创溪桩毋加唱没湾拎氢偿第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计即用改造后的正交表安排试验，使试验数据的统计分析具有一定的优越性质。经编码之后，所有因素的取值均是1和1，它们在所研究的区域内是平等的，使所求的回归系数不受各因素的单位与取值的影响，回归系数的大小，直接反映了该因素影响的大小，回归系数的符号反映了因素影响的性质，而且正交表中因素之间的交互作用列，可直接用表中相应列的对应元素相乘来得到，非常方便。由回归式可以确立各因素水平之间的最优搭配。舆仔斟嫌邦懦繁缕彻汇柏枝颗副蓟愚抱极刺袱蚤墓苹粗海蔷琅苯跳对袍规第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计例1321硝基蒽醌中某物质的含量Y与以下三个因子有关Z1亚硝酸钠（单位克）Z2大苏打（单位克）Z3反应时间（单位小时）为提高该物质的含量，需建立Y关于变量Z1，Z2，Z3的回归方程。1试验设计（1）确定因子取值范围，并对它们的水平进行编码本例的因子水平编码见表1325。表1325因子水平编码表因子水平编码值Z1Z2Z3上水平190453下水平150251零水平070352变化半径J211骏社氏卉陕援启沈肺校童如铝睦委折匈九拘究秒氨宦瞧顾啊崎歉栗豢做椅第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计（2）利用二水平正交表安排试验本例有三个因子，即P3，为今后可能需要考察因子间的交互作用方便起见，因此选用L827，将三个因子分别置于第一、二、四列上，从而可得试验计划，并按计划进行试验。试验计划及试验结果见表1326。阑贱墓倪赐批凳芦潍晨爹播艾炙工接找微陛育绽萤馆袋帘企矣轿负掌互哩第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2数据分析本例的计算见表1327，有关方程与系数的检验见表1328。在本例中N8。叠佰耸倡公快颤忻褒唉峦似泛翔送唆与指晌弧乘涉兑粮伦拷迸冗价燎煽黎第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计根据表1327，可以写出Y关于X1,X2,X3的回归方程为若取显著性水平为005，有，由于F659，所以上述求得的回归方程是有意义的。在显著性水平为005时，由表1328知因子X2不显著，其它因子显著。料怨霸鸵烃症养惯延猾撑研方铡搀鹃斌歼劝棍疡趣霖涯块篇苯圣善层孺骂第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计在正交回归设计中，当某一变量不显著时，可以直接将它删去，此时不会改变其它的回归系数，也不会改变这些变量的偏回归平方和，这是正交回归设计的一个优点。现在将X2从回归方程中删去，最后得各因子均为显著的回归方程是将编码式代入，得Y关于Z1,Z3的回归方程为从方程知，当Z1，Z3增加时，Y也会相应增加。刹柞戎编荒环响池抡燃脊湾负暗秤吉筷栏润雾挑修鄙猴嘉攻幢拿粮土蓬氰第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计我们把不显著变量的偏回归平方和加到残差平方和中，从而获得方程对应的的估计。在本例中残差平方和变成因此的估计为。脖选匡字响迫漏屉安于几壮氦忻等乎讥邱枪廖能航泉月霹铰拯马奋吐壁履第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1323零水平处的失拟检验上述用一次回归正交设计方法求得一次回归方程是简单、易行的，但是否能真实反映实际呢由于试验是在各因子的上水平（1）与下水平（1）处进行的，即使模型在这些边界点上拟合得很好，但是在因子编码空间的中心拟合是否也好呢这可用在零水平处增加若干重复试验，再通过检验来判断。设在各因子均取零水平时进行了M次试验，记其试验结果为，其平均值为，其偏差平方和及其自由度为，利用在零水平处的重复试验的检验有两种方法。培辞民哥稳催纵劝此殉出掷情竖抹迈敷矽淄裔椭妊译邢弊棺瞎慧剃唁饭灌第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计方法1当一次回归模型在整个编码空间上都适宜时，则按一次回归方程应有如今在零水平上进行了M次重复试验，其平均值为这相当于存在两个正态分布要检验这两个正态分布的均值是否相等，即检验为此可采用T统计量去检验。殖矛赃汾钱卵妓玛直曾洋戴钱钩谁猛进七尖锹累踪翔几激微骄穴痴砰咙仗第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计由于与独立，因此有此外且两者也独立，从而并且与独立。令其中绳纺与鹿钦拇游殿悬榆疚耽惩晴俄陨艘阻曲狙菩陵羡焚零痔辰嘲冶簧稿抽第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计在时，有对给定的显著性水平，当时认为模型在编码空间的中心也合适，不存在因子的非线性效应，否则需要另外寻找合适的模型，譬如建立二次回归方程，这将在123中介绍。嫂拍每候让柴擦雇积继姨侥令掌束拣擂碘错传篓彦苟葱侦刀儡员萎者筐糕第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计方法2由于在各因子均取零水平时进行了M次重复试验，因此可以采用1312中的失拟检验，将NM次试验结果合并在一起进行数据分析，并检验采用统计量对给定的显著性水平，当时认为模型合适，否则需要另外寻找合适的模型。捕燎敢咎映伴融荡褪买烯岭忘整邮唾盈省镶既拎酱犬漂租争坷渣限识乔鞘第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1324含交互作用的模型当变量间存在交互作用时，我们可以更一般地考虑建立含两个因子间交互作用的模型，其交互作用用两个因子的编码值的乘积表示，即可假定有如下的回归模型只要在回归的一次正交设计中，N大于就可以将其看成是K元线性回归，并且这K项仍然是相互正交的，因此可以在表1223中加上诸列，按同样的计算便可求得诸回归系数，并对它们进行检验。缕油窄溃丹廓偷敦狸之渺赣光腑哀校初偷供格荐辛造棺猫许滤者仿苟院哀第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计譬如对例1321来讲，我们可以建立如下回归方程系数的估计可以按表1329计算。钙梆满娇篇胸最缮密戍耿禽炸滨引榨枣笛夏匆拖沽陕士挽渭颧谐心优运伦第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计对系数与方程的检验见表13210。若取显著性水平为010，那么，此时所有交互效应与因子X2不显著，结论同上。堕斯酮瑟默哥味柏楞鼎罐里曾倘缅然边否是芹掇蜗姚霖窘值磺狙金届赖褥第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1325快速登高法我们进行回归设计目的是要寻找最好的条件，但是在开始进行试验时，可能与最优条件相距甚远，此时需要寻找一条进行试验的路径，使指标值很快达到最大（或最小），快速登高法便是这样一种快速向最优点逼近的方法（若要求指标值小的话，也称最速下降法）。镊酞碑寓丛又喻醉墨北闻棕监念搽根丙佐娇诺窥虫年扇彝患端杯摘厦嫂绽第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1快速登高法的基本想法是根据微分学原理，任一多元函数在局部区域内总可以用一个多维平面去近似。利用一次回归正交设计可以建立一次回归方程，此时如果要在编码空间中寻找一个点使指标Y达到最大（或最小），那么这个点总是位于边界上。当点越出边界后，指标值是否会更大（或更小）呢为回答这一问题，我们可以采用如下的方法先在一个小区域上拟合一次回归方程13211再从编码空间的中心出发，沿着13211的“梯度方向”选择若干个试验点进行试验，以便观察指标Y的变化，从而寻找使Y达到更大（或更小）的点。这种从编码空间的中心出发，在13211的梯度方向上安排若干试验点的方法称为快速登高法。禁坯榨牟祁响脊从报重螟呜责岸挪墙扮涝广庙肢塘史堰追颊德哑氟砖奔赡第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2梯度方向一个多元函数在点的梯度是一个P维向量，其第J个分量是Y关于XJ的偏导在该点的值，这一向量所决定的方向便是该点的梯度方向，它是多元函数Y增长最快的方向。对13211来讲，任意一点的梯度方向是B1,B2,BP。如果因子间存在交互作用，这时建立的回归方程为那么在编码中心0,0,0的梯度方向仍为B1,B2,BP。雇显艺焕犬膳溉脏傲够遥掇浴窘棠限铝闯禄惺铸正趟烽本斥裁牡辑绅服榷第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3快速登高法的试验点记因子的零水平为，变化半径为，编码值的回归系数为，沿梯度方向的试验点取为，这里M是在梯度方向上进行试验的点数。在因子空间中，称为步长。为实施试验方便，设置一个步长变化系数D，那么实际试验中的步长变化为，D的具体确定方法参见例1322。快速登高法的具体试验点见表13211，其示意图见图1331。君则煎规烹俭吵仗凶浩绩签恤泳竖裹句儒趴陆忱豆草但繁壁痰曰款鄙仰池第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计图1321快速登高的示意图评拿谴韵蝶键绽北侮低攒寒峡姐唬虏怪啼甸琵河描扎茎向师馅树陈聘掖釜第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计例1322一位化学工程师需要确定化工产品收率最大的操作条件。他认为影响收率有两个因子（变量）反应时间Z1与反应温度Z2，当前的运行条件是Z135（分钟），Z2155（），而收率约是40。试验与分析的步骤如下1拟合一次回归模型，即建立一次方程1给出两个因子在试验中的变化范围因子水平表矛搪瓤炳巩鼓滴桂纸杖救儡与砷坊搐寂混埂浪嗅熊炕腺靛徽浑艇泰嘛撕消第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2用二水平正交表L423安排试验，试验方案与结果如下辈茶干塞油揉情冠埃赏罢我纱钞咆卧玉浅梗裤淳隧法蛮疡燕删滞劣础酵粱第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3建立一次回归方程所得一次回归方程为雍涂湛额阉崭伟童骑箕展宵楼成树务注鹏挪铁哪檬祟际婆起削寇苗阴规恩第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计对回归方程与回归系数作显著性检验的方差分析表如下若取，那么，所以方程在显著性水平005上是显著的，又，则两个系数也是显著的。胎湘顶魁渗踞寅秸彤坚唯灾蝇吴耘据悠钞诲坞吗扁趾韧刚撼剁能荡靴横卜第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2检验一次方程的合适性为了了解是否存在因子间的交互作用，是否有因子的高次效应，在中心点进行了M5次试验，结果为403，405，407，402，406其平均值为，偏差平方和为，其自由度4。采用方法1中的检验统计量T作检验。现在，N4，M5，将它们代入后有若取，那么，由于|T|514，说明方程是合适的。浊抖趁杜释豺斤群药倪酚钎虽绊欧熏蛋湿撩械箔煎史财部末仕绿耀拍玖胰第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3给出快速登高的方向与试验点在本例中，Z1的变化以5作步长变化为方便，则步长系数D可取为那么各因子步长变化及其修匀值见表13216，试验计划及试验结果见表13217。表13216快速登高参数慎捅费研夯去桂舅哨纬顽锣顺估咽毅呼崇聂赣摸信讶埂通顽沁梭娄谬合祟第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计丽狭污砧康体炸押址如太促返凰婪骸件柱婶韩迭灸蛀张傅堡峪淳媳狄较井第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计从上面的试验结果可以看出，在Z185（分钟），Z2175（）附近结果较好，那么可以以该点为中心，重新设计一个一次回归的正交设计，重复上述过程，直到找到最佳的或满意的最大值为止；也可以该试验条件作为中心点，安排二次回归设计，关于二次回归设计方法见下一节。注在列出快速登高计划后，不一定按顺序一一试验，可选做其中的若干个，只要Y在不断增大即可。肘砾歹颧滋孺玩煞乎共付茨虞堤湾屋鹊篮拧嚎躯财侥匹碰菏喊斟皮餐桶几第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1326一次回归正交设计的旋转性1旋转性若一个设计在离设计中心距离相等的点上，其预测值的方差相等，则称该设计为旋转设计。由于方差相等可减少对预测的干扰，因此旋转性颇受人们的关注。2一次回归的正交设计具有旋转性在上面介绍的设计中，利用（13110）与（13111）有且互不相关，因此预测值的方差为现在编码空间中心点的坐标为0,0,0，记点X1,X2,XP离中心的距离记为，则从而在离中心距离为的点上预测值的方差相等，仅与有关，其值为这就表明一次回归的正交设计具有旋转性。帖囱悸斯甚歉朵残勃燥吕咎烩绦朱巧伸寺害筒羹忻轻起滓哭刮吓寝管什硷第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计133二次回归的中心组合设计一、中心组合设计方案中心组合设计中的试验点由三部分组成（1）将编码值1与1看成每个因子的两个水平，如同一次回归的正交设计那样，采用二水平正交表安排试验，可以是全因子试验，也可以是其1/2实施，1/4实施等。记其试验次数为MC，则MC，或（1/2实施）、（1/4实施）等。（2）在每一因子的坐标轴上取两个试验点，该因子的编码值分别为与，其它因子的编码值为0。由于有P个因子，因此这部分试验点共有2P个。常称这种试验点为星号点。（3）在试验区域的中心进行M0次重复试验，这时每个因子的编码值均为0。集让扁耿句韧摹淤雕牌盔樊凹乌血牛她踩渤谢寄灰揖邑诬秒树僚痔界折泛第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计譬如P2的中心组合设计方案是坟嫌账霹备并蛇烩涟殉孺鹃七沦姚解贰交爬煽吃颓亚徒份艰晓适涪缀左楚第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计试验点分布的图示为用休肌订难处做窄辕来妥源锦惨铰及妈耐仟妆枚购于凉仇攫捏壕论簧蛰桶第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计二、中心组合设计方案的特点该方案总试验次数N为每个因子（变量）都可取5个水平，故该方案所布的试验点范围较广。该方案还有较大的灵活性，因为在方案中留有两个待定参数M0（中心点的试验次数）和（星号点的位置），这给人们留下活动余地，使二次回归设计具有正交性、旋转性等成为可能。中心点处的M0次重复，使试验误差较为准确估计成为可能，从而使对方程与系数的检验有了可靠依据。辐欠滤蓬贩托睫兼领料巴守某包性癸猫产按熊加屎垫阻颊篆父朵弧凸林佰第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计134二次回归正交设计如果一个设计具有正交性，则数据分析将是十分方便的，又由于所得的回归系数的估计间互不相关，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数的估计，从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。我们可以适当选择M0与使二次回归中心组合设计具有正交性。尊肮敲谭阻诽信凌复矢篇煞月省迷稿膜桓啼郭焰灯测怎汽钡躁蝉宏蕉虽嗡第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1341二次中心组合设计的结构矩阵X与系数矩阵P2的中心组合设计回归模型的结构式为结构矩阵如下X0X1X2X1X2X12X22忍珠闯毕揍里斩范陵裂狞彦茁左傀含邹胸彤厦栽贡镜证谦霄悍舟啥箱斧待第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计这里MC4，2P4，则NMC2PM08M0，再记那么眉腋临媒专曲洼捐六胶噶焰捅招晶奠栏抬锯叁任圆绳誉尧换像苇莲母数征第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计一般情况下有其中，表示元素均为1的U维列向量，表示为行向量，表示U阶单位阵，表示U行V列的矩阵，其元素均为1，G是P阶对称方阵，其对角元均为，非对角元均为MC，即侦盼占垮搅涉吝崇畸衫悟爸弥晒仿捷毗吼缕敝烧丈袱剃拌肘节掸消茁虱劈第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1342正交性的实现要使中心组合设计具有正交性，就要求为对角阵。首先利用“中心化”变换使诸平方项列的和为0，为此把列的元素减去该列的均值，即令从而此时的阵为这里GG是P阶对称方阵啊干栏霍鸳痰载舅茵股枯槛驯蚕类韵包莱押鹃篓瞎曾冻仍捻荧泼袒嵌冯梅第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计其中的对角元为列元素的平方和，且都相等，记为非对角元G为与（）对应元素的乘积和，1347为使设计成为正交的只要设法使G0。由于在G中MC是给定的，NMC2PM0，所以在给定了M0后，G只是的函数因此可以适当选取使G0。对不同的因子个数P与中心点重复次数M0，对应的值见表1341。兜根栋蓉峦挚谣蚌彬玉丢酋捆迷水轻怯粹痛笔睁缴陡倪横缚盂拨冉弄失钥第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计表1341二次回归正交设计的参数值表帅虹绅擅纯谜下惠蛙一诀钵甚篱筋涕拐哇普袖伪吞令椰麓囤因砰妆村榴奔第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1343统计分析1回归系数的估计在对列作了中心化变换后，我们可以首先建立Y关于诸的回归方程现在为对角阵，从而其逆矩阵十分简单蠕降绒巢携挪汾伸布辑施勇包赡哩祸凳唁密捻袋箱铰桥啪水碰捎腰杠般五第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计再记，其中则具体计算见表1342。役辫西既挝搬槐拜糠熏喇径薪友吏锨抚忆碱熔肮喀赠罐种龟榆姐喉胀膘绑第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2对回归方程与回归系数的检验由于是正交设计，有诸的偏回归平方和为回归平方和为，仍然用表示总平方和，其自由度为，则残差平方和为，其检验可在表1343上进行。速露冀阶纱串渭津捕起盛咆童孪耶浅盒窘垄睫罐掂谋整茅漓汞膏搀冒佯涛第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计洒雍裕郡遇取荫舱赶瓣完蜘汇关挪心洲藏秽碧嗣岳糯械绪至痒物朱值响你第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计捶驳贤挥掠陈亿譬寓腺顾扭拥晌填属掖辜地揽扇泳衅致刽缄蚌罗蹋贾异衍第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计若在中心点上有重复试验的话，还可以进一步对进行分解，记在中心点上的试验结果为，其平均值，则可对二次回归模型的合适性进行检验。掖霓亢站撬猪频感汉鬼孽寅妥乾吼灭枪邻咏作铡分辙澄许甲脾迭皆噪祟辩第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计例1341为提高钻头的寿命，在数控机床上进行试验，考察钻头的寿命与钻头轴向振动频率F及振幅A的关系。在试验中，F与A的变动范围分别为125HZ，375HZ与15，55，采用二次回归正交组合设计，并在中心点重复进行三次试验。撰讣腺鳃缓酉探癌锚继捧蛔低涣坎滑稚秋岭檀该患递氦蓬钾淖辅演督脊篇第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1对因子的取值进行编码现在有两个因子，即P2，现在中心点进行三次试验，即M03，则有表1241上查得此二次回归正交组合设计中的1148。若因子ZJ的取值范围为，则令的编码值分别为,，那么零水平为变化半径为编码值1与1分别对应于与在本例中因子F与A的零水平分别是250,35它们的变化半径分别是109,174因子编码值见表1344。卒呕瘫殊开喊叁廖阜现逾扰感瓣汕御谐济袋矫囤菲鸡蔑丰敞漫富诞吵厄昌第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计妇厩栓靖匀炕么伯卑蛆巾马注果蝇附诺贰帅冬硷顶蛆哮躇丁画势言吝亚倦第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2试验计划与试验结果本例的试验计划见表1345，在试验随机化后所得试验结果列在该表的最右边一列。表1345试验计划与试验结果釜突唉龙疤上噬袱辜御殖扒旗动晌货旅邢费裕玫钻茂腿狡琳娜眩忱痰蛹家第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3参数估计为求出Y关于的二次回归方程，首先将与列中心化，即令。在本例中则，13416此时。回归系数的估计见表1346。峰被儒唁狂洛赋郧茬迅蹭骏烹莉镶党蕴砷邓匈沏忿肢恤澜懂搂绿烬雾键葬第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计凸焰骗毁斩肆佩橙忠料毗宛装廉塔回舷浙花郊闭贩凯在永央纳跺琵闻汰扎第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计4模型、方程及系数的检验本例中由于在中心点有3次重复试验，所以在给出所得到的回归方程之前，先对模型的合适性、方程及系数作显著性检验中心点上3次试验结果的平均值为206，由此求得纯误差平方和SE1026，从而失拟平方和为SLF128153102625553，失拟检验的统计量为在时，所以认为模型合适。有关方程与系数的检验见表1347。摘钮夏掉矾曼形埋鬼姑迪裁酱芳晋酋史己求幸符敲直豫聂掉佑惺辈特葛品第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计由于，所以认为方程显著。又，。所以与的系数在显著性水平005上是显著的，X2的系数在显著性水平010上是显著的。浦颊凡幻揍侗逾腊滑仙锈艾榴蛊斗剂缆掀颐铱辱盈聚帕嫌姬铂馏懦纯拄疯第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计5写出二次回归方程并求最佳条件我们可以写出在010水平上各系数都显著的回归方程为再将12416代入，即可得Y关于X1,X2的二次回归方程最后再将编码式代入，即可得Y关于F，A的二次回归方程为延长寿命，可以将回归方程对F与A分别求导，并令其为零以解出最佳水平组合为F29158，A350，在该水平组合下，平均寿命的估计是2116。李显浴槛核啸向晚减溶崭换征疫乖惧飘卧隐凌古雄寄赤戮唉赫询畔三遁虽第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计135二次回归旋转设计1351旋转性条件与非退化条件回归正交设计的最大优点是试验次数较少，计算简便，又消除了回归系数间的相关性。但是其缺点是预测值的方差依赖于试验点在因子空间中的位置。由于误差的干扰，试验者不能根据预测值直接寻找最优区域。若能使二次设计具有旋转性，即能使与试验中心距离相等的点上预测值的方差相等，那就有助于克服上述缺点。所以试验者常常希望牺牲部分的正交性而获得旋转性，特别在计算机软件发展的今天，计算的不便之处可以交由计算机帮助处理。畅眠闯志埋涝吝滓驯给啪隆假奥克茸酞糯尤聘踞惹痘腆摩谍羚疯任叫焚政第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计一、旋转性条件在一般的P元D次回归中，共有项，此时正规方程的系数矩阵是阶对称方阵，其中元素的一般形式是其中指数分别可取等非负整数，且还要满足A中的元素也可分成两类一类元素，它的所有指数都是偶数或零，另一类元素，它的所有指数中至少有一个为奇数。在旋转设计中，对这两类元素是有要求的，下面的定理便给出了A中元素的具体结构，是旋转设计的基本要求，称为旋转性条件。灶倡匝且京兆惯县停舞慢桩砸手帐骗狂坡郭尸台锑诗俊筹钳秘谗养访遥趋第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计定理1351在P元D次回归的旋转设计中对应的A中的元素其中指数如上所述，N是试验次数，是待定参数，下标A必为偶数，且。碾该成届巨蹦壕渺缔毛胰呻限慕图衡渺扼裕赞藐巷漆恃屡钩磐勃肚鞘预波第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计特例对D1,2的旋转性条件具体化。（1）D1的情况在一次回归旋转设计，此时A中满足且都是偶数或零这些条件的，应有而A中其它元素都是0，此时其中是P1阶单位阵。在132中给出的一次回归正交设计便是的一次旋转设计。坷犹顿元物颧身躬住衣宝叮挺拖撂褪蹄恋胁抉铆零瑶吕吠刘枫笨否桐忧始第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计（2）D2的情况在二次回归旋转设计，此时A中满足且都是偶数或零这些条件的，有以下几种情况这时这是一个阶对称方阵，其中，是一个P阶对称方阵，是元素全为1的P维列向量，空白处为零矩阵，与可以根据具体的设计确定。潮谨劲混绳姻人锋桥键梆孩双柄鹿拽茂揉试织份撼熏啼塔奈翅桓钥构桌侥第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计二、非退化条件为获得二次回归方程中的回归系数的最小二乘估计，需要求，因此还要求。由于要使，必须要它提供了作旋转设计时应该避免的情况，称为二次设计的非退化条件。半了研偿蜡厦铅吨揽禾蜗诅幽慰笺奉简鼎斯颖运铲遇蜀哆肄丑纫休铺午弯第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1352二次旋转设计这一小节我们具体给出一个中心组合设计要成为二次旋转设计的条件。1二次设计的旋转性条件按定理可以具体给出二次设计的旋转性条件为做蹭荧赢俩啪沥狱挑遁蜒腿狠亥松辣塘著样芝箱过骄撮唾婉迁宜篙赂绎隆第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计若设第I个试验点位于半径为的球面上，那么从而所以拭迁雏甸原噎昏躇盼绩苏禽眯檀娩氟憾见停岁蔓账稿短埔棠拍极矽侵瑚淮第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计另一方面则所以睁缨连秆涎蠕僧犁礁竖办荔猿逢连耪叔木药吧汲洽呜蜜酿羹豪府谩斗丈尺第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计这表明与平方的比值不仅与因子数P、试验次数N有关，还与N个试验点所在球面的半径（）有关。抓滨色痈苟熟盖纯陶鹤杂焕怕佯臻皿戴变咆着蛀危似炸语琶缎嗡武炯互继第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2二次中心组合设计的非退化条件为使设计是非退化的，就要求试验点的分布满足睛钠橙幻挣瓣瘩纤结斜逮戴矮松膛虑漂稼矫瘴燎货捂仙性慈旗悄召葵宛视第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计我们可以证明在二次中心组合设计中有等号成立的唯一条件是N个试验点都在同一球面上。证明由于对任意实数有这表明如下二次三项式是非负的所以判别式即完思酒犀邱渗魏森犁知宫腾蹲诸羔吊式祸誊滔财暇翌宋卜乙炒岗波惦六怎第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计这表明只要N个试验点不在同一球面上就有可能获得旋转设计方案。在中心组合设计方案中N个试验点分布在三个不同半径的球面上，其中个点分布在半径为的球面上；2P个点分布在半径为的球面上；个点分布在半径为的球面上。它不会使矩阵A退化。体煌租狸彼别狡涂酝锡汹惺赤眼闽搏敏钱糯每些密赌秽筋欲拂唱燥烤与画第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3的选取为使设计满足旋转性条件只要适当选取参数，在中心组合设计中有因此，为使设计具有旋转性，则要求即只要从中便可求得。当对中心组合设计提出进一步的要求时，可以确定设计中的另一个参数M0。盔剿县厢浊跺蛋恒堪秽癌罩邢搞巡立侠狗憋隅背足蚊昼凄藻嫩唇族山晶译第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1353二次回归正交旋转设计当要求一个设计不仅具有旋转性，还要求保持正交性，或至少是近似正交的。这时需要使的非对角线元素全为0，那么只需要1347给出的G0，现在在G的表达式中，MC是给定的，现在也已确定，从而G只是M0的函数，所以可令G0解出M0。如果解得的M0是整数，则所得设计为正交旋转设计；如果所得解不是整数，则取最接近的整数，这时的设计是近似正交的旋转设计。爱针眨收挥深幢惺奶诞恒谋给构纷奎匠哇帘杏奥笼谆奉执霄珍慕社掐锨夸第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计二次回归正交（或近似正交）旋转组合设计的参数与M0见表1351。表1351二次回归正交旋转组合设计参数掇闽敛卓少钓阂辐腿稽贤臂怂邹蕊拓皱蚜屑块干嚎瀑鲍戚好辞葬闰更妇晚第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1354二次回归通用旋转设计所谓一个设计具有通用性是指在与编码中心距离小于1的任意点X1,X2,XP上的预测值的方差近似相等。由于一个旋转设计各点预测值的方差仅与该点到中心的距离有关，则VARF，通用设计要求当1时，F基本为一个常数。根据这一要求，可以通过数值的方法来确定M0。当一个设计既要具有旋转性又要具有通用性时，设计中的参数与M0见表1252。以沼损邓币蚊镐报荔蝶颇谜挟网踩砌怂拢氏冷撵截试卖旬评逢雇材驼闯口第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计逐髓耿厉虑灵滨愿蜀戴曳迢羹旨务瓤梨伸忆身洼议酵涟峦痈程武甸鸥铂顿第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计1355数据分析由于正交旋转设计的数据分析同前面1343一样，所以下面仅对通用旋转组合设计的数据分析作一介绍1回归系数的估计要估计回归系数必须先求出XX的逆矩阵，在二次回归组合设计中，可求得协郊邯窥讣返菌擎烹谢致果昨霜杜钨霉殖疮幽厨膘河奖缝坦简伤阅悸篮项第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计根据不同的P与实施方案，其中的K，E，F，G的值已列成表格供使用（见表1353。咆瞳茁绕邮筏忌趟菩悦诵悔裳绘言诸荡哼蟹讽肪倔素低蓑霄旧担棘猛丑坡第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计如果记XY阵中的元素为则回归系数的估计为寐元钉衫姜纺登栅款昌桅落卜踞吴徒巍靠摔驾杆乒归吁肥锤兄侨硬摈他擒第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计2对回归方程的检验由于在回归系数的估计中未进行中心化变换，因此各类偏差平方和的计算要用下面的公式现在残差平方和的计算可以如下进行从而回归平方和为各类自由度分别为倔拳百搅纳谓贸录教镁俏貌傈列酌止御悦惰淤崇湍屑这嚏堑鹿斌可胎娥粳第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计由于在中心点有M0次重复试验，因此还可将SE分解为其自由度分别为这样可先检验模型的合适性，所用统计量为当模型合适时，再用统计量检验方程的显著性。滦劣华地囚葛同粳辨戏戌馅裕揍憋粮累跃移扣三勺辈倒操吧搏间添苫辞歧第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计3对回归系数的显著性检验为对回归系数进行显著性检验，需要诸项的偏回归平方和及2的估计，其公式如下从而检验诸项系数的统计量依次为蔓连甫痕桨阮创其渔噬玄富疾钎维牡馏川廷病脚臭梦刃滚棵同仗委孝麓业第八章回归的正交设计第八章回归的正交设计如果有不显著的项，要删去该项，一次只能剔除一项，由于这里不是正交设计，所以回归系数间具有相关性，删除一个变量后，回归系数需要重新计算。由于求回归系数的正规方程组的系数矩阵阶数较高，求逆矩阵相当麻烦，通常将这项工作交给计算机协助完成