2003天津市理工高等数学竞赛真题答案

2003 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横线上面。 ）1设对一切实数 x 和 y,恒有 ，且知 ，则 。)()(yfxyf1)2(f 2f12设 在 x = 0 处连续，则 a = 。, ;,1e2)ln()(2si0xadtxfx3设 ，其中 是由方程 所确定的隐函数，则2),(yzf ),(yz 0xyz。)1,0(yfe4 。02)(xd45曲线 在点 M (1,1,1)处的切线方程为 （或021zyx 3151zyx） 。4zyx二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1 当 时，下列无穷小量0 ； ；xxsin1ta 312x ； ，ico34 e4x从低阶到高阶的排列顺序为（ D ）（A） ； （B） ；（C） ； （D ） 。2 设 ，在 x = 0 处存在最高阶导数的阶数为（ B ）,0,cot)(3xarxf（A） 1 阶； （B） 2 阶； （C） 3 阶； （D）4 阶。3 设函数 在 x = 1 处有连续的导函数，又 ，则 x = 1 是（ B ）)(fy 21)(limxf（A）曲线 拐点的横坐标； （B）函数 的极小值点；)(fy（C）函数 的极大值点； （D）以上答案均不正确。)(xfy4 设函数 f，g 在区间a，b上连续，且 （m 为常数） ，则曲线xfg)(和 x = b 所围平面图形绕直线 y = m 旋转而成的旋转体体积为（ A fyx),(),(）(A) ； (B) ba dxgfgfm)()(2；ba dxxgf)(2(C) ； (D) 。baf)( ba dxgfxgfm)()(5 设 ， 为 在第一卦限中的部分，则有（ C ）0:22zayxS1S（A） ； （B） ；14SSds 14SSxdsy（C） ； （ D） 。1xz 1yzz三、a，b，c 为何值时，下式成立。ctdaxbx 201sinlm（本题 6 分）解：注意到左边的极限中，无论 a 为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有 b= 0，当 b= 0 时使用诺必达法则得到，20021)(cosli1sinl xatdxxx 由上式可知：当 时，若 ，则此极限存在，且其值为 0；若 a = 1，则a。)(cslimsilm20020 xtxxx综上所述，得到如下结论： ，b = 0，c = 0；1或 a = 1，b = 0，c = 2。四、设函数 ，其中 具有连续二阶导函数，且 。,os)(xxf)(x1)0( 确定 a 的值，使 在点 x = 0 处可导，并求 。)(f )(f 讨论 在点 x = 0 处的连续性。 （本题 8 分）)(f解： 欲使 在点 x = 0 处可导， 在点 x = 0 处必须连续，于是有)(f)(1sinlimcos)(li)(lim000 xf x即当 时， 在点 x = 0 处连续。af当 时，；2cos)(sin)(xxf 当 x = 0 时， 1)0(2cos)(lim2)0(sin)(lim )0(coslim)()(l0 2 xx xff xx xx故：。 0,1)0(2,s)(si)(2xxf 因为 21)0(2cos)(lim2sn)(cos)(sin)(limcoinl 00 20 xxxxfx所以， 在点 x = 0 处连续。)(f五、设正值函数 在 上连续，求函数 的最小值f),1x dtftF1 )(lnl)(点。 （本题 6 分）解： xx xx dtfxffdtf dtfttfF 1212 11 )()(ln2)(ln2)(ll)(注意到：在 上 ，因此，当 x 1 时， 。,0f 0dtf命： ，得 ，解此方程得到唯一驻点 x = 2。0)(xF012x又，当 时， ；当 x 2 时， ，所以 在点 x = 2 处取得极小值 ，1)(F0)(F)(F)2(F又因为 x = 2 是唯一的极值点，所以 x = 2 是 的最小值点，最小值为 。六、设 ，且 ，求 。 （本题 6 分）)1arctn()(y)0(y10)(dxy解： 2ln4180)1ln(42120arctn21 arct2arct )n()()0(1)arctn()() arctn1 )ta()()()()( 1012021 22020 12101 uduu dut xxydxxyxxdtutx 命命七、设变换 ，把方程 化为 ，试确定 a 。 （本题 7yxv22yzyxz 0vuz分）解： 计算一、二阶偏导数 ,14121,212, 2223222 yvzauzyazyvzuayzx vzuayvzyauzyx代入方程 ，得到022yx，02412222 vuzazazz于是有 ，所以 。0241a八、设函数 在 x O y 平面上具有连续一阶偏导数，曲线积分 与路径无关，),(QLdyxQy),(2并且对任意的 t 恒有 ，求 。 （本题 7 分） ),1(01,)0( ),(2),(2tt dxQyd,解：由曲线积分与路径无关知，xyx)(所以 ，其中 为待定函数。又)(,2CQ)(y； 102102)1,(0 )(, dyCtdtdyxyt。ttt y),( )()(2根据题设，有，tdyCdyt0102 )()(上式两边对 t 求导，得到，于是知 ，即 ，故 。)(12)(t12)(y12),(yxQ九、设函数 f (x)具有二阶连续导函数，且 。在曲线 y = f (x)上任意取0)0,fff一点 作曲线的切线，此切线在 x 轴上的截距记作 ，求 。 （本题 8 分）0,(fx )(lim0xfx解： 过点 的曲线 y = f (x)的切线方程为： ，)(,xf )(XffY注意到：由于 ，所以当 时， 。因此，此直线在 x 轴上的截距为0,0 00x。且 。)(xf)(limli00xfxxx利用泰勒公式将 在 点处展开，得到。之 间 ；与在 xxfxfxfxf 0,)(21)(21)0()( 12类似可得： 。代入得之 间与在 0,21)0()(lim)(lim )(lim)(lilim)(li21)(li)(li 00 000120200 ffxffxff xfxfffxfxx xxxx十、设函数 f (x)在闭区间 上连续，在开区间 (0,1) 内可导，且 f ( 0 ) = 0，f ( 1 ) = 1 。试证明：1,对于任意给定的正数 a 和 b ，在开区间 (0,1) 内存在不同的 和 ，使得。baffa)(（本题 7 分）证明：取数 ，由连续函数介值定理知，存在 ，使得 。在区间0, C与)1,0( )1,0(C)(CfC,1上分别应用拉格朗日中值定理，有显然 。.11)()(,0, Cff 由于 ，所以 ，即 。从而,00,0)(,)(ff，)1()1(1)( abCbaCbfbfa注意到：若取 ，则 ，并且 ，代入得baba),0(,。ffa)(十一、设 ，试证明在区间 上 有且仅有两个实根。12e)()e(2dtxxF 1,)(xF（本题 7 分）证明： xtx xttt tttx xttttxtt xtxtxtxt ttddd dddxF01 0100101 0010 1111122 2222 2222 222222 2222 22ee32 eeee32 ee)( ee2)()()()(由于 是偶函数，所以 是奇函数， 是偶函数，于是知 为偶函数。xt2 xtd02e)(xF又注意到： 0e253e21e21)(;030 10102 dtdtF， （当 x 0 时） 。002222 xtxtx因此，函数 在闭区间0,1上有且仅有唯一一个实根；又 为偶函数，所以 在闭区间)( )(F)(xF上同样有且仅有唯一一个实根。于是知函数 在闭区间 上有且仅有两个实根。0,1 )(x1,十二、设函数 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零。证明：),(yxf Dyxdff 201lim),(其中：D 为圆域 。 （本题 8 分）122yx证明：取极