2001天津市人文类竞赛真题及答案

2001 年天津市大学数学竞赛试题参考答案（人文学科及医学等类）一、填空：（本题 15 分，每空 3 分。请将最终结果填在相应的横杠上面。 ）1设 ，则 a = 2 。1coslim420xax2 的一个原函数为 ，则 。)(flnx)(xf13设函数 y = y(x) 由方程 所确定，则 。0coseyy 0dxy4设 连续， ，则 。f xtf103d)()7(f125 2 。x12二、选择题：（本题 15 分，每小题 3 分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。 ）1若函数 在有限区间 (a, b) 内可导且无界，则它的导函数 （ B ） 。)(xf )(xf（A）在该区间内必有界； （B）在该区间内必无界；（C）在该区间内可能有界，也可能无界； （D ）只能断定在 a, b 上无界。2设 ， （ A ） 。时， 当， 03)(cosine)( 2 xxgxxf（A） 与 为同阶但非等价无穷小； （B） 与 为等价无穷小；g )(fxg（C） 是比 更高阶的无穷小； （D ） 是比 更低阶的无穷小。)(xf)( )(3已知 与 在（，+）上均可导，且 ； （B） 0，t 0，则 I 的值（ D ） 。)(xf )(xftsxf0d)(（A）与 s 和 t 有关； （B）与 s、t 及 x 有关；（C）与 t 有关，与 s 无关； （D）与 s 有关，与 t 无关。以下各题的解答写在试题纸上，可以不抄题，但必须写清题号，否则解答将被视为无效。三、 （本题 7 分） 。1e2d)ln(lim2si0xxt解：分母 ，0)(42xx所以，有 。21sinlcosinlm1e2d)ln(li 30si02 txxx四、求极限 。 （本题 8 分）nn)()(li解：命 ，两边取对数，得到xn)()2(1 nkx1ll对上式两边取极限，有 12ln0)1(ln)(d)ln(1lnlimlni 10 xxxkxk所以。e4li12lnn五、已知 ，求 y (20) 。 （本题 7 分）xy2e解：设 ，则 ，,vu )20,1(e2)( kuxk，)0,43(0,2, )( xvk代入莱布尼茨公式，得到。 9520e2!1920e2ee 0821920)(2)20( xxxy xxx六、设正数 a 满足关系式 axxx1420delim试求 a 之值。 （本题 9 分）解：左边= axxxa42020 e1limli 右边= aaaxxax4414414 e16dede 于是有 ，即 。645七、计算 。 （本题 7 分）xxdarcsin12解：设 ，于是ttt cos,i。Cxxxttt ttttxx 222 41arcsin21arcsin41o2dsini1codarsi八、在第一象限内，求曲线 上的一点，使该点处的切线与所给曲线及两坐标轴所围成的2y图形面积最小，并求此最小面积。 （本题 9 分）解：设所求之点为 (x1，y 1) ，于是 ，过 (x1，y 1) 的切线方程为11xy y1 = 2x 1 (x x1) 。命 x = 0 得切线在 y 轴上的截矩 ；b命 y = 0 得切线在 x 轴上的截矩 。12xa于是所求之面积为 3214d2)( 311021 xbxS令 ，034)( 1121211 x得到 。 （唯一驻点）31x又 ，0264)( 31131xxS即知点 为所求，此时 。32,129九、证明：当 x 0 时， 。 （本题 7 分）21arctnx证明：设 （x 0） ，则rty 0)1(1 22xxy即在区间（0，+）上函数 y 单调递减，又，2arctnlimli xxx所以 （x 0） ，即21arctnxy。21arctnx十、证明：方程 ，必有一个正实根，且其值不大于 a + b 。 （本题)0,(sinbxa8 分）证明：设 ，则 在( ， +)上连续。又xfi)( )xf，0bf，0)sin(1)sin()( babaa若 ，即 x = a + b 为原方程的一个根；若 必大1)sin(fba， 则 )(1i baf， 则于零。由闭区间上连续函数的零点定理知：至少存在一点 （0，a + b ) 使得 ，即 x = 为)(f原方程的一个根。综上所述，方程 ，必有一个正实根，且其值不大于 a + b 。),0(sinbaxa十一、已知 a0，x 10，定义 ,3213413nxann求证： 存在，并求其值。 （本题 8 分）nxlim解：第一步：证明数列 的极限存在：nx注意到：当 n 2 时， ，因此数列 有下314nnnxax 443axnnx界。又 ，即 xn+1 xn ，所以 单调