关于空洞探测模型的报告论文

关于空洞探测模型的报告论文问题重述本题要求我们利用弹性波在介质中和空气中不同的传播速度，来确定矩形平板内的空洞位置。该矩形平板由均匀介质构成，内有一些充满空气的空洞。在平板两个两边分别等距的设置若干波源，在他们的对边对等地设置同样多的接受器，记录弹性波由每个波源到达对边上每个接受器的时间，要求确定平板内位置空洞的位置，并讨论在同样确定空洞位置的前提下，减少波源和接受器的方法。图如下:0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 图一: X 轴从左到右分别为 P1P7 Y 轴从下到上分别为 R1R7摘要本模型因引入概率统计求解而可认为是随机模型：我们对平板中分成的小格用概率统计的方法来评判小格成为空洞的可能性。事实上，也就是对所给的数据及其条件建立一个相对科学的处理方法,类似于拟合的方法,从后面的分析和计算可知这种方法是可行和科学的。主要结论: 第一问的结果在模型的求解中已经给出了空洞的位置图(见模型的求解中第一问的求解).第二问的结果: 1 如果去掉横向 RS 的波源与接收器,可以确定空洞的位置,但是精确度有所降低2 在同样能够确定空洞位置的前提下,可以减少波源:P3,P5,R3,R5接收器 Q4,Q6,S4,S6(见模型的求解中第二问的求解).本模型有效的消除了测量方法带来的系统误差带来的影响，只要波的密度和分布的均匀性达到足够的要求，结果就可以做得很细，很精确。问题分析我们认为该问题是实际应用中的测量问题，主要通过采用适当且有效的方法对已知数据进行分析和处理，来提取所需的信息。在本题中已知波经过的距离及所用的时间，要求木板中空洞的位置。我们可以用数据拟合的方法对其进行处理,但数据拟合由于受变量数的限制不容易做得很细,很精确.因而我们改用统计的方法.首先我们以方板为研究对象，将方板分为尽可能小的细胞，用细胞状态来描述空洞的存在，即 0表示空洞，1 表示介质。这样可用元素为 0 和 1 的矩阵来表示空洞的分布和形状。由此建立以计算机模拟为主要思想的模型一，用事件步长法穷举求出空洞的位置。但可能的空洞状态数很多,因此用计算机模拟的难度比较大，其优点是在划分足够细的条件下能精确描述空洞的位置和形状。接着我们以波为研究对象出发，可得出波给予我们的两个信息：在这个波方向上出现的空洞距离及交点信息（交点处出现空洞的可能性） ，得出空洞可能出现的位置与范围，此为模型二。但由于任意两条直线交点的复杂性，得出的范围不够准确。经过对以上两种模型的研究，我们考虑中和方板和波两方面的因素，即采用微元划分与最大可能性判断相结合，用每个微元出现空洞的可能性大小来决定微元的状态（ 0 或 1） ，从而得出空洞的分布，由此我们建立模型三。可以发现，该模型具有较好的可行性及较高的可信度。符号系统已知：方板边长 L=240 米时间矩阵 T1= tij tij:由 Pi 发出的弹性波到达 Qj 的时间0.0611 0.0895 0.1996 0.2032 0.4181 0.4923 0.56460.0989 0.0592 0.4413 0.4318 0.4770 0.5242 0.38050.3052 0.4131 0.0598 0.4153 0.4156 0.3563 0.19190.3221 0.4453 0.4040 0.0738 0.1789 0.0740 0.21220.3490 0.4529 0.2263 0.1917 0.0839 0.1768 0.18100.3807 0.3177 0.2364 0.3064 0.2217 0.0939 0.10310.4311 0.3397 0.3566 0.1954 0.0760 0.0688 0.1042时间矩阵 T2=tij tij :由 Ri 发出的弹性波到达 Sj 的时间0.0645 0.0602 0.0813 0.3516 0.3867 0.4314 0.57210.0753 0.0700 0.2852 0.4341 0.3491 0.4800 0.49800.3456 0.3205 0.0974 0.4093 0.4240 0.4540 0.31120.3655 0.3289 0.4247 0.1007 0.3249 0.2134 0.10170.3165 0.2409 0.3214 0.3256 0.0904 0.1874 0.21300.2749 0.3891 0.5895 0.3016 0.2058 0.0841 0.07060.4434 0.4919 0.3904 0.0786 0.0709 0.0914 0.0583波速：在介质中 v1=2880 米/秒 在空气中 v2=320 米/ 秒未知：波长矩阵 L1=lij lij:由 Pi 发出到达 j 的弹性波的波长.L2=lij lij:由 Ri 发出到达 Si 的弹性波的波长同时用 lij 表示由 Pi 或 Ri 发出到达j 或 Si 的弹性波直线。 空洞距离矩阵 X1= xij xij 表示由 Pi 到 j 的弹性波 lij 上的空洞距离。X2= xij xij 表示由 Ri 到 Si 的弹性波 lij 上的空洞距离。时间矩阵 T3=tij3 tij3:弹性波 lij 经过距离全为介质时所需的时间。划分间距 a (0)(1)求出波长矩阵 L1,L2: 24062jilij(2)根据时间矩阵 T1,T2,T3 求出空洞距离矩阵 X1,X2: xij.=( tij - tij3 )/(1/v2-1/v1 )X1(a=10):-8.0040 1.8075 40.2435 39.6145 114.4660 138.1780 160.83105.1915 -8.6880 128.4555 123.8355 138.1825 152.6620 97.930078.2595 118.3035 -8.4720 119.0955 118.0035 94.7305 33.034082.4185 128.6955 115.0275 -3.4320 33.9915 -4.9725 42.854589.5900 129.5065 49.8555 38.5995 0.2040 33.2355 33.547598.0020 78.3220 51.5665 78.6915 49.3995 3.8040 6.7035112.7710 83.2420 92.3260 36.8065 -4.2525 -5.6445 7.5120X2(a=10):-6.7800 -8.7405 -2.3445 93.0385 103.1620 116.2540 163.5310-3.3045 -4.8000 72.2595 124.6635 92.1385 136.7500 140.230092.8035 84.9675 5.0640 116.9355 121.0275 129.9025 75.982098.0425 86.7915 122.4795 6.2520 86.5515 45.2115 3.074577.8900 53.1865 84.0915 86.8035 2.5440 37.0515 45.067559.9140 104.0260 178.6825 76.9635 43.6755 0.2760 -4.9965117.1990 138.0340 104.4940 -5.2415 -6.0885 2.4915 -9.0120*注: 以上两矩阵中出现负值是由于对测量值没有进行修正,但因为我们采用概率比较的方法对其进行统计,因而不会对最后结果造成影响.对于后面出现的概率值都只是对其大小进行比较,所以其值是否在 01 之间并无影响.(3)根据 L,X 求出波上单位距离为空洞的概率矩阵 PL1,PL2: Plij= xij./ lij 考虑只有一条波的情况,由于此条波经过的空洞这条波上的可能位置是随机的，因此可假设波 lij 上单位距离内存在空洞的可能性是相同的，也即概率相同。此分布概率不仅与波上存在的空洞距离 xij 有关，而且与该波的总长 lij 有关。且该波的总长越小，所经的空洞距离越大，则单位距离内存在空洞的概率越大。所以我们设每个波出现空洞的概率 Plij= xij./ lij3 求经过微元 Tkm的波的集合 Akm。(由程序二完成)当划分足够细时，认为可以用微元的中心 Oij(Xij,Yij)表示微元 Tkm.考虑用 Oij(Xij,Yij)到波的距离 d 来决定波 lij 是否经过微元 Tkm ，方法如下:求出波 lij 的直线方程为 Aij*X+Bij*Y+C=0,取 r=a/2,用 d2=(Aij* Xij +Bij* Yij +C) 2/(Aij2+Bij2)进行判断：(D 为微元中心到波线的距离)当 d2 r2 时,认为波 lij 过微元 Tkm 的有向线段很短或为 0，即对微元 Tkm 影响很小，可以忽略不计。.当 d2r 2 时,认为波 lij 过微元 Tkm。 即 lij A km。4 求微元 Tkm为空洞的可能性 Ptkm。(由程序二完成)考察经过 Tkm 的所有波，则波 lij 在 Tkm 内的部分为一有向线段，表示该微元在某一方向上存在空洞的概率，这一概率应与有向线段所在波的 Plij 及有向线段的长度均有关 。且线段越长，在 Plij 相等的情况下对 Ptkm: 作用越大，为表现出这一影响，我们引入“权”的概念，定义 Plij 的权 wij=lij / L 表示波 lij 对 Ptkm:的影响，同时定义“加权概率”P ij=Plij * wij 。 我们假设由已知的波的信息必能求出空洞的位置，在考虑有向线段长度的影响后，用该格内各方向上出现空洞的“加权概率”之和来表征Ptkm。由于经过每个微元的波数 nkm 不同（如图一所示，在波源处和接收器处以及中间部分波分布较密处的微元，经过它们的波数显著大于其他微元,即线条分布的不均匀） ，导致在加权概率求和时，对 nkm较少的微元有失公平,这是测量方法引起的系统误差。为此我们引入“平均加权概率” 表示没经过PTkm 的波对 Tkm 状态的影响，定义 =Pl ij /98.这样可减少 nkm 不同的影响。PPtkm=P ij+（98-n km）* ,其中加权概率 Pij =Plij * wij = Plij *lij / L， =Pl ij /98nkm 为经过微元 Tkm 的波数加权概率值如下:P1: -0.0333 0.0075 0.1677 0.1651 0.4769 0.5757 0.67010.0216 -0.0362 0.5352 0.5160 0.5758 0.6361 0.40800.3261 0.4929 -0.0353 0.4962 0.4917 0.3947 0.13760.3434 0.5362 0.4793 -0.0143 0.1416 -0.0207 0.17860.3733 0.5396 0.2077 0.1608 0.0009 0.1385 0.13980.4083 0.3263 0.2149 0.3279 0.2058 0.0159 0.02790.4699 0.3468 0.3847 0.1534 -0.0177 -0.0235 0.0313P2:-0.0282 -0.0364 -0.0098 0.3877 0.4298 0.4844 0.6814-0.0138 -0.0200 0.3011 0.5194 0.3839 0.5698 0.58430.3867 0.3540 0.0211 0.4872 0.5043 0.5413 0.31660.4085 0.3616 0.5103 0.0261 0.3606 0.1884 0.01280.3245 0.2216 0.3504 0.3617 0.0106 0.1544 0.18780.2496 0.4334 0.7445 0.3207 0.1820 0.0011 -0.02080.4883 0.5751 0.4354 -0.0218 -0.0254 0.0104 -0.03755 划分数 N 的求解讨论:从直观上讲,当 N 较大时,所要求的数据即所得到的结果都会变精确.但当 N 太大时会使波经过的微元比例过少,即有很多微元没有波通过而成为盲点.因此,我们引进盲点得置信概率函数(与划分的个数和波的密度有关): PP(N,密度). 当 PP(N,密度) )对概率矩阵 PT= Ptkm:中的元素按从大到小进行排序，取定值 ppt 为标准量进行比较，在矩阵 t 中，当 Ptkm:Pt 时，t km=0; 当 Ptkm:)（1）求出微元集合 Bij =Tkm ， Tkm 在波 lij:上 ， 且按 Ptkm:的大小进行排序。 （2） 由于波 lij:上的空洞距离 xij:唯一确定，即加权概率 Pij 确定,波 lij:被微元分成 nij:段，设波 lij 上满足 tkm=0 的微元形成集合 Cij, 元素个数为 mij ,则应满足 mij nij * Pij （3）进行如下判断： 从 l00 开始，若 mij n ij * Pij ,则去掉集合 Cij 第n ij * Pij个元素 Tkm，同时令tkm=1,否则不变。(4) 经过（3）处理后得到新的矩阵 t，在重复（2） （3） ，直到对所有的波 lij 均满足mij n ij * Pij ，得到最后优化解 t.，如图所示： 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 优化后的图(分成 12*12 个微元 ) 优化后的图(分成 24*24 个微元比左图精确)注: 上图中*号表示其所在的微元整个为空洞 .第二问的求解：1: 当只有 PQ 方向有接收器和发射源时,我们同样利用第一问的求法得到下图:(由程序七完成)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 *号表示其所在的微元整个为空洞此图为只有 PQ 面时空洞的分布( 由于波数的减少,使 N 只能取 12)比较此图与第一问中求出的 N=12 时的最优图( 我们有理由认为第一问的解较此处精确), 可以发现空洞的分布大致相同,即:利用此模型 可以求解只有 PQ 方向有接收器和发射源时空洞的分布,但很明显,精确度和准确度都降低了.其原因自然是波数的减少而引起波的密度的减少.2:求解减少波源与接收器(由程序八完成)(注:我们理解为减少了波源与接收器后,其余波源与接收器的位置不改变.)由前面的分析可知，当波均匀分布时，通过每个微元的波数 nkm 相同，则 Ptkm 仅 Pij 由决定，而不必引进平均概率 的误差。为分析方便，我们用方差 D 来表示 nkm 的影响。定义 D=(nkm-n0)2 /(N*N) 其中 Pn0=n km/(N*N)是对所有的 nkm 求平均值。可知当 nkm 的值比较接近时，方差 D 较小，所得结果的精确度和可信度较高。当减少波源和接收器的数目时,会使方差减少,那么我们的原则是:在逐步减少一个波源或接收器时,选择使方差减少最快的波源或接收器.即以此来判断减少哪一个波源或接收器.在给定一定的准确度(即与第一问中所求得空洞结果相差不大) 要求的情况下,减少波源或接收器的数目有个极大值. 即以此来判断减少那几个波源或接收器.我们的目的是:在保证一定的 精确度(即: 保证平板中有一定的波的密度)的情况下,.使波的分布尽量均匀.结果为:减少波源 P3,P5,R3,R5 接收器 Q4,Q6,S4,S6.以上方法的前提只是波源和接收器的位置，而与数据无关。我们可以利用本题给的数据进行一次检验。计算出空洞位置的结果如下图表示: (由程序九完成)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 此图为减少波源与接收器后的示意图 *号表示其所在的微元整个为空洞(12*12 格)实线代表波,圆点代表波源与接收器 与第一问中的图例比较是空洞的分布是比较接近的.模型检验 对于这类数据处理模型，在“没有真值”进行比较的前提下，所有从“建模理论”出发的评定都只能是一种分析。所以最好检验方法就是类似“用已知长度的标准件检验一个测长仪器的精确度”的方法，给定一个空洞分布已知的板及其测量数据 t ，然后用我们建立的数据处理模型ij去求解它，并与真实情况比较，从而检验模型。从这种思想出发，我们就用 Monte Carlo 方法来建立一个计算机仿真模型来检验前文数据处理模型的优劣。任务即评价其合理性（准确性）和稳定性。用于检验数据处理模型的仿真模型的建立随机产生“标准件”板，即随机产生 1 个 N*N 阶 01 方阵 B（0 表示空洞，1 表示介质）.并给定相应数据（PQ:t ij）(RS:t ij)注：这时每个待检模型的求解结果都应以这种方式（N*N 方阵）表示。 分成 n 组，每组 m 次，每组产生一次随时机矩阵，用所建数据处理模型来解“标准件” ，得 n*m 个结果 Bij (第 i 组=1,2,n;第 j 次=1,2, ,m) 建立统计量表征测量模型的准确性(合理性)和稳定性。a.对 B0和 Bij的统计量：空洞格总数 Nij，空洞格平均坐 Xij =x ef/Nij, Yij=y ef/Nij 其中 xefj,yef表示某个中的 0 元素的坐标.b.每次测量的准确性统计量yxEijijijij 002221c.每组测量准确性统计量mijijmijjjii yYxX/)00(/)11 2221 d.Monte Cado 统计量差反 映 空 洞 大 小 的 判 断 偏nEii/)(11 差反 映 空 洞 位 置 的 判 断 偏ii/)(212反 映 稳 定 性)()(121