3_8064944_2.伸缩变换的解题功能

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 659 中国 高考数学母题 (第 188 号 ) 伸缩变换的解题功能 伸 缩变换是函数图象变换的拓展 ,其变换法则 :“图进标退”在这里仍然适用 ;妙用伸缩变换 ,可把椭圆的相关问题转化为圆的相关问题 ,从而利用圆的相关性质 ,巧解椭圆的相关问题 . 母题结构 :( )(伸缩变换 ):定义 :设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点 ,在变换 : )0( )0( yy 点 P(x,y)对应到点 Q( , ),则称为伸缩变换 ;性质 :伸缩变换不改变两曲线的位置关系 ; ( )(解题结论 ):椭圆 G:2222 =1(ab0)和圆 O: 2x + 2y =1,在 伸缩变换 : 点 P、 A、 B、 C 与点 P 、 A 、 B 、C 一一对应 ,则 :点 P(x,y)在椭 圆 C 上 点 P (x ,y )在 圆 O 上 ; 直线 椭圆 G 的交点个数 =直线 A B 与 圆 O 的交点个数 ; A、 B、 C 三点共线 A 、 B 、 C 三点共线 ,且 C 为 中点 C 为 A B 的中点 ; 若直线 斜率为k,直线 A B 的斜率为 k ,则 k = 若直线 斜率为 k,|A B |=222211 | BC=. 母题 解 析 :略 . 变换 子题类型 :(2008 年课标高考试题 )已知曲线 为参数 ),曲线 t 为参数 ). ( )指出 2各是什么曲线 ,并说明 2公共点的个数 ; ( )若把 2上各点的纵坐标 都压缩为原来的一半 ,分别得到曲线 1C , 2C ,写出 1C , 2C 的参数方程 , 1C 与 2C 公共点的个数和 2公共点的个数是否相同？说明你的理由 . 解析 :( )由 x2+ (0,0),半径 r=1 的圆 ;由 x= 线l:2 =0;由 圆心 O 到直线 l 的距离 d=1=r 2公共点的个数 =1; ( ) 1C : 为参数 ) ;2C : 2 =0;由 14 022 22 yx (2 )2+ 4 8 y+1=0 只有一根 1C 与 2C 公共点的个数 =1 1C 与 2C 公共点的个数和 2公共点的个数 相同 . 点评 :伸缩变换的 基本问题是变换前 后的 点 和曲线方程的互变 问题 ,解 决 问题 的关键是确定 变换 ;妙 用 参数方程 ,可巧解 伸 缩变换 问题 ,伸 缩变换 与 参数方程 的交汇是课标高考命题的方向 . 同 类 试题 : 1.(2011 年湖北高考试题 )如图 ,直角坐标系 在平 面为 ,直角坐标系 x (其中 y 与 y 轴重 合 )所在的平面为 , =450.( )已知平面 内有一点 P (2 2 ,2),则点 P 在平面 内的射影 P 的坐标为 ; ( )已知平面 内的曲线 C 的方程是 (x - 2 )2+2 2y ,则曲线 C 在平面 内的射影 C 的方程是 . 660 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 2.(2014 年 辽宁 高考试题 )将圆 x2+ 上每一点的横坐标保持不变 ,纵坐标 变为原来的 2 倍 ,得曲线 C.( )写出 C 的参数方程 ; ( )设直线 l:2x+与 1,坐标原点为极点 ,求过线段 l 垂直的直线的极坐标方程 . 子题类型 :(2012 年安徽 高考试题 )如图 ,c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C:2222 =1(ab0)的 左 ,右焦点 ,过点 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 点 P,过点 直线 x=. ( )若点 Q 的坐标为 (4,4),求椭圆 C 的方程 ; ( )证明 :直线 椭圆 C 只有一个交点 . 解析 :( )由题知 P(-c,2 2直线 y=22令 x=y=22 (2a Q(a),2a=4 a=2,c=1 椭圆 C:42x+32y=1; ( )作伸缩变换 : 椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 c,0)、 F2(c,0)分别 变成 )、 E2(),直线 x =直线 l1:x=1(12 22(1222直线y=322 Q1(ca,11 111 直线 直线 只有一个交点 . 点评 :根据伸缩变换 : 圆 G:2222 =1(ab0)的切线问题 圆 O: 2x + 2y =1 的切线问题 ;这为解决椭圆的切线问题提 供了一个绝妙方法 ;根据 2P k ,可把椭圆中的垂直问题转化为圆中两直线的斜率积问题 . 同 类 试题 : 3.(2013 年安徽 高考试题 )已知椭圆 C:2222 =1(ab0)的焦距为 4,且过点 P( 2 , 3 ).( )求椭圆 C 的方程 ; ( )设 Q(x0,0)为椭圆 C 上一点 作 x 轴的垂线 ,垂足为 (0,2 2 ),连接 作 垂线交 x 轴于点 是点 D 关于 y 轴的对称点 ,作直线 G 是否与椭圆 说明理由 . 4.(2011 年江苏 高考试题 )在平面直角坐标系 ,M、 N 分别是椭圆42x+22y=1 的顶点 ,过坐 标原点的直线交椭圆于 P、 A 两点 ,其中 P 在第一象限 ,过 P 作 x 轴的垂线 ,垂足为 C,连接 并延长交椭圆于点 B,设直线 斜率为 k. ( )当直线 分线段 k 的值 ; ( )当 k=2 时 ,求点 P 到直线 距离 d; ( )对任意 k0,求证 : 子题类型 :(2008 年全国 高考试题 )设椭圆中心在坐标原点 ,A(2,0)、 B(0,1)是它的两 个顶点 ,直线 y=kx(k0)与 交于点 D,与椭圆相交于 E、 F 两点 . ( )若 6求 k 的值 ; ( )求四边形 积的最大值 . 解析 :对于椭圆42x+作伸缩变换 : yy ,则椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A(2,0)变成 A (1,0),点 B(0,1)变成 B (0,1) |A B |= 2 ,直线 EF:y=成直线 E F :y =2 |E F |=2; ( )由 6 116 11 |75 点 圆 x2+75)2与 直线 A B :x+y=1 的交点 k=32戓83; 2017年课标高考 母题 备 战高考数学的一条捷径 661 ( )在 单位圆 当且仅当 A B E F ,即 2k=k=21时 ,四边形 A E B F 的面积取最大值 =21|A B |E F | = 2 四边形 积的最大值 S=2四边形 A E B F 的面积 =2 2 . 点评 :通过 BC=,可把椭圆中的 面积 问题转化为圆中的 面积 问题 ,尤其是 椭圆中 面积 的 最值 问题转化为圆中面积 的 最值 问题 ,可获得直观奇妙的解法 ;利用 |A B |=222211 |可把椭圆中的度 量 问题转化为圆中的度 量 问题 . 同 类 试题 : 5.(2009 年清华大学自主招生数学试题 )如图 ,过 椭圆 :2222 =1(ab0)的 端点 A()作直线 l 交 椭圆 于 P,交 y 轴于Q,过原点作 l l,l 交 椭圆 于 | 2 |等比数列 . 6.(2011年 山东 高考试题 )已知动直线 :32x+22y=1交于 P(x1, Q(x2,不同点 ,且 6, 其中 O 为坐标原点 .( )证明 : ( )设线段 中点为 M,求 |最大值 ; ( )椭圆 C 上是否存在点 D,E,G,使得 S 6?若存在 ,判断 形状 ;若不存在 ,请说明理由 . 7.(2009 年辽宁高考试题 )己知椭圆 C 经过点 A(1,23),两个焦点为 (),(1,0).( )求椭圆 ( )E、 F 是椭圆 C 上的两个动点 ,如果直线 斜率与 斜率互为相反数 ,证明 :直线 斜率为定值 ,并求出这个定值 . 8.(2013年 山东 高考试题 )在 平面直角坐标系 已知椭圆 ,焦点在 短轴长为 2,离心率为22. ( )求椭圆 C 的方程 ; ( )A,B 为椭圆 C 上满足 面积为46的任意两点 ,E 为线段 中点 ,射线 椭圆 ,设 求实数 t 的值 . 9.(2006 年 上海 高考试题 )已知在平面直角坐标系 的一个椭圆 ,它的中心在原点 ,左焦点 为 F(- 3 ,0)且右顶点为D(2,0) 的坐标是 (1,21).( )求该椭圆的标准方程 ; ( )若 P 是椭圆上的动点 ,求线段 点 M 的轨迹方程 ; ( )过原点 O 的直线交椭圆于点 B,C,求 积的最大值 . 10.(2013 年 课标 高考 试题 )平面直角坐标系 ,过椭圆 M:2222 =1(ab0)右焦点 的直线 x+ =0 交 M 于 A、 P 为 中点 ,且 斜率为21.( )求 M 的方程 ; ( )C,D 为 M 上的两点 ,若四边形 对角线 四边形 积 的最大值 . 设点 P (x ,y )在平面内的射影 P 的坐标为 (x,y),则点 P 的纵坐标和 P 纵坐标相同 ,过点 P 作 P H H,则 P =450 x= x 2x P(22x ,y ); ( )由 P (2 2 ,2) P(2,2); ( )设 P(x,y),则 x=22x ,y=y x = 2 x,y =y,代入曲线 C 的方程得 :( 2 )2+2 (+. ( )由 圆 x2+ 上每一点的横坐标保持不变 ,纵坐标变为原来的 2 倍 得 :2y)2=1 C: 为 参数 ); ( )由 44 22 22 yx ,0),2) 线段 2=0 极坐标方程 :2 (2+3=0. 662 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )椭圆 C:48 22 =1;( )作伸缩变换 :222则在伸缩变换下 椭圆 变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A 变为点, 2 ),设 Q1(,则1E1(0)11 11112112 直线 y= 2 2 ) )11 =111 直线位圆 O 相切 ,只有一个交点 直线 椭圆 C 一定有唯一的公共点 . ( )k=2;( )d=322;( )作伸缩变换 : yy 2,则 椭圆 变成单位圆 O:x 2+y 2=1,直线 为 圆 O 的直径 P1(m,n),则 m,C1(m,0) 111 11 112 12 2112 1 作伸缩变换 : 椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A()、 P、 Q、 R 变为 点 A ()、 P 、 Q 、 R ,由 l l 及 弦长关系式 |A B |=222211 | ,| 2 |等比数列 |2| |A Q |A R |=2|2 |A Q |A R |=2;设 Q A O= ,则 A Q O= ;在 R O 中 , | | |A R |= 在 Q A 中 ,|A Q |=|B Q |2 |A Q |A R |=2. ( )伸缩变换 :23作用下 ,椭圆变成单位圆 O:x2+y2=1,由 S 6 =312126=21 P =900 00;设 P( 3 2 ,则 Q(- 3 2 ,; ( )由 |=41(25425 |25;( )由 S 6 00,矛盾 . ( )椭圆 C:34 22 =1;( )作变换 : yy 2,则椭圆变成单位圆 O:x 2+y 2=1,点 A(