3_8065007_5.数列求和方法之错位相减法

2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 457 中国 高考数学母题 (第 142 号 ) 数列求和 方法 之错位相减法 求数列 n 项和 中 ,等差数列 ,等比数列 )的 一个成熟方法是错位相减法 ,由错位相减法可得 式 可简求 母题结构 :已知 等差数列 ,公比为 q(q 1)的 等比数列 ,求 证 :数列 前 n 项和 )母题 解 析 :设 等 差数列 公差为 d,由 Sn= + ,式乘等比数列的公比 q(q 1)得 : + , -进行错位相减得 :(1n=+( +(+d(b2+ +(+d(b1+b2+ +(+11=1qd(1qd 11q ( qdq )1( qd A=1=11q ( qd)子题类型 :(2015 年天津高考理科试题 )已知数列 足 =q 为实数 ,且 q 1),n N*,且 a2+a3+a4,a4+ ( )求 q 的值和 通项公式 ; ( )设 222n N*,求数列 前 n 项和 解析 :( )由 ,=a3=q,q,a5=由 a2+a3,a3+a4,a4+ 2+3q+q q=2(q=1舍去 );当 n=2 ,由 =2=2当 n=2k 时 ,由 =2=2k; ( )由 ( )知 ,bn=n(21) )(21) 1(,1(2b1+ A=-(2n+4) (21)n);由 +2(21)+3(21)2+ n(21)121)+2(21)2+3(21)3+ n(21)n,两式相减 得 :21-(n+2)(21)n 4-(2n+4)(21)n. 点评 :由 数列 前 )简求 题模式 :由 数列 前 2项 ,即 A+B)2A+B) A,n;执行错位相减法的程序 ,写出解题过程 . 同 类 试题 : 1.(2015 年天津高考文科试题 )已知 各项均为正数的等比数列 ,等差数列 ,且 a1=,b2+a3,. ( )求 通项公式 ; ( )设 cn=n N*,求数列 前 n 项和 . 2.(2016 年四川高考试题 )已知数列 前 n 项和为 n,等差数列 ,且 an=bn+. ( )求数列 通项公式 ; ( )令 cn=2( )1(1 ,求数列 前 n. 子题类型 :(2009年天津高考理科试题 )已知等差数列 公差为 d(d 0),等比数列 公比为 q(q1),设 +n= +(-1)n N*. ( )若 a1=,d=2,q=3,求 ( )若 ,证明 :(12+q)21 )1(2 ,n N*; 解析 :( )由 a1=,d=2,q=3 5; ( )设 ) (A+B)2A+B)a1+d)q A=1=11q ( 11q ( qd 458 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 +q )1( 11( -q)n+)1( -1( -q)n+112)1( (12+q)1qd(11qd1(11qd)221 )1(2 . 点评 :数列 前 n 项和公式 :)用的关键是把 数列 通项整理成 :kn+t)并会由 数列 前 可以写出 :当等比数列 公比 前 同 类 试题 : 3.(2009 年天津高考文科试题 )已知等差数列 公差 d 不为 0,设 Sn=a1+ +n= +(-1)q 0,n N*. ( )若 q=1,5,求数列 通项公式 ; ( )若 a1=d,且 2,求 q 的值 . ( )若 q 1 ,证明 :(12+q)21 )1(2 ,n N*. 4.(2008 年广东高考试题 )设数 列 足 :,1(n=3,4,5, ) 足 :, bn(n=2,3,4, )是非零整 数 ,且 对 任意的 正整 数 m 和自然 数 k,都有 :bm+ +bm+k 1. ( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )记 cn=n=1,2,3, ),求 数 列 前 n 项 和 子题类型 :(2012年天津高考理科试题 )己知 数 列 等差 数 列 ,其 前 等比数列 ,且 a1=,7,0. ( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )记 Tn= +n N*,证明 :2=0bn(n N*). 解析 :( )设 等差 数 列 公差为 d,等比数列 公比为 q,则由 a1= +3d,+6d, a4+7, 0 2+3d+27,8+60 d=3,q=2 n; ( )由 23 +2na1+1)+1)2+ +1)令 a1+1)+1)2+ +1)(21),则21(2,41(229 A=n10-(6n+10)(21)n=-(6n+10)+10 2n 2=0点评 :若 等差数列 ,等比数列 ,可利用求和公 式 ) Tn= +需变形 Tn=此可得 数列 (k=1,2, ,n)求和公 式 ). 同 类 试题 : 5.(2008 年安徽高考试题 )设数列 足 :a1=a,=-c,nN*, 其中 a,c 为实数 ,且 c0. ( )求数列 通项公式 ; ( )设 a=21,c=21,bn=n(1nN*, 求数列 前 n 项和 6.(2010 年四川高考试题 )已知数列 足 ,且对任意 m,n N*都有 am+(. ( )求 a3, ( )设 bn=n N*),证明 :等差数列 ; ( )设 q 0,n N*),求数列 前 n 项和 7.(2015 年天津高考文科试题 )已知 各项均为正数的等比数列 ,等差数列 ,且 a1=,b2+a3,. ( )求 通项公式 ; ( )设 cn=n N*,求数列 前 n 项和 . 8.(2012 年天津高考文科试题 )己知 数 列 等差 数 列 ,其 前 n 项和 为 等比数列 ,且 a1=,a4+7,0. 2017年课标高考 母题 备战高考数学的一条捷径 459 ( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )记 Tn= +n N+,证明 :(n N*,n 2). 9.(2012 年江西高考文科试题 )已知数列 前 n 项和 Sn=中 c,k 为常数 ),且 ,( )求 ( )求数列 前 n 项和 10.(2012 年江西高考理科试题 )已知数列 前 n 项和 21n2+kn(k N*),且 . ( )确定常数 k,求 ( )求数列 n 的前 n 项和 11.(2007 年江西高考试题 )设 等比数列 ,. ( )求最小的自然数 n,使 2007;( )求和 :1a 33a - 12.(2006 年安徽高考试题 )在等差数列 ,前 n 项和 1242 n=1,2,3, . ( )求数列 通项公式 ; ( )记 bn=an p0),求数列 前 n 项和 13.(2003 年北京高考试题 )己知 数 列 等差 数 列 ,且 ,a1+a2+2. ( )求 数 列 通 项 公式 ; ( )令 bn=x R),求 数 列 前 n 项 和的公式 . 14.(2010 年四川高考试题 )已知等差数列 前 3 项和为 6,前 8 项和为 ( )求数 列 通项公式 ; ( )设 4q 0,n N*),求数列 前 n 项和 ( ) )前 n 项和 2 2n+3. ( )由 1=11;当 n 2时 ,n+5,且 1 适合该式 ,故 n+5; ( )由 bn+=6n+5=(3n+1)+3(n+1)+1 n+1 (n+1) 2n+1 2 22+3 23+ +(n+1) 2n+1 2 2 23+3 24+ +(n+1) 2n+2 ;由 -得 :2 22+23+ +2n+1-(n+1) 2n+2 n 2n+2. ( ) )q= )同子题 . ( )由 1( 2(且 ,所以 ,数 列 以 1 为 首 项 ,公比 为32的等比 数 列 32 )an=( +(1+1+( 32 )+( 32 )2+ +(32)+532)8- 53(32) 11 111220 1,由 11 11133b b 0 1 ,同理可得 -1)( )cn=n582)-1)8n(-1)2)3(3n+9)(32)n+1)(-1)( )由 =-1=c( +( )由 ( )知 bn=n(1-a)n(21)n;由 x+ +1x 边求导得 :1+2x+ +11( 1x)1( 1x 21+2(21)2+3(21)3+ + n(21)n=211+2(21)+3(21)2+ + n(21)-(n+2)(21)n+2. ( ),0;( ) )当 q=1 时 ,Sn=n(n+1);当 q 1 时 ,(11( 1q)1( 1q. ( ) )前 n 项和 2 2n+3. ( )n;( )6 2n+8 . ( )n;( )2 2n+2. ( )k=4,9 )-(2n+4)(21)n. 460 备战高考数学的一条捷径 2017年课标高考 母题 ( )由 2007 n 8;( )619-(24n+9)(91)n. ( )由1242 23 a1+ an=