1_6354545_6.双曲线两垂直半径的性质

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 双曲线两垂直半径的性质 双曲线 上两点 A、 B 满足 母题 双曲线 C:2222=1(ba0)上两点 A、 A 原点 d=22 由此生成一列高考试题 ,为此 ,我们构成母题如下 ,并着意关注由母题生成子题的方向 . 母题结构 :直线 l 与双曲线 C:2222 =1(ba0)相交于 A、 B 两点 ,直线 l 于点 H,则 价于 :原点 O 到直线 距离 d=22 直 线 l 与圆 x2+222ab 切 于 点 H;22 | 1| 1 =22 11 . 母题 解 析 :设 A(x1,B(x2,直线 AB:r,代入2222=1得 :(0 x1+ 22222ab , 222222222 (=x1+x2)+ 22222222222222co co ab ;由 0 -(+ (4=0 r=22 原点 O 到直线 距离 d=22 直线 l 与 圆x2+222ab 切于 点 H;22 | 1| 1 =22 11 22 | 1| 1 =2| 1子题类型 :(2011年全国高中数学联赛贵州 预赛试 题 )如图所示 ,过双曲线 的中心 交双曲线于 A、 试求 : ( )弦 的轨迹方程 ; ( )双曲线的中心 O 到直线 分析 :本题 的两问具有并列关系 ,可统一求解 :设 直线 AB:y=kx+t,根据 立 k与 根据韦达定理 ,可解第 ( )问 ;根据点到直线的距离公式 ,可求第 ( )问 . 解析 :设 A(x1,B(x2,直线 AB:y=kx+t,将直线 双曲线方程联立化简得 :(4 x1+242224 4 y1+48由 0 (1+k2)kt(x1+ 3(); ( )设 中点 P(x,y),则 x=21(x1+24 y=21(y1+244k k=t=4y (4 3(y- 2=4(+1 3(4=4(16x2+x 0); ( )O 到直线 距离 d=1|232. 点评 :对 于 给定 双曲线上满足 、 B,可设计如下问题 : 双曲线的中心 求2| 12| 1求 | |最小值等 . 子题类型 :(2012 年上海高考 文科 试题 )在平面直角坐标系 ,已知双曲线 C:2. ( )设 F 是 C 的左焦点 ,M 是 若 |2 2 ,求 M 点的坐标 ; ( )过 C 的左顶点作 C 的两条渐近线的平行线 ,求这两组平行线围成的平行四边形的面积 ; ( )设斜率为 k(|k|22) x=26 M(26, 2 ); ( )由 (),渐近线 :y= 2 x 过 y= 2 y= 2 x+1,与 y=- 2 y=21 平行四边形的面积 S=|y|=42; ( )设 P(x1, Q(x2,直线 PQ:y=kx+t,由 l 与圆 x2+ 相切 1|2 t2=;将 y=kx+t 代入 2 得 : (2 x1+22222 1 t)(t)=(1+k2)kt(x1+(1+22222 222 1 =0 Q . 点评 :通过“双曲线 C:2222=1(ba0)上两点 A、 A 充要条件是直线 :x2+222ab 切” ,可以构造 :已知双曲线 A 圆 O;已知双曲线 ,求 已知 圆 O,求双曲线 C. 殊 问题 子题类型 :(2007 年江西高考试题 )设动点 P 到点 A()和 B(1,0)的距离分别为 ,且存在常数 (00 215;又 x1+x2=t(y1+2=-)1( )1(22 t0 a0)上两点 A、 A 充要条件是点 d=22 ,可以构造 :限定直线 求直线 限定直线 求直线 限定直线 求双曲线系中参数的 取值范围 . 1.(2006年全 国高中数学联赛天津 初赛试题 )已知一条直线 =1(ba0)的两支分别相交于 P,当 双曲线的中心到直线 ) (A)22 B)22 C) (D)22.(2012 年上海高考 理科 试题 )在平面直角坐标系 ,已知双曲线 . ( )过 1的一条渐进线的平行线 ,求该直线与另一条渐进线及 x 轴围成的三角形的面积 ; ( )设斜率为 1 的直线 l 交 、 Q 两点 ,若 l 与圆 x2+相切 ,求证 :Q ; ( )设椭圆 x2+,若 M、 N 分别是 且 N ,求证 :O 到直线 距离是定值 . 3.(2014 年 湖 南 高考试题 )如图 ,O 为坐标原点 ,双曲线 12(,)和椭圆 2222(a2)均过点P(332,1),且以 2的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形 . ( )求 2的方程 ; ( )是否存在直线 l,使得 l 与 ,B 两点 ,与 且 |= |？证明你的结论 . 4.(2009 年北京高考试题 )己知双曲线 C:2222 =1(a0,b0)的离心率为 3 ,右准线方程为 x= 33 . ( )求双曲线 C 的方程 ; ( )设直线 l 是圆 O:x2+ 上的动点 P(x0,0)处的切线 ,l 与双曲线 C 交于同的两点 A、 B,证明 : 大小为定值 . 5.(2007年武汉 大学 保送生考试 试题 )过双曲线 2( 0, 为常数 )的左焦点 k(k 0)的动直线 支分别交于 A、 点 M 满足 其中 O 为坐标原点 . ( )求点 M 的轨迹方程 ; ( )是否存在这样的直线 l,使 四边 形 矩形 ？ 若存在 ,求出直线 l 的斜率 ;若不存在 ,请说明理由 . 6.(2012年全国高中数学联赛福 建 预赛试 题 )已知 双曲线 C:22(a0,b0)的离心率 e= 3 ,其左焦点 . ( )求双曲线 C 的方程 ; ( )若过点 D(2,0)的直线 l 交双曲线 C 于 A、 B 两点 ,且以 ,求直线 方程 . 设 P( Q(00+ ),00+ )=Q( 222 )=1,222 ) =1 d=22 22 ( )由 (),渐近线 :y= 2 x 过 y= 2 y= 2 x+1,与 y=- 2 y=21 平行四边形的面积 S=21|y|=82; ( )设 P(x1, Q(x2,直线 PQ:y=x+t,由 x2+相切 2|t=1 ;将 y=x+得 : x1+t, t)(x2+t)=2t(x1+t2= Q ; ( )设 M(,N(00+ ),00+ )=(,则 2(2-(2=1,4(2+ (2=1 22 , 22 21r+21R=3 O 到直线 距离 d=| | 2 33. ( )设 椭圆 题知 ,2 c2=;由 点 P(332,1)在 双曲线 C1:上 双曲线C1:;由 椭圆 定义知 ,2 3 3 椭圆 2y+22x=1; ( )由 |=| |=| 0 原点 O 到直线 距离 d=26;又由直 线 l 与 原点 O 到直线 d 2 ,矛盾 存在符合题目条件的直线 l. ( )由3 ,3 a=1,c= 3 双曲线 C:; ( )设 (x1, B(x2,由 直线 l 是圆 O:x2+ 上的动点 P(x0,0)处的切线 切线 l:,代入 得 :(3 x1+3420 0xx,3 282020x x 01y(22021x4x1+0 00. ( )双曲线 2 的渐近线的斜率 = 3 ,左焦点 F(0),直线 l 与 双曲线的左、右支相 交 k(- 3 , 3 ),直线 l:y=k(x+2 )与双曲线方程 2 联立 ,并消去 y 得 :(3x+4=0,设A(x1,B(x2,M(x, y),则 x1+234 y1+312,由 x=x1+234 0,y=y1+312k x3-(3= 4(3 32 (x0); ( )四边形 矩形 (1+k2)x1+4=0 k=515. ( )