14_5042185_14.玩转正方体.妙解几何题

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 玩转正方体 模型 解题法 之 三 正方体 模型 不仅 可以妙解其内接四类特殊四面体问题 ,如果再考虑 以 正方体 中的特殊点 (如 各面中心 ,各棱中点 等 )为顶点的多面体 ,将 拓展 正方体 模型的解题范围 ,玩转正方体 ,可妙 解 一类题 . 母题结构 :在 正方体 考虑面 ,F,则 全 等的等腰直角三角形 ,沿 开于一平面内 ,四边形 正方形 ;以 正方体 各面中心为顶 点 的多 面体是正八面体 ;考虑 正方体 各棱中点 ,则其中有 6 点共面 ,且 以 这 6 点为顶点的多 边形是正六边形 . 母题 解 析 : 显然正确 ; 如图 ,由 八面体 的各棱长均等于 正方形 面 的对角线长的一半 以 正方体 各面中心为顶点的多面体正八面体 ; 如图 ,证明略 ; 折叠 子题类型 :(1996年全国高考试题 )将边长为 使得 BD=a,则三棱锥 ) (A)63a(B)123a(C)1233a(D)1223a解析 :设 中点为 O,则 D=22a 以 ,可把 三棱锥 置于如图所示 的 正方体 中 三棱锥 体积 V=31212a=D). 点评 :将边长为 则在折叠后的四面体 平面 面 BD=a;故当 BD=四面体 由此可把四面体 直观求解 , 中点构成 子题类型 :(2011 年 上海 春招 试题 )有一中多面体的饰品 ,其表面由 6 个 正方形和 8 各正三角形组成 (如图 ), 成的角的大小是 . 解析 :如图 ,该 多面体 是以正 方体的各棱中点为顶点的 多面体 , 别 平行于 正 方体的 两条相交的面对角 线 成的角 =600. 点评 :探究以正方体中的特殊点为顶点的多面体性质 ,是高考命题的常用手法 ,如本题中 ,以正方体的各棱中点为顶点的多面体 ;解答该类试题的根本方法是“复源” 法 ,即把该 几何体 放置到 正方体中 ,利用 正方体 模型解决问题 . 中心构成 子题类型 :(2005 年全国 高考试题 )如图 ,在多面体 ,已知 边长 为 1 的正方形 ,且 为正三角形 ,F=2,则该多面体的体积为 ( ) (A)32(B)33(C)34(D)23解析 :如图 ,把 多面体 置到正方体中 ,由图知 ,该多面体的体积 =棱长为 2 的 正四面 体体积的 一半 =21122 23=A). 点评 :以正方体的 中心 、 面的中心 、 棱 的 中点 等 特殊点为顶点 ,可以构造出许 多 形状各异 ,且具有独特性质 的多面体 ;以此方法可命制具有原创性的试题 ;掌握 了此类 试题的 “前世” ,何愁解决不了她 的 “今生” . 1.(2010 年 全 国 高考试题 )直 三棱柱 若 00,C=异面直线 ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 2.(2008年全 国高中数学联赛贵州 初赛试题 )在直三棱柱 B=B 是 点 P 在 则直线 直线 成的角等于 ( ) (A)300 (B)450 (C)600 (D)900 3.(2002 年第 十 三 届“希望杯”全国数学邀请赛高 二 试题 )如图 ,设 C, 00,M、 Q 分别是 中点 ,P 点在 1P12,如果 B,则 成的角等于 ( ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)300 4.(2004 年 湖南 高考试题 )把正方形 对角线 起 ,当 A、 B、 C、 D 四点为顶点的三棱锥体积最大时 ,直线 平面 成的角的大小为 ( ) (A)900 (B)600 (C)450 (D)300 5.(2006 年 安徽 高考试题 )表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上 ,则此球的体积为 ( ) (A)32 (B)31 (C)32 (D)322 6.(2010 年全 国高中数学联赛安徽 初赛试题 )正八面体的任意两个相邻面所成二面角的余弦值等于 . 7.(2003 年 第 十四 届“希望杯”全国数学邀请赛 (高 二 )试题 )三个 1212正方形的纸都被 连接两邻边中点的直线分成两片 ,把这 6 片粘在一个正六边形的外面 ,然后折成一个多面体 ,则这 个多面体的体积等于 8.(2005 年上海交通大学保送生 考试试题 )将 3个 1212正方形沿邻边中点剪开 ,分成两部 分 ,如图 ,将 这 6 部分接于一个边长为 6 2 的 正六边形上 ,如图 ,若拼接后的图形是一个多面体 的表面展开图 ,则这个多面体的体积等于 . 9.(2009 年复旦 大学 保送生考试 试题 )半径为 R 的球内部装 4个有相同半径 r 的小球 ,则小球半径 r 可能的最大值是 ( ) (A)32 3R (B)63 6R (C)311R (D)52 5R 10.(2011年全 国高中数学联赛 天津 初赛试题 )设 其中 3 ,为球心 ,以 1为半径作一个球 ,则这个球与正四棱锥相交部分的体积是 . 由 00,C= 直 三棱柱 C). 补形为正方体 中点 R,则 M 面 D). 补形为正方体 妨设棱长 =4,取 1,T,则 A). 当 平面 平面 ,三棱锥 积最大 ,放置到正方体中 ,则 所成的角的大小为 C). 设棱长为 a,则 4 3 a=1 球的 半径 R=22 球的体积 V=32 A). 设 侧面与底面所成二面角 为 ,则 2 31 如图 ,这个多面体 恰是棱长 为 12 的 正方体 的一部分 ,其 体积等于 正方体 体积 的21=21 123=864. 构 造正方体 则拼接后的多面体是正方体中的多面体 其体积是正方体体积的一半 ,又因该正方体的棱长为 12 该多面体 的体积等于 964( 设四个小球的球心分别为 A,B,C,D,则四面体 正四