16_4256766_59.闪烁在高考中的两圆锥曲线的公切线

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 闪烁在高考中的两圆锥曲线的公切线 圆锥曲线的切线与法线 高考 解析几何试题 具 有浓郁的切线情结是不争的事实 ,其中反映这一情结的一种表现形式是研究两圆锥曲线的公切线问题 ,而解决该类问题常借助曲线的 法线 :若点 上 ,则 过 点 线 线 的法线 . 母题结构 :若点 P(x0,曲线 G:dx+ey+f=0 上 ,则 :( )曲线 G 在点 P 处的切 线方程为 : f=0;( )曲线 G 在点 P 处的 法线方程为 :(d)(e)( 母题 解 析 :( )由曲线 G:dx+ey+f=0 以点 P(x0,中点的弦 :f=f,当 点 上 时 ,f=0,此时中点的弦方程变为 :f=0,此即为 曲线 处的切线方程 ; ( )由 曲线 处切线的 斜率 = 曲线 处法线的 斜率 k=2200 曲线 处的 法线方程为 : (d)(e)( 子题类型 :(2004年 安徽春招 试 题 )已知抛物线 C:y=x+27,过 ,且与 在点 M 的法线 . ( )若 C 在点 M 的法线的斜率为 点 M 的坐标 (x0, ( )设 P(-2,a)为 在 使得 ？若有 ,求出这些点 ,以及 若没有 ,请说明理由 . 解析 :( )由 C 在点 M 的法线的斜率为 C 在点 M 的 切 线的斜率 =2 2=2 1 1 M(1); ( )设 M(x0,7),则 22740020由 (2)1 a=()2;当 a 0 时 ,在 C 上有一个点 (21)在这点的法线过点 P(-2,a),其方程为 :x= 当 a0时 ,在 a ,212 a),(a ,212 a),及 (21),在这三点的法线过点 P(-2,a),其方程分别为 :x+2 a y+2a =0,a y+2+2a a =0,x=点评 :圆锥曲线的法线有许多有意义的性质 ,如焦点为 2的椭圆 G 在其上一点 P 处的法 线 平分 点为 2的 双曲 处的法 线 平分 焦点为 物 处的法 线 平分 中 , 的对称轴 ,且点 Q 在抛物 G 的内部 . 用 子题类型 :(2014年 浙江 高考试 题 )如图 ,设椭圆 C:222(ab0),动直线 只有一个公共 点 P,且点 P 在第一象限 . ( )已知直线 l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标 ; ( )若过原点 O 的直线 证明 :点 P 到直线 解析 :( )设 P(x,y)是 椭圆 C 与直线 l 的交点 ,直线 l:y=kx+t,则 =(ka (222 题知 ,b2= ka:x=y=2222 P(2222; ( )设 点 P(x0,过点 P 且与 切线 l 垂直的 直线 为 切线 l:200 直线 2 直线 点 P 到直线 点 d=20420422=)( 22022020420422222)( =且仅当 a3:等 号成立 点 P 到直线 点评 :本题是曲线法线应用的绝妙典例 ,记直线 l 的垂足为点 Q,则直线 l 是以 O 为圆心 ,|半径的圆的切线 , 因此 ,本题的实 质是椭圆与圆的公切线段长的最 大值为 子题类型 :(原创 试 题 )已知椭圆 C:222(ab0),圆 :(+y2=a2+中 c= 22 ,若 A 是 圆 上的点 ,B 是椭圆 C 上的点 ,且使直线 椭圆 C 和 圆 均相切 ,求 点 A 和点 B. 解析 :如图 ,设 B(,则 椭圆 处的切线 AB:,即 直线 圆 相切 2222 co co s|= 22 点 B(切线 2,代入 (+y2=a2+x=0 y= a 点 A(0, a). 点评 :解决两圆锥曲线公切线问题的一般方法是设非圆的圆锥曲线的切点 ,由此写出切线方程 ,然 后 ,或利用该切线与另一曲线相切 ,或写出另一曲线的切线方程 ,由两切线重合 ,解决问题 . 1.(2010 年安徽高考试题 )椭圆 E 经过点 A(2,3),对称轴为坐标轴 ,焦点 x 轴上 ,离心率 e=21. ( )求椭圆 E 的方程 ; ( )求 2.(2003年 课程 高考试 题 )己知 抛物线 C1:y=2:y=1和 称 1和 公切线上两个切 点之间的线段 ,称为公切线段 . ( )a 取什么值时 ,2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程 ; ( )若 2有两条公切线 ,证明 :相应的两条公切线段互相平分 . 3.(2004 年全国高中数学联赛四川 初赛试 题 )已知椭圆 :222(ab0),动圆 :x2+2,其中 )的离心率为23,右焦点为圆 )2+ 的圆心 . ( )求椭圆 ( )若直线 l 与曲线 2都只有一个公共点 ,记直线 l 与圆 为 A,求点 A 的坐标 . ( )E:11216 22 1(),0); ( )由椭圆的光学性质知 ,角平分线 l 与椭圆在点 A 处的切线123162 1 垂直 直线 l 的斜率 k=角平分线 l 的方程 :2. ( )由 抛物线 (x1,的 切 线 l1:y=2()物线 (a)处的切 线l2:y=a; 如果直线 l 是过 P 和 Q 的公切线 ,则直线 线 l 2()= a (=a 2+a=0 有等根 =4+a)=0 a=21 公切线 l:y=( )由 ( )知 ,当 a 2有两条公切线 ,且 x1+1 y1+(a)=()2+a=公切线段 中点为 (1a),即 公切线段 的中点 重合 相应的两条公切线段互相平分 . 如图 ,设 A(,则 椭圆 在点 A 处的切线 AB:,即 椭圆 在点 A 处的 法 线 l:(0 |点 O 到法 线 l 的距 离 d=222222| = 222222=)o s)(c o s 22222222 222)( =且仅当 A(ba 此时 ,R= ,等