16_4256774_19.基底向量下的平面法向量

中国 高考数学母题一千题 (第 0001 号 ) 愿与您共建真实的中国高考数学母题 (杨培明 基底向量下的平面法向量 “不规则”几何体 问题 的 解 法 平面的法向量是 利用 向量 解决立体几何问题的 核 心 ,解决基底向量下的平面法向量问题 ,将打开基底向量法应用的广泛范 围 ,为 解决 “不规则”几何 体 的 问题 提供一种全新方法 . 母题结构 :己知 空间基底向量 e1,e2,足 |a,|b,|c,m,n,k,在此 基底向量 下 ,求平面的法向量 m. 解 题 程 序 :设 m=(x,y,z),并在平面内取两个不共线的向量 a与 b;用基底向量 e1,e2,a与 b;由 ,且 ,建立关于 x,y,z 的方程组 ,取满足 x2+y2+0 的方程组的其中一组解 ,即得平面的法向量 m. 子题类型 :(2013年课标 高考试题 )如图 ,三棱柱 B, 00. ( )证明 :( )若平面 面 B=直线 平面 . 解析 :( )设 A1=a,B=c, 1a,b,c,则 |a|=|b|=a,|c|=c,1C = |=c 1 1 b( ( )由 B a=c,设 a=c=2,则 |a|=|b|=|c|=2,ab=;又由平面 面 ;设 平面 法向量 m=xa+yb+ m 0,m 10 (xa+yb+0,(xa+yb+zc)a=0 z= 0,4x+2y+z=0,取 x=2 得 y=-3,z=m=2|m|=2 15 ,| =| 6 ,m 正弦值 =|=510. 点评 :基底向量法常与折叠角公式有关 ,折叠角公式又称为最小角定理 :如图 ,若平面 平面 1, 2, ,则 设 ,由 | =|=,|=|=;又 |=| . 子题类型 :(2014 年辽宁高考试题 )如图 , 在平面互相垂直 ,且 C=, 200,E、 F 分别为 中点 . ( )求证 : ( )求二面角 正弦值 . 解析 :( )设 a,b,c,则 |a|=|b|=|c|=2,ab=;由 ;又由 21 21( 21(b=21(0 ( )设 平面 法向量 m=xa+yb+ m 0,m 0 (xa+yb+b+c)=0,(xa+yb+a+b)=0 x+2y+2z=0,2x +2y+z=0,取 x=2得 y=-3,z=2 m=2c |m|=2 7 ;由 平面 平面 设 平面 n=yb+ n b=0 2y+z=0,取 y=1得 z=n=|n|=2 3 ,m n= 721 二面角 正弦值 = 772 . 点评 :基底向量下的平面法向量 的求解方法与解析向量 下的平面法向量 的求解方法类似 ;对于特殊平面的法向量 ,可通过分析该特殊平 面的法向量可与哪两个 基底向量共面 ,并设出 法向量由 这 两个 基底向量的线性表示式 ,然后 ,在平面内取一 向量 ,由它与 平面法向量的 数量积为 0,求 法向量 . 子题类型 :(2004 年全国 高考试题 )如图 ,已知四棱锥 B 面 边长等于 2 的正三角形 ,底面 菱形 ,侧面 底面 成的二面角为 1200. ( )求点 P 到平面 距离 ; ( )求面 面 成二面角的 余弦值 . 解析 :( )如图 ,作 面 足为点 O,设 D 交于点 E,由 点 E 为 中点 , 00 3 点 P 到平面 距离 =3 ; ( )设 a,b,c,则 |a|=|b|=|c|=2,ab=;由 |3 21;设 平面 m=xa+yb+ m 0,m 0 8x+4,y+8z=0 m=4c,同理可得 平面 n= c 772 面 面 成二面角的 余弦值 =点评 :由 基底向量下的平面法向量 ,基底向量 法可用于解决所有与 平面的法向量 有关的问题 . 1.(2007 年全国 高考试题 )四棱锥 ,底面 平行四边形 , 侧面 面 知 50, 2 ,B= 3 . ( )证明 :( )求直线 平面 成角的大小 . 2.(2004 年福建高考试题 )在三棱锥 , 边长为 4 的正三角形 ,平面 面 A= 3 ,M、 N 分别为 中点 .( )证明 :( )求二面角 余弦值 ; ( )求点 B 到平面 距离 . 3.(2006 年福建高考试题 )四面体 ,O、 E 分别为 中点 ,B=D=2,D= 2 . ( )求证 :面 ( )求异面直线 成角的余弦值 ; ( )求点 E 到平面 距离 . 在 3,由 A =a,b,c,则 |a|=2,|b| =2 2 ,|c|= 3 ,. ( )因 C =(b= ( )由 a+平面 法向量 m=xa+yb+ , 2x+2y+z=0,2x+4y+3z=0,令 z=2 x=1,y=m=b+2c |= 11 ,|m|=2 2 ,1122 直线 平面 成的角满足 1122. 设 a,b,c,则 |a|=|b|=4,|c|=2 3 ,ab=, 3 3 . ( )B =b( )2121N =2121c;设