同济大学线性代数课后习题第一章答案

第一章 行列式1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 38402解 12(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644 (2) bac解 acbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3(3) 21解 2cbabc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)(4) yx解 x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x33xy(xy)y33x2 yx3y3x32(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0(2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32(3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解 逆序数为 (3 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解 逆序数为 n(n1) 3 2(1 个)5 2 5 4 (2 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1 个)3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项 解 含因子 a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424 计算下列各行列式 (1) 710254解 0142324c 34)1(320 13079231c(2) 2654解 031260531424c04132r 214r(3) efcbfda解 ff ecb adfadbce41(4) dcba10解 dcbaar1021)(2 023cabcdabcdad1 cdab35 证明:(1) (ab)3;12a证明122ba02213abac(ab)3 )(23 1)(2) ;yxzbazybaxzyx3证明bzayxbazybzayxzxbayxzz22zyxbzya3333 yxzba)(3(3) ;0)3(2)1(22 222ddccbba证明 (c4c3 c3c2 c2c1得)2222222)()1ddccbbaa(c4c3 c3c2得)532 0212dcba(4) 4422dcba(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 44221dcba)()()(01222ad)(222cbadcb)(011)()( abda()bcdcacb =(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5) xna1xn1 an1xan 21 0 xn证明 用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 21212axxaD假设对于(n 1)阶行列式命题成立 即Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则 Dn按第一列展开 有1 1 00)(1 xnnxD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 Ddet(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得 naD11 112 na13 an证明 D3D )(21证明 因为 Ddet(aij) 所以 nnn a2111 ( )1(3212nnna Dn2)1()1(2 1)(同理可证 nnaD )(1122 nTn2)1(2)1( Dnnn )1(2)1(2)1(2)(37 计算下列各行列式(D k为 k 阶行列式) (1) , 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素an1都是 0 解(按第 n 行展开) aaDn0 10 1)1( )( nna )1(2 nnaanan2an2(a21) nna)2(1 )(2) ;xaDn 解 将第一行乘( 1)分别加到其余各行 得 axxan 0 再将各列都加到第一列上 得x(n1)a(xa)n1axDn 00 )1(3) ;1 1 )( )(111naannn解 根据第 6 题结果 有nnnn aaD)( )1( )1( 12此行列式为范德蒙德行列式 12)(1 )1()jinn jaD)(ji12 )1(2)1( )(jinnn 1jin(4) ;nnnndcbaD 12解 (按第 1 行展开)nnnndcbaD 12nndcba00 011111 0 0)1( 111112cdbabnnnnn 再按最后一行展开得递推公式D2nandnD2n2bncnD2n2 即 D2n(andnbncn)D2n2 于是 iii)(而 112cdc所以 niiibaD)(5) Ddet(aij) 其中 aij|ij|;解 aij|ij| 0 4321 3102 )det( nnijn0 4321 1 213 nnr1 52431 00 23 nnc(1)n1(n1)2n2 (6) , 其中 a1a2 an0 nnaD 2解 nnaaD1 12nnac10 0 322131132210 0 1 nn aanin aaa113221 0 0 10 )1)(21niaa8 用克莱姆法则解下列方程组 (1) 01235431xx解 因为 42135D 20128410352D 46135D2所以 1x23Dx14(2) 150654321xx解 因为 6510D 7561 1450612D 03103D39514 2565所以 65107x61425703x6945214x9 问 取何值时 齐次线性方程组 有非0321零解？解 系数行列式为 12D令 D0 得0 或 1 于是 当 0 或 1