初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法

1初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。这里经常要用到一些整除性质。一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。但其解法仍然是有章可循的。一、巧用求根公式法例 1、试确定 m 为何值时，方程(m 2-1)x2-6(3m-1)x720 有两个不相等的正整数根。解：首先，m 2-10，则 m1又 =36(m-3) 20，所以 m3用求根公式可得 1,621mx x 1，x 2是正整数， m-1=1，2，3，6；且 m+1=1，2，3，4，6，12。解得 m=2这时 x1=6，x 2=4。评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解 问题， 这是最自然、最常规的解法。二、巧用因式分解法例 2、已知方程 a2x2 - ( 3a2- 8a )x + 2a2-13a +15 = 0（其中 a 是非负整数）至少有一个整数根，求 a 的值。.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程 ax2a +3=0 和 axa + 5 =0，然后利用整除的知识，求出非负整数 a 的值。解：原方程可化为： a2x2(3a 28a)x(2a3)(a5)0方程左边分解因式,得 (ax2a3)(axa5)0 x3112 原方程至少有一个整数根， a 的值为 3，或 5，或 1。例 3、当 k 为何整数时，关于 x 的二次方程 x23kx+2 k26=0 两根都为整数。分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数 k的值.解：由 x23kx+2k 26=0，得 (x-2k)(x-k) = 6 x、k 为整数， 原方程化为或 或 或 32kx23kx612kx162kx2 由于 x2k 与 xk 同号，故得八个不定方程组，解得 k =1，1，5，5。评析：利用因式分解可以把原方程进行完全分解或部分分解，转化成几个不定方程，然后利用整数的性质可以来解决。三、巧用判别式来解决例 4、设 m 是不为零的整数，关于 x 的二次方程 mx2-(m-1)x10 有有理根，试求 m 的值解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数令 =(m-1) 2-4mn 2，其中 n 是非负整数，于是可得 m 2-6m+1=n2， (m-3) 2-n2=8， 即 (m-3n)(m-3-n)8由于 m-3nm-3-n，并且(m-3n)+(m-3-n)=2(m-3) 是偶数， m-3n 与 m-3-n 同奇偶， 或 234m234nm 或 （舍去）16n10n所以当 时，这是方程的两根为 和 。231评析：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等手段可以将问题解决四、巧用求根公式与判别式的结合来解决例 5、试求所有这样的正整数 a，使得方程 ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0 至少有一个整数解。解：首先要使=-2(2a-1) 2-4a4(a-3)=32a+4 是一个完全平方数 32a+4=2 2(8a+1)， 8a+1 必须是完全平方数。 8a+1 是奇数， 设 8a+1=(2k-1) 2,k 是整数 则 2)1(ka a0， k1 或 k1 或 k1 或 k0 不符，舍去 k=5,3,2,-3,-1 对应的 a=10,3,1,6,1。 当 a=1,3,6,10 时，方程 ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0 至少有一个整数解。例 6、关于 x 的方程 ax2+2(a-3)x+(a-2)=0 至少有一个整数解，且 a 是整数，求a 的值解：当 a=0 时，原方程变成-6x-2=0，无整数解当 a0 时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式 4(a-3) 2-4a(a-2)4(9-4a)为完全平方数，从而 9-4a 是完全平方数令 9-4a=n2，则 n 是正奇数，且 n 3（否则 a = 0） 492n又由求根公式可得 nax )3(12)( nx341341要使 x1为整数，而 n 为正奇数，只能 n=1，从而 a=2要使 x2为整数，即 n-34，n 可取 1，5，7，从而 a=2，-4，-10 综上所述，a 的值为 2，-4，-10评析：本题是前面两种方法的“综合”既要用判别式是平方数，又要用直接求根有时候，往往是几种方法一同使用五、巧用韦达定理法例 7、已知关于 x 的方程 x2(a-6)xa=0 的两根都是整数，求 a 的值解：设两个根为 x1，x 2，不妨设 x1 x 2，由韦达定理得 x216从上面两式中消去 a 得：x 1x2+x1+x26，即 (x 11)(x 2+1)=7， 或 可解得 或172x72 062x821 a = x 1x2 = 0 或 16例 8、求所有有理数 r，使得方程 rx2+(r+1)x(r-1)=0 的所有根是整数。分析：首先对 r=0 和 r0 进行讨论当 r=0 时，是关于 x 的一次方程；当 r0时，是关于 x 的二次方程，由于 r 是有理数，处理起来有些困难，这时用直接求根或用判别式来做，均不能奏效可用韦达定理，先把这个有理数4r 消去解：当 r=0 时，原方程为 x-1=0，则可得 x=1当 r0 时，原方程是关于 x 的一元二次方程，设它的两个整数根为 x1，x 2，且 x1x 2，则 rx121消去 r 得 x 1x2-x1-x22， (x 1-1)(x2-1)=3 或 可解得 或3213242x102 1721或xr综上所述，当 时，方程的所以根都是整数。 0或或r评析：利用韦达定理，结合整数的性 质，确定因数，求得参数的值；或者把参数消去，得到的是关于 x1，x2 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的六、巧用主元分析法例 9、已知方程 x2(m1)x2m10 的两个根都是整数，求 m 的整数值。分析：本题待定字母 m 是整数，且指数为一次，可把原方程整理成关于 m 的一次方程。通过对方程解的整数分析即可获得结论。解：原方程可化为关于 m 的一次方程：(x2)mx 2x-10 21x因为 x，m 都是整数，所以 x21 或1 即 x1 或 x3 代入求得相应的 m=1 或 5故当 m=1 或 m=5 时，方程的两根均为整数。评析：从解题过程中知，当关于 x 的一元二次方程中，如果参数是一次的，可以先 对这个参数来求解。对所求的解如果能分离整数部分， 则先分离整数部分，再利用整数的性质解决；或者借助不等式（组）和整数的性质也可以求解。七、巧用方程之间关系法例 10、已知方程 各有两个整数根 ， 和 且0022 bcxcbx与 1x2,21x0 ， 0 。21x21(1)求证：x 10,x 20,x |10,x |20； (2)求证：b-1cb1；(3)求 b，c 的所有可能的值5解：(1) 由 x1x2 0 知，x 1 与 x2 同号若 x1 0，则 x2 0，这时 ，b 0；与 矛盾， ；bb021， x同理可证 /2/1，(2) 由(1)知，x 10，x 20，所以 x1-1，x 2-1由韦达定理可得 cb-10)1()(1 cb同理 cb+1，/2/2/2 x b-1cb+1(3) 由(2)可知，b 与 c 的关系有如下三种情况： 当 c = b1 时，由韦达定理知 1)(2121xx , 解得 2)(21x22，6,52121 b = 5 ，c = 6 当 c = b 时，由韦达定理知 )(2121xx1)(21x ，从而 b = 4，c = 421x 当 c = b1 时，由韦达定理知 )(/21/2/1xx )(/2/1x综上所述，共有三组解：(b，c)=(5，6)，(4，4)，(6，5)评析：在解决多个方程有关的一些竞赛题时，除