初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计

初中数学教师培训材料：问题模型与试题设计见山是山，见山不是山，见山是山一、问题模型一概述1.问题模式：结果f（情景，对象，方式，条件，要求，任务） 。例 1 小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片 ABCD放在每格宽度为 12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知 =36，求长方形卡片的周长 ”请你帮小艳解答这道题 （精确到 1mm） （参考数据：sin360.60，cos360.80，tan360.75）【2009 年吉林省中考试题】说明：生活情景（背景）：平行线，或纸片放在一组等距的平行线上；对象：平行线，矩形；操作方式：摆放，测量；条件：平行线是等距的，距离为 12mm,=36,(辅助条件)sin360.60 等；要求：精确到 1mm；任务：求周长；结果：长度值；f：如图所示摆放，使各顶点处于特定的位置。例 2 如图，在菱形 ABCD 中， 72ADC， AD 的CDABl12mmDCBAEP垂直平分线交对角线 BD 于点 P，垂足为 E，连接 CP，则CPB_度【2009 年山东省临沂市中考试题】说明：数学情景：基形为菱形。对象：（基本对象）菱形，（构建对象）垂直平分线，线段；方式：推理；条件：菱形，垂直平分，对角线， 72ADC；无特殊要求；任务：求角度值；f：BD为菱形对角线，AD 的垂直平分线与对角线相交。2.六因素说明1“情景”主要有两种：生活情景，如海面、灯光等；数学情景，如网格、运动等.2“对象”主要有三种：实物对象，如树等；模型对象，如三角形、方程等；任务对象，如决策对象，阅读对象等. 3“方式”主要有四种：操作方式，如使用测角器的测量方式，图形分割、旋转等；说理方式，如合情推理等；应用方式，如决策、方案设计、最值等；学习方式，如阅读理解与运用等.4“条件”主要有四种：数值条件，如角度、长度等；关系条件，如图形之间的关系，代数式间的关系等；结构性条件，这里又有三种， （a）情景图所确定的结构，如测量中的”两角一边”型图形或它的变式图形，组合图形；b图形结构，如位置关系等；c 代数结构，如式的结构等；辅助性条件，这里又有两种：a限制性条件，如点的运动方式的限制性条件，最值所满足的条件；b说明性条件，如概率情景中球的外形、质感相同等. 5“要求”主要有三种：操作性要求，如折叠后使某点落在某位置等；任务性要求，如“判断” ， “猜想” ， “探究”等；结果性要求，主要是指对结果表现形式的要求，如“写出一个结论” ，“不要求写画法” ， “结果保留 ”等.6“任务”主要有四种：1操作性任务，如画图、求解等；2推理性任务，如归纳、证明等；3应用性任务，如决策等；4学习性任务，如阅读理解基础上的求解、探究等运用性任务.7“结果”主要有六种：数值性结果，如概率；方案性结果，结果为一个或若干个方案；图形性结果，结果为一个图形；关系性结果，结果为几何对象或代数对象之间的某种关系；结论性结果，如某人发挥水平较为稳定等；问题实例性结果，如所提问题，所举实例等.3试题模型：试题g（问题，题型）.例 3 如图，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (80)， ，直线 BC 经过点 (86)B， ， (0)C， ，将四边形 OABC 绕点 O按顺时针方向旋转 度得到四边形 A，此时直线 、直线BC分别与直线 BC 相交于点 P、Q（1）四边形 OABC 的形状是 ，当 90时， BP的值是 ；（2）如图，当四边形 OABC的顶点 落QCBA O xP图y在 y轴正半轴时，求 BPQ的值；如图，当四边形 OAC的顶点 B落在直线 C上时，求OPB的面积（3）在四边形 OABC 旋转过程中，当 018 时，是否存在这样的点 P 和点 Q，使 12BP？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由【2009 年浙江省宁波市中考试题】说明：问题：直角坐标系下，特殊矩形摆放在特殊位置，绕某点原点旋转，根据旋转的不同时刻产生不同的问题；根据问题的特殊性、难易性、所考查的目标等因素考虑，选择不同的题型进行表征，便形成了鲜活的试题。二变式.操作型问题操作结果f（操作性情景，对象，操作方式，条件，要求，任务） 。1测量型问题测量性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件，要求） 。（Q）CBA O xP图y BQCBA O xP图yCBA Oyx（备用图）1数值性结果数值性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件） ，其中的条件主要有两种：由测量方式所确定的、有情景图所描述的结构性条件和由测量所得到的数值条件如仰角等.例 4 某旅游区有一个景观奇异的望天洞， D点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭 A处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道 B返回山脚下的 B处在同一平面内，若测得斜坡 D的长为 100 米，坡角10DC，在 处测得 A的仰角 40C，在 处测得 A的仰角85AF，过 点作地面 BE的垂线，垂足为 （1）求 B的度数；（2）求索道 的长 （结果保留根号）【2009 年辽宁省铁岭市中考试题】模型：索道长f（斜坡，水平面， B、D 两处的测量方式，测量值）.问题：置身如此，你可怎样获得凉亭高度？2方案性结果方案性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件，方案设计要求）.3推断性结果推断性结果f（测量性情景，对象，测量方式，条件） 。2几何操作型问题操作结果f（操作性情景，几何对象，操作方式，条件，要求，ACDEFB任务）. （1）按要求画出图形画出图形f（画图情景，基本图形，操作方式，条件，画图要求）2先作几何操作后完成有关任务结果f（几何操作情景，基本图形，操作方式，条件，操作要求）.例 5 观察与发现小明将三角形纸片 ()ABC沿过点 A 的直线折叠，使得 AC落在 AB 边上，折痕为 AD，展开纸片（如图） ；再次折叠该三角形纸片，使点 A 和点 D 重合，折痕为 EF，展平纸片后得到 AEF （如图） 小明认为 EF 是等腰三角形，你同意吗？请说明理由（2）实践与运用将矩形纸片 ABCD沿过点 B 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的点 F 处，折痕为 BE（如图） ；再沿过点 E 的直线折叠，使点 D 落在 BE 上的点 处，折痕为 EG（如图） ；再展平纸片（如图） 求图中 的大小ACDB图ACDB图FEE DDCFBA图E DCAB F GA DECB F G图 图【2009 年江苏省中考试题】模型：说理性结果或求解性结果f（三角形纸片或长方形纸片，折叠，图示结构，要求）.启示：在玩中思考，在思考中玩，数学好玩。3求解型问题求解结果f（求解性情景，对象，条件，要求） 。（1）生活情景求解结果f（实际情景，对象，条件，要求）.例 6 一天晚上，小伟帮妈妈清洗茶杯，三个茶杯只有花色不同，其中一个无盖（如图） ，突然停电了，小伟只好把杯盖与茶杯随机地搭配在一起，则花色完全搭配正确的概率是 【2009 年四川省绵阳市中考试题】模型：搭配正确的概率f（茶杯，杯盖，茶杯 与杯盖的个数与花色特点，搭配要求）.启示：生活中不是没有美妙的数学，而是没有发现的眼光。2纯数学情景求解结果f（纯数学情景，对象，条件）.推理型问题结果f（情景，对象，条件，推理方式） 。1合情推理型问题推理结果 = f（合情推理性情景，对象，关系，推理方式） 。（1）动态的方式归纳结果 = f（动态的情景，对象，关系，归纳推理）例 7 下图是蜘蛛结网过程示意图，一只蜘蛛先以 O为起点结六条线 OABC、 、 、 D、 OEF、 后，再从线 A上某点开始按逆时针方向依次在 、 、 、 、 、 、 OB、 、 上结网，若将各线上的结点依次记为 1、2、3、4、5、6、7、8、，那么第 200 个结点在（ ）A线 O上 B线 O上C线 上 D线 F上【2009 年湖南省永州市中考试题】模型：结果f（归纳性情景，对象，对象所满足的关系，归纳）.启示：两个翅膀平衡作用，才能展翅高飞。（2）静态的方式结果 = f（静态的情景，对象，关系，合情推理） 。2说理型问题结论f（对象，条件，说理方式） 。说理方式有非严格的说理，与严格的证明性说理，以及解释性说理，等等1结合运算的说理结论f（对象，条件，结合运算的说理方式）.例 8 如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m 的顶灯已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为 1m，矩形面与地893 21 76121110 451314C BAFEDO面所成的角 为 78李师傅的身高为 1.78m，当他攀升到头顶距天花板 0.050.20m 时，安装起来比较方便他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据： sin780.9 ， cos780.21 ， tan784.0 ）【2009 年河南省中考试题】模型：结果f（情景，对象，图示条件，结合运算的说理）.启示：将你的发现表达为问题，由问题具体化为试题。2证明性的说理结果f（对象，条件，证明性的说理方式）.3综合性的说理结果f（对象，条件，合理推理，逻辑推理）.例 9 问题探究（1）请在图的正方形 ABCD内，画出使 90APB的一个点 P，并说明理由（2）请在图的正方形 内（含边） ，画出使 6的所有的点 P，并说明理由问题解决（3）如图，现在一块矩形钢板 43ABCDB， ， 工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的 APB 和 CD 钢板，且60APBCD请你在图中画出符合要求的点 和 P，并求出 的面积（结果保留根号） 【2009 年陕西省中考试题】欣赏：模型：所画图形f（基本图形，条件，任务要求）.应用型问题结果f（应用性情景，对象，条件，要求）. 1决策型问题决策结果f非决策对象，决策对象，条件，要求1方案设计型问题方案f（对象，条件，设计要求）.2判断型问题判断结果f（实际情景，对象，图表文字等信息，判断依据D CBAD CBAD CBAD CBAPD CBAOPE FD CBAEGOPP或要求）.例 10 某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有 25 分钟，于是立即步行回家取票.同时，他父亲从家里出发骑自行车以他 3 倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小中，明立即坐父亲的自行车赶回体育馆.下图中线段 AB、 O分别表示父、子俩送票、取票过程离体育馆的路程S（米）与所用时间 t（分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：（1）求点 B的坐标和 A所在直线的函数关系式；（2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？【2009 年江西省中考试题】模型：结果 f（骑车步行，时间，路程，图示信息，文字信息）.回味：自然合理，图文并茂，数形结合。3方案决策型问题决策结果f（实际情景，对象，条件，决策要求）.2实际中的最值型问题结果f（实际生活情景，对象，条件，最值性要求）.例 11 如图（1）的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折S（米）t（分）BO3 60015A1 2叠进去的宽度（1）如图（2） ， 思维游戏这本书的长为 21cm，宽为 15cm，厚为 1cm，现有一张面积为 875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图（1）所示求折叠进去的宽度；（2）若有一张长为 60cm，宽为 50cm 的矩形包书纸，包 2 本如图（2）中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图 1 所示问折叠进去的宽度最大是多少？【2009 年浙江省绍兴市中考试题】模型：结果f（包书情景，矩形纸，图示条件，陈述性条件，包书要求）. 启示：数学从生活中来，回到生活中去。.学习型问题结果f阅读材料，对象，条件，运用。1对概念与规律的理解结果f（阅读材料中的概念或规律，理解运用的对象，条件，要求，理解后的运用）. 例 12 2009 年浙江省台州市中考数学试题中关于新定义概念的考查情况定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图(1)， PHJ， IPG，则点P就是四边形 ABCD的准内点（1）如图(2)， AFD与 EC的角平分线 FPE， 相交于点 P求证：点 P是四边形 B的准内点（2）分别画出图(3)平行四边形和图(4)梯形的准内点（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假” 任意凸四边形一定存在准内点 （ ）任意凸四边形一定只有一个准内点 （ ）若 P是任意凸四边形 ABCD的准内点，则 PDCBPA或 PCA( ) 模型：结果f（新定义概念，四边形，条件，任务与要求）.启示：理解是学习的基础。2对过程与方法的理解结果f（对过程与方法的阅读，对象，条件，运用）.图(3)图(2) 图(4)FEDCBAPGHJI图(1)BJIHG DCAP例 13 阅读下列材料：小明遇到一个问题：5 个同样大小的正方形纸片排列形式如图（1）所示，将它们分割后拼接成一个新的正方形他的做法是：按图（2）所示的方法分割后，将三角形纸片绕 AB 的中点 O 旋转至三角形纸片处，依此方法继续操作，即可拼接成一个新的正方形 DEFG请你参考小明的做法解决下列问题：（1）现有 5 个形状、大小相同的矩形纸片，排列形式如图（3）所示.请将其分割后拼接成一个平行四边形要求：在图（3）中画出并指明拼接成的平行四边形（画出一个符合条件的平行四边形即可） ；（2）如图（4） ，在面积为 2 的平行四边形 ABCD 中，点E、 F、 G、 H 分别是边 AB、 BC、 CD、 DA 的中点，分别连结AF、 BG、 CH、 DE 得到一个新的平行四边形 MNPQ请在图 4 中探究平行四边形 MNPQ 面积的大小（画图并直接写出结果） 【2009 年北京市中考试题】模型：结果f（阅读材料，矩形纸片，平行四边形，条件，操作要求）. 图(1) 图(2)图(3)A DGCBE QHFMNP图(4)启示：学习能力是数学素养、人的基本素质的基本构成部分，应当是教学与评价关注的基本对象之一。二、试题设计问题模式：结果f（情景，对象，方式，条件，要求，任务） 。一 设计方法1.改变因素A.改变情景等因素改变，得先有个基本而简单的问题，如测旗杆高度。例 14 小明站在 A处放风筝，风筝飞到C处时的线长为 20 米，这时测得 60CBD，若牵引线底端 B离地面 1.5 米，求此时风筝离地面的高度 （计算结果精确到 0.1 米， 31.72 ）基本问题模型：“高度f（风筝，地面，测量工具，测量值） ”。更一般模型：“高度F（物体，测量方式，测量值） ”。改编思路 1：改变地面因素。新题 1：（浙江绍兴）兴趣小组的同学要测量树的高度在阳光下，一名同学测得一根长为1 米的竹竿的影长为 0.4 米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为 0.2 米，一级台阶高为 0.3 米，如图所示，若此时落在地面上的影长为 4.4 米，则树高为（ ）A11.5 米 B11.75 米 C11.8 米 D12.25 米改编思路 2：改变地面因素与测量方式。新题 2：如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB， B 是 CD 的中点， CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE 留在坡面上已知铁塔底座宽 CD=12 m，塔影长 DE=18 m，小明和小华的身高都是 1.6m，同一时刻，小明站在点 E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为 2m 和 1m，那么塔高 AB 为（ ）A24m B22m C20 m D18 m思考：题型的选择是否恰当？改编思路 3：改变测量对象与测量方式等。新题 3（山东烟台）某地震救援队探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象，已知废墟一侧地面上两探测点 A， B 相距 3 米，探测线与地面的夹角分别是 30和 60（如图） ，试确定生命所在点 C 的深度（结果精确到 0.1 米，参考数据：21.4， 31.7 ）改编思路 4：改变测量方式等。新题 4 安徽如图某幢大楼顶部有广告牌 CD张老师目高MA 为 1.60 米，他站立在离大楼 45 米的 A 处测得大楼顶端点 D 的仰角为 30；接着他向大楼前进 14 米、站在点 B 处，测得广告牌顶端点 C 的仰角为 45 （取 31.72 ，计算结果保留一位小数）（）求这幢大楼的高 DH；（）求这块广告牌 C的高度B.改变方式等因素例 15 原题：一张矩形纸片 ABCD，沿对角线 BD 折叠，使边 BC 与边 AD 交于点F，改变思路 1：同是长方形纸片，改变折叠方式，发现新的结论。新题1：如图，把矩形纸片 ABCD沿 EF折叠，使点 B落在边AD上的点 B处，点 落在点 处（1）求证： EF；（2）设 aAbBc， ， ，试猜想abc， ，之间有何等量关系，并给予证明说明：备选设问方式：你能得出哪些结论，请写出三个。当 F 是 BC 的中点时，何时 DBAE。如图，把矩形 ABCD 沿 EF折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 B处，点 A落在 A处.设 AE=a,AB=b,BF=c,求证：CABCDFE22abc.改变思路 2：进一步改变条件因素。新题 2：如图，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，使点 B 与点 D 重合，形成五边形 ABCNM，若这个五边形中有四条边相等，则图中ADC=_ _.改变思路 3：改变对象因素，将长方形换成题型。新题 3：如图，在梯形纸片 ABCD 中， AD BC， AD CD，将纸片沿过点 D 的直线折叠，使点 C 落在 AD 上的点C处，折痕 DE 交 BC 于点 E，连结 C E（1）求证：四边形 CDC E 是菱形；（2）若 BC=CD+AD，试判断四边形 ABED 的形状，并加以证明改编思路4：将梯形特殊化，同时改变折叠方式与设问方式。新题 4:如图，梯形纸片 ABCD 中,AD BC, B= C=60,点 E 是 DC 上的一点，沿直线 AE 折叠，使点 D 落在 D处，则1+2 等于( )A、180 B、150 C、135 D、120改编思路 5：改换成正方形纸片与折纸方式等。新题 5：如图，边长为 1 的正方形 ABCD 中，M、N 分别为 AD、BC 的中点，将点 C 折至 MN 上落在点 P 的位置，折痕为 BQ，连结 PQ，求 MP的长。C.改变关系 f例 16 原题：如图，是一个数值转换器，原理如图所示（1）当输入的 x值为 144 时，求输出的 y值；（2）是否存在输入的 值后，始终输不出 值？如果存在，则写出所有满足要求的 x值；如果不存在，则说明理由原题求解：求解（2）的一种可能思路是： x，由此得出x0，1。改编理由：发现原有试题的问题，调整改进。改编思路：使所考查内容落在课标范围内。 新题：阅读下列计算程序:输 入 x=0y-2+9y 0是否比 前 一 次 多 输 入 1输 出 的 值（1） 当 x0=1200 时,输出的 y 值是多少?（2） 若经过二次输出才能输出 y 的值,求 x0的取值范围.说明：不能因为存在问题，便抛弃全部。不能仅仅简单地否定它，而应当设法改进它，建设它。2.在 f 上作文章f怎样选取元素，并将这些元素有机地组合起来。输入 x取算术平方根是有理数是无理数输出 y例 17 基本图形：如图。构造思路 1：连接 AO，从中能得到什么？ABCO题目 1： 如图，ABC 是O 的内接三角形，点 C 是优弧 AB 上任意一点（不与A,B 点重合） ，设OAB= ,C= .1当 =35时，求 的度数；2猜想 与 之间的关系，并给予证明.构造思路 2：作弦 BC 的垂直平分线交 AC 于 F，连接 BF 交 AO于 H，在这个图形中，能得到哪些结论？结论：CFE=OAB;FHOAHB;FAO+FBA=OAB。例 18 基本图形：两个全等或相似的等腰直角三角形。构造思路 1：按如图所示摆放。题目 1：ABC 和CDE 都是等腰直角三角形，CD、CE 与 AB 分别交于点 F、G，那么图中有相似三角形吗？请找出来并给予证明。构造思路 2：将两个相似的三角形按如图形式摆放。ABCDEFG图图 图CA BEFM N图CA BEFM N图题目 2：（2008,山东泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图（1）所示放置，图（2）是由它抽象出的几何图形，BCE， ，在同一条直线上，连结 DC（1）请找出图(2)中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母） ；（2）证明： DCBE例 2（2008,天津） 已知 Rt ABC 中， 90ACB， CBA，有一个圆心角为 45，半径的长等于 CA的扇形 EF绕点 C 旋转，且直线CE， CF 分别与直线 AB交于点 M， N（1）当扇形 CEF绕点 C 在 B的内部旋转时，如图，求证： 22N；思路点拨：考虑 NAM符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决可将 ACM沿直线 E对折，得 DC，连 ，只需证 BDN，90DN就可以了请你完成证明过程。（2）当扇形 CEF 绕点 C 旋转至图的位置时，关系式 22BNAM是否仍然成立？若成(1) (2)DC EAB立，请证明；若不成立，请说明理由 发现起源：合理提问：同线的三条线段有没有恒定的关系？求解图形：说明：从审视例 3 中有所收获。一般地特殊图形的特殊摆放，通常包含了某种规律。3.发现情景例 19 （2006，江西） 小杰到学校食堂买饭，看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多（设为 a 人，a 8） ，就站到 A 窗口队伍的后面，过了 2 分钟，他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍，B窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人（1）此时，若小杰继续在 A 窗口排队，则他到达窗口所花的时间是多少（用含 a 的代数式表示）？（2）此时，若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口队伍后面重新排队，且到达 B 窗口所花的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少，求 a 的取值范围（不考虑其它因素） 素材来源：从亲身经历中发现有价值的素材。例 20 为解决“停车难”问题，CA BE FDM NCA BEFM NG某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图.按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图计算CE.（精确到 0.1 米）说明：减少文字的方法：借助情景图去表达问题。二关于问题与题型的思考1 题型运用的恰当性主要取决于五个要素：考查目标，如果考查目标重在考查对某一