直角三角形边角关系

努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 1DSE 金牌数学专题系列 经典专题系列第 6 讲直角三角形边角关系一、 导入二、 知识点回顾1锐角三角函数定义在直角三角形 ABC 中，C=90 0，设 BC=a，CA=b，AB=c，锐角 A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：A 的正弦= ；Aasin=c 的 对 边 ， 即斜 边（2）余弦的定义：A 的余弦= ,bo 的 邻 边 ， 即斜 边（3）正切的定义：A 的正切= at 的 对 边 ， 即 的 邻 边这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件：（1）锐角A 必须在直角三角形中，且C=90 0； （2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。 否则，不存在上述关系2、锐角三角函数关系：(1) 互为余角的三角函数关系若A+B=90，则 sinA=cosB,cosA=sinB.即：sin（90 A）=cosA， cos（90 A）=sin Atan（90 A）= cotA cot（90 A）=tanA(2) 同角的三角函数关系平方关系：sin 2 A+cos2A=l倒数关系：tanAcotA=1商数关系： sincosta,tcoin3、特殊角的三角函数： 00 300 450 600sinA 0 212cosA 1 1tanA 0 31 34.三角函数的大小比较(1) 同名三角函数的大小比较正弦、正切是增函数三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小余弦、余切是减函数三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。(2) 异名三角函数的大小比较tanASinA，由定义，知 tanA= ，sinA= ；因为 bc，所以 tanAsinAab努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 2cotA cosA由定义，知 cosA= ，cotA= ；因为 ac，所以 cotAcosAbc若 0 A45 ，则 cosAsinA，cotAtanA；若 45 A90 ，则 cosAsinA，cotAtanA5.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图）6.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 （如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。7.方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向； 北偏本 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向；南偏本等其他方向角类似。8、坡角与坡度:坡度：坡面与水平面所成角的度数（如图，角 为坡角）坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图， 为坡比）i注：坡面的铅直高度 h 与水平宽度 的比为坡度（或坡比） ，用字母 i 表示，即 i= ，坡面l hl与水平夹角 叫 坡角 ，即坡度等于坡角的正切（tan= i ） 。工程上斜坡的倾斜程度通常用坡度来表示，坡面的铅直高度 h 与水平宽度 的比为坡度（或坡比）l，坡度是坡角的正切，坡度越大，坡面越陡三、 专题讲解 【例 1】计算 (1) 1 2|tan60|2(sin451)2 sin30(2) (3) ，其中 ；242(cos45in60)231x(1-)4sin52cos60x解： 3原 式62努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 31、设 x=( )-1+(sin73)0+tan21tan69，求 的2332x-8+4（ ） 32x-69值2、 + .（sin2113-tan21） 0-21（ ） 3sin32cos06【例 2】一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，ABCF，F=ACB =90, E=45,A=60,A C=10,试求 CD 的长【答案】 解：过点 B 作 BMFD 于点 M在ACB 中， ACB =90, A =60,AC=10,ABC =30, BC=AC tan60=10 ,3ABCF，BCM=30 1sin3052BMCco在EFD 中，F =90, E =45,EDF=45, 53MDB 1C综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度。如图所示是护城河的一段，两岸 ABCD，河岸 AB 上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为 10 米.小明先用测角仪在河岸 CD 的 M处测得=36，然后沿河岸走 50 米到达 N 点，测得=72。请你根据这些数据帮小明他们算出河宽努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 4FR（结果保留两位有效数字）.（参考数据：sin 360.59，cos 360.81，tan360.73，sin 720.95，cos 720.31，tan723.08） 【答案】解：过点 F 作 FG EM 交 CD 于 G. A BC DE FM N R 则 MG EF20 米. FGN36.GFN FGN723636.FGNGFN，FNGN502030（米） .在 Rt FNR 中，FRFNsin30sin72300.9529（米）.【例 3】 中华人民共和国道路交通管理条例规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过 70 千米/时” 一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶（如图所示） ，在距离路边 25 米处有“车速检测仪 O”， 测得该车从北偏西 60的 A 点行驶到北偏西 30的 B 点，所用时间为 15 秒（1）试求该车从 A 点到 B 的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速（1）要求该车从 A 点到 B 点的速度只需求出 AB 的距离，在OAC中，OC=25 米OAC=90-60=30，OA=2CO=50 米由勾股定理得 CA= =25 （米）在OBC 中,BOC=30BC= OB.（2BC） 2=BC2+252BC= （米）AB=AC-BC=25 - = （米）从 A 到 B 的速度为 1.5= （米/秒）努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 5（2） 米/秒69.3 千米/时69.3 千米/时70 千米/时该车没有超过限速【点评】此题应用了直角三角形中 30角对的直角边是斜边的一半及勾股定理，也是几何与代数的综合应用如图，自来水厂 A 和村庄 B 在小河 l 的两侧，现要在 A，B 间铺设一条输水答道.为了搞好工程预算，需测算出 A，B 间的距离.一小船在点 P 处测得 A 在正北方向，B 位于南偏东 24.5 方向，前行 1200m,到达点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49 方向，B 位于南偏西 41 方向.（1）线段 BQ 与 PQ 是否相等？请说明理由；（2）求 A，B 间的距离.（参考数据：cos410.75）【答案】(1)B 位于 P 点南偏东 24.5 方向,BPQ=65.5,又B 位于 Q 点南偏西 41 方向, PQB=49, PBQ=65.5, PQ=BQ(等角对等边),(2)点 P 处测得 A 在正北方向 ,在 RtAPQ 中, ,AQ=1600,由(1)得 PQ=BQ=1200，cosPA在点 Q 处，测得 A 位于北偏西 49 方向，B 位于南偏西 41 方向，AQB=90，在 RtABQ 中，AB= （m）.2221600B【例 4】.（2011 山东德州 20,10 分）某兴趣小组用高为 1.2 米的仪器测量建筑物 CD 的高度如示意图，由距 CD 一定距离的 A 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 ，在 A 和 C 之间选一点 B，由 B 处用仪器观察建筑物顶部 D 的仰角为 测得 A， B 之间的距离为 4 米， ， ，试求建筑tan1.6tan1.2物 CD 的高度ACDBEF G努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 6ACDBEF G【答案】解：设建筑物 CD 与 EF 的延长线交于点 G， DG=x 米 1 分在 中, ，即 2 分RtDtanFtanF在 中， ，即 3 分tGEtEtxE ， tanxFtanx 5 分tEt 6 分41.26x解方程得： =19.2 8 分 19.20.4CDG答：建筑物高为 20.4 米 10 分（2011 江苏宿迁,23,10 分）如图，为了测量某建筑物 CD 的高度，先在地面上用测角仪自 A 处测得建筑物顶部的仰角是 30，然后在水平地面上 向建筑物前进了 100m，此时自 B 处测得建筑物顶部的仰角是 45已知测角仪的高度是 1.5m，请你计算出该建筑物的高度 （取 1.732，结果精确到31m） （第 23 题）EDCBA1.5 4530100【答案】解：设 CEx m，则由题意可知 BEx m，AE(x100)m努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 7在 RtAEC 中，tanCAE ，即 tan30AEC10x ，3x (x100)10x解得 x5050 136.6CDCEED(136.61.5)138.1138(m)答：该建筑物的高度约为 138m【例 5】 （2011 四川凉山州， 23，8 分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座 87m 长的水库大坝提出了以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图， ，坝高 10m，迎水坡面 的坡度 ，ADBCAB53i老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方案的基础上，将迎水坡面 的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 的坡度 。AE56i（1） 求原方案中此大坝迎水坡 的长（结果保留根号）B（2） 如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶沿 方向拓宽EC2.7m，求坝顶将会沿 方向加宽多少米？DABC ED23 题图【答案】解：过点 作 于 。 BFD在 中， ，且 。Rt 56i10BFm ， 6Am234过点 作 于 。EG在 中， ，且。t 5EiA10 ， 126BCFm如图，延长 至点 ， 至点 ，MDN连接 ，N方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变。S ABE梯 形 CMND。来源:1122GZxxk.Com即 4372124x 。BEMCNDABCMD G FEN努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 8。 62.73NDBEMCm答：坝底将会沿 方向加宽 。A.如图，某县为加固长 90 米，高 5 米，坝顶宽为 4 米，迎水坡和背水坡的坡度都是 1：1的横断面是梯形的防洪大坝要将大坝加高 1 米，背水坡坡度改为 1：1.5已知坝顶宽不变（1）求大坝横截面面积增加多少平方米？（2）要在规定时间内完成此项工程如果甲队单独做将拖延 10 天完成，乙队单独做将拖延 6 天完成现在甲队单独工作 2 天后，乙队加入一起工作，结果提前 4 天完成求原来规定多少天完成和每天完成的土方数？四、 巩固练习：（1）填空1、 （2011 浙江衢州，13,4 分）在一次夏令营活动中，小明同学从营地 出发，要到 地的北偏东 60A方向的 处，他先沿正东方向走了 200m 到达 地，再沿北偏东 30方向走，恰能到达目的地 (如图)，CBC那么，由此可知， 两地相距 m. B、（第 1 题）3060东ABC【答案】2002、如图，有两个长度相同的滑梯（即 BC=EF） ，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的长度 DF 相等，则ABC+DFE=_努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 9（2）选择3、 （2011 四川绵阳 10，3）周末，身高都为 1.6 米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度.如图，小芳站在 A 处测得她看塔顶的仰角 为 45，小丽站在 B 处测得她看塔顶的仰角 为 30.她们又测出 A、B 两点的距离为 30 米。假设她们的眼睛离头顶都为 10cm，则 可计算出塔高约为(结果精确到 0.01，参考数据： =1.414， =1.73)2 3A.36.21 米 B.37. 71 米 C.40 . 98 米 D.42.48 米【答案】D4、如图 28221，在ABC 中,C=90, 点 D 在 BC 上，CD=3 ，AD=BC,且 cosADC= ，则 BD53的长是( )图 28221A.4 B.3 C.2 D.1解析：求 BD 需求 BC,而 BC=AD,在 RtADC 中,已知一角一边 ,可求出 AD.在 Rt ADC 中，CD=3 ，且 cosADC= ，AD=5, BC=AD=5.BD=2.答 案：C53（3）解答题5、 （2011 内蒙古乌兰察布，16，4 分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯 A 射出的光线 AB,AC 与地面 MN 所夹的锐角分别为 和 ，大灯 A 与地面离地面的距离为 1m 则该车大灯照亮地面的宽度 BC810是 m .（不考虑其它因素）第 16 题图【答案】1.4努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 106、 （2011 江苏无锡，24，9 分）(本题满分 9 分)如图，一架飞机由 A 向 B 沿水平直线方向飞行，在航线AB 的正下方有两个山头 C、 D。飞机在 A 处时，测得山头 C、 D 在飞机前方，俯角分别为 60和 30。飞机飞行了 6 千米到 B 处时，往后测得山头 C 的俯角为 30，而山头 D 恰好在飞机的正下方。求山头 C、 D 之间的距离。A BCD【答案】解：在 Rt ABD 中， BAD = 30， BD = ABtan30 = 6 = 2 (2 分)33 3 BAC = 60， ABC = 30， ACB = 90， BC = ABcos30 = 6 = 3 32 3(4 分)过点 C 作 CE BD 于点 E，则 CBE = 60， CE = BCsin60 = (6 分)92 BE = BCcos60 = ，(7 分)3 32DE = BD BE = 2 = 33 32 32在 Rt CDE 中， CD = = = (km)CE2 + DE2 21答：山头 C、 D 之间的距离为 (km)(9 分)217、 （2010 四川眉山）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度 AB小刚在 D 处用高 1.5m的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为 30，然后向教学楼前进 40m 到达 E，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60求这幢教学楼的高度 AB40m6030GFEDC BA8、如图 282210，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别是 45和 60.求塔高与楼高.（精确到 0.01 米） （参考数据 =1.414 21， =1.732 05）23努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 11图 282210解：在 RtABD 中,BD=80 米，BDA=60，AB=BDtan60=803138.56（米）.RtAEC 中,EC=BD=80,ACE=45，AE=CE=80(米).CD=ABAE58.56（米）.答:塔高与楼高分别为 138.56 米、58.56 米.9、某校初三课外活动小组，在测量树高的一次活动中，如图 7 所示，测得树底部中心 A 到斜坡底 C 的水平距离为 8. 8m在阳光下某一时刻测得 1 米的标杆影长为 0.8m，树影落在斜坡上的部分 CD= 3.2m已知斜坡 CD 的坡比 i=1： ，求树高 AB。 （结果保留整数，参考数据： 1.7）3 3_D_C_B_Ai=1：3图 7_D_C_B_Ai=1：3_H _E【答案】解：如图，延长 BD 与 AC 的延长线交于点 E，过点 D 作 DH AE 于 HCD=3.2 DH=1.6 CH= 835 HE=1.2810.8DHE AB=16AB五、 拓展训练10、一幢房屋的侧面外壁的形状如图所示，它由等腰三角形 OCD 和矩形 ABCD 组成，OCD=25外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形 EFGH，测得 FG EH ，GH=2.6cm , FGB=65 （1）求证：GFOC；（2）求 EF 的长（结果精确到 0.1m） (参考数据：sin25=cos650.42，c os25=sin650.91)努力+勤奋+信心=成功 戴氏教育集团 12（第 2 题）65ODA BCEHFG M65ODA BCEHFGN【答案】解：（1）设 CD 与 FG 交于点 M，由 CDAB ，FGB=65 ，可得FGC=65 ，又OCD=25，于是在FGC 中，可得CFM=90，即 GFOC（2）过点 G 作 GNHE，则 GN=EF，在 RtGHN 中，sin EHG= ,即 GN=GH sin EHG=2.6 sin 65=2.60.91=2.3662.4cm.N六、反思总结当堂过手训练 （快练 5 分钟，稳准建奇功）1、如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m，B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_m.2、将一副三角尺如图所示叠放在一起，若 =14cm，则阴影部分的面积_cm 2AB答案： 493、梯形 ABCD中 AB CD， ADC+ BCD=90，以 AD、 AB、 BC为斜边向形外作等腰直角三角形，其面积分别是 S1、 S2、 S3 ，且 S1 +S3 =4S2，则 CD=（ ）A. 2.5AB B. 3AB C. 3.5AB D. 4AB答案：B4、 (2011 浙 江 省 杭 州 市 8 模 )如图 1，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四全等的直角三角形围成的，若 AC=6， BC=5，将四个直角三