理想白噪声和带限白噪声的产生与分析

理想白噪声和带限白噪声的产生与分析通信工程学院 010951 班01095085 冯程飞01095086 叶发达01095096 黄杰摘要 利用 Matlab 仿真分析产生的高斯白噪声和均匀白噪声通过低通滤波器和带通滤波器后的时域及频域波形，以便更好地理解白噪声。背景 在实际应用中，通信设备的各种电子器件、传输线、天线等都会产生噪声，伴随着信号的产生、传输和处理的全过程。噪声也是一种随机过程，而白噪声具有均匀功率谱密度，在数学处理上具有方便、简单的优点。电子设备中的起伏过程如电阻热噪声、散弹噪声等，在相当宽的频率范围内具有均匀的功率谱密度，可以当做白噪声处理，因而研究白噪声的特性显得非常重要。实验特点与原理 （1）随机信号的分析方法在信号系统中，把信号分为确知信号与随机信号两类。在工程技术中，一般用概率密度、均值、均方值、方差、自相关函数、频谱、功率谱密度等描述随机过程的统计特性。均值均值 Ex(t)( )表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔 T 内的幅值平均值表示： 10/)()(NtxE均值表达了信号变化的中心趋势，或称之为直流分量。 均方值均方值 Ex2(t)( )，或称为平均功率：Ntxtt/)()(1022均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。方差 定义： NtxEtNt /)(1022可以证明， = + 。其中： 描述了信号的波动量； 描述了信号2222的静态量。 自相关函数信号的相关性是指客观事物变化量之间的相依关系。对于平稳随机过程x(t)和 y(t)在两个不同时刻 t 和 t+ 的起伏值的关联程度，可以用相关函数表示。在离散情况下，信号 x(n)和 y(n)的相关函数定义为：,t=0,1，2,N-110Ntxy /)t(yx),t(R随机信号的自相关函数表示波形自身不同时刻的相似程度。与波形分析、频谱分析相比，它具有能够在强噪声干扰情况下准确地识别信号周期的特点。频谱信号频谱分析是采用傅立叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号 ，从)(fx另一个角度来了解信号的特征。时域信号x(t) 的傅氏变换为：-j2ft()()xfxted功率谱密度随机信号的功率谱密度是随机信号的各个样本在单位频带内的频谱分量消耗在一欧姆电阻上的平均功率的统计均值，是从频域描述随机信号的平均统计参量，表示x(t)的平均功率在频域上的分布。它只反映随机信号的振幅信息，而没有反映相位信息。随机过程的功率谱密度为：2|)(|lim)(TXExGiT（2）白噪声理想白噪声均值为零而功率谱密度为非零常数，即 012NS， 的平稳随机过程 称为白噪声。t利用维纳辛钦公式，不难得到白噪声的自相关函数为 12jNNRSed04jed012N若一个具有零均值的平稳随机过程 ，其功率谱密度在某一个有限Xt频率范围内均匀分布，而在此范围外为零，则称这个过程为带限白噪声。带限白噪声又可分为低通型的和带通型的。低通型带限白噪声的功率谱密度满足 0, XSW自相关函数为 12jXXRSed012WjSed0sinSW带通型带限白噪声的功率谱密度满足 00,XS其 它自相关函数为00sin2cosXWSR（3）Matlab相关函数rand(m,n) 产生m行n列的均匀分布randn(m,n) 产生m行n列的高斯分布c,lags =xcorr(x,maxlags,option) 自相关函数，option选择unbiased无偏估计，时域区间-maxlags:maxlags ，序列长度2*maxlags+1Pxx,f = periodogram(x,window,nfft,fs) 功率谱密度，偶数点时，Pxx长度(nfft/2 + 1)，w范围0,pif,xi = ksdensity(x) 一维概率密度fft(X) 傅里叶变换n,Wn = buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,s) 巴特沃斯滤波器，Wp为通带边界频率,Ws为阻带边界频率,Rp通带最大衰减,Rs为阻带最小衰减，n为阶数，Wn为归一化频率z,p,k = buttap(n) 巴特沃斯模拟低通滤波器模型h,w = freqz(hd,n) 离散时域滤波器的频率响应，h、w长度为n，w范围0,pifilter(b,a,X) 滤波器b,a=ellip(n, Rp, Rs, Wn，option) 椭圆滤波器实验设计与实现（1）用 Matlab 编写和仿真程序。系统框图如图所示： 低通带通x ( t )y 1 ( t )y 2 ( t )（2）输入信号 x(t)：x(t)分别为高斯白噪声信号和均匀白噪声信号，测试白噪声的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度并绘图，分析实验结果。（3）设计一个低通滤波器和一个带通滤波器。要求低通滤波器的通带为 0KHz-2KHz、通带衰减小于 1db、阻带衰减大于 35db。带通滤波器的通带为 10KHz-20KHz、通带衰减小于 1db、阻带衰减大于35db。（4）分别计算高斯白噪声、均匀白噪声经低通滤波、带通滤波器后的均值、均方值、方差、概率密度、自相关函数、频谱及功率谱密度，并加以分析。（5） 所有结果均用图示法来表示。仿真程序：h1.m%高斯白噪声通过低通滤波器Fs=10000;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%产生高斯白噪声 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title(高斯白噪声波形) xlabel(t) x_mean=mean(x) %均值 figure(2)plot（t,x_mean）grid onx_std=std(x) ; %标准差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 figure(3)plot（t,x_mean）grid on%计算高斯白噪声的相关函数 x_c,lags=xcorr(x,200,unbiased);%相关函数 figure(2) plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形 title(白噪声的自相关函数) grid on % 利用periodogram函数计算功率谱 nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title(白噪声的功率谱) Xlabel(Frequency/Hz) %求高斯白噪声的一维概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%画出高斯白噪声的一维概率密度 grid on title(白噪声的一维概率密度) %求高斯白噪声的频谱 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%对高斯白噪声进行傅里叶变换 mag=abs(X); %取信号X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%画出白噪声的频谱 grid on title(白噪声频谱); xlabel(Frequency/Hz); % 利用双极性Z变换设计0-2kHz低通滤波器 fp=2000;fs=2200; rp=0.5;rs=50; wp=2*pi*fp/Fs; ws=2*pi*fs/Fs; wap=tan(wp/2); was=tan(ws/2); Fs=1; N,Wn=buttord(wap,was,rp,rs,s);%估计所需滤波器的阶数 z,p,k=buttap(N); bp,ap=zp2tf(z,p,k); bs,as=lp2lp(bp,ap,wap); bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2); H,w=freqz(bz,az,512,Fs*10000);%计算数字滤波器的频率响应 figure(6) plot(w,abs(H);%低通滤波器的频谱 title(0-2kHz的低通滤波器的频谱) xlabel(Frequency/Hz) ylabel(Mag of frequency response) grid on %白噪声通过滤波器以及通过后y相关参数 y=filter(bz,az,x);%白噪声通过滤波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %标准差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度 grid on title(y的一维概率密度函数图像); y_c,lags1=xcorr(y,200,unbiased);%计算y的相关函数 figure(8) plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形 axis(-50,50, -0.1,0.5 ); title(y的自相关函数) grid on %计算y的频谱 Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2);%画出y的频谱 grid on title(白噪声通过低通滤波器的频谱); xlabel(Frequency/Hz); %y的功率谱 nfft=1024;Fs=10000; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title(白噪声通过低通滤波器后的功率谱) xlabel(Frequency/Hz) 仿真波形：0 200 400 600 800 1000 1200-4-3-2-101234 一一一一一一一t-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-0.200.20.40.60.811.2 一一一一一一一一一-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 400.050.10.150.20.250.30.350.40.45 一一一一一一一一一一0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500001234567x 10-6 一一一一一一一Frequency/Hz0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 50000102030405060708090 一一一一一Frequency/Hz0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500000.20.40.60.811.21.4 0-2kHz一一一一一一一一一Frequency/HzMag of frequency response-3 -2 -1 0 1 2 300.10.20.30.40.50.60.7 y一一一一一一一一一一一-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.100.10.20.30.4y一一一一一一0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000010203040506070 一一一一一一一一一一一一一Frequency/Hz0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 500000.511.522.533.54x 10-6 一一一一一一一一一一一一一一一Frequency/Hzh2.m%高斯白噪声通过带通滤波器Fs=100000;Ns=1024; x=randn(Ns,1);%产生白噪声 t=0:Ns-1; figure(1) plot(t,x); grid on title(高斯白噪声波形) xlabel(t) x_mean=mean(x) %均值 x_std=std(x) ; %标准差 x_var=x_std.2 %方差 x_msv=x_var+x_mean.2 %均方值 %计算高斯白噪声的相关函数% x_c,lags=xcorr(x,200,unbiased);%相关函数 figure(2) plot(lags,x_c);%画出相关函数的图形 title(白噪声的自相关函数) grid on % 利用periodogram函数计算功率谱% nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); k=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(x_c); Pxx,f=periodogram(x_c,window,nfft,Fs); x_Px=Pxx(index+1); figure(3) plot(k,x_Px); grid on title(白噪声的功率谱) Xlabel(Frequency/Hz) %求白噪声的一维概率密度 x_pdf,x1=ksdensity(x); figure(4) plot(x1,x_pdf);%画出白噪声的一维概率密度 grid on title(白噪声的一维概率密度) %求高斯白噪声的频谱 f=(0:Ns-1)/Ns*Fs; X=fft(x);%对白噪声进行傅里叶变换 mag=abs(X); %取信号X的幅度 figure(5) plot(f(1:Ns/2),mag(1:Ns/2);%画出白噪声的频谱 grid on title(白噪声频谱); xlabel(Frequency/Hz); %产生一个十阶IIR带通滤波器 %通带为10KHz-20KHz，并得到其幅频响应 Fs=100000 b,a=ellip(10,0.5,50,10000,20000*2/Fs); H,w=freqz(b,a,512); figure(6) plot(w*Fs/(2*pi),abs(H); title(带通滤波幅频响应); set(gcf,color,white) xlabel(Frequency Hz); ylabel(Mag of frequency response); grid on %白噪声通过带通滤波器以及通过后y相关参数 y=filter(b,a,x);%白噪声通过带通滤波器 y_mean=mean(y) %y的均值 y_std=std(y); %标准差 y_var=y_std.2 %方差 y_msv=y_var+y_mean.2 y_pdf,y1=ksdensity(y); figure(7) plot(y1,y_pdf);%y的一维概率密度 grid on title(y的一维概率密度函数图像); y_c,lags1=xcorr(y,200,unbiased);%计算y的相关函数 figure(8) plot(lags1,y_c);%画出y的相关函数的图形 title(y的自相关函数) grid on %计算y的频谱 Y=fft(y);%对y进行傅里叶变换 magY=abs(Y); figure(9) plot(f(1:Ns/2),magY(1:Ns/2);%画出y的频谱 grid on title(白噪声通过带通滤波器的频谱); xlabel(Frequency/Hz); %y的功率谱 nfft=1024; index=0:round(nfft/2-1); ky=index.*Fs./nfft; window=boxcar(length(y_c); Pyy,fy=periodogram(y_c,window,nfft,Fs); y_Py=Pyy(index+1); figure(10) plot(ky,y_Py); grid on title(白噪声通过带通滤波器后的功率谱) Xlabel(Frequency/Hz)仿真波形：0 200 400 600 800 1000 1200-4-3-2-101234 一一一一一一一t-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200-0.200.20.40.60.811.2 一一一一一一一一一0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 1040123456789x 10-7 一一一一一一一Frequency/Hz-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.050.10.150.20.250.30.350.4 一一一一一一一一一一0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x 1040102030405060708090 一一一一一Frequency/Hz0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5