第6-3课时线性规划

1第 6-3 课时 线性规划1二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式 AxByC0 在平面直角坐标系中表示直线 AxByC 0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面) 不含边界线，不等式 AxByC0 所表示的平面区域(半平面) 包括边界线 对于直线 AxByC0 同一侧的所有点(x、y)使得 AxBy C 的值符号相同因此，如果直线 AxByC0 一侧的点使 AxByC0，另一侧的点就使 AxByC0(或 AxBy C0) 所表示的平面区域时，只要在直线AxByC 0 的一侧任意取一点 (x0，y 0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域 由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分2线性规划 基本概念名 称 意 义线性约束条件 由 x、y 的一次不等式(或方程 )组成的不等式组,是对 x、y 的约束条件目标函数 关于 x、y 的解析式如：z2xy，zx 2y 2 等线性目标函数 关于 x、y 的一次解析式可行解 满足线性约束条件 x、y 的解（x，y）叫做可行解可行域 所有可行解组成的集合叫做可行域最优解 使目标函数达到最大值或最小值的可行解线性规划问题 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 用图解法解决线性规划问题的一般步骤： 设出所求的未知数； 列出约束条件(即不等式组) ； 建立目标函数； 作出可行域和目标函数的等值线； 运用图解法即平行移动目标函数等值线，求出最优解 （有些实际问题应注意其整解性）例 1. 若ABC 的三个顶点为 A(3，1)，B(1，1)，C(1，3)，写出ABC 区域（含边界）表示的二元一次不等式组解：由两点式得 AB、BC、CA 直线的方程并化简得AB：x2y10，BC：xy20，CA：2xy5 0结合区域图易得不等式组为 0521yx变式训练 1： ABC 的三个顶点为 A(2，4)、B(1，2)、C(1，0)，则ABC 的内部(含边界)可用二元一次不等式组表示为 014832yx典型例题基础过关2例 2. 已知 x、y 满足约束条件 0147235yx分别求： z2xy z4x3y zx 2+y2 的最大值、最小值？解：在直角坐标系中作出表示不等式组的公共区域如图阴影部分其中 A(4，1) ，B(1，6)，C(3，2)(1) 作与直线 2xy0 平行的直线 l1：2xyt ，则当 l1 经过点 A 时，t 取最大，l 1 经过点B 时，t 取最小z max 9 zmin13(2) 作与直线 4x3y0 平行的直线 l2：4x3yt ，则当 l2 过点 C 时，t 最小，l 2 过点 B 时，t 最大z max 14 zmin18(3) 由 zx 2y 2，则 表示点(x，y) 到(0，0) 的距离，结合不等式组表示的区域知点 B到原点的距离最大，当(x，y)为原点时距离为 0z max37 zmin0变式训练 2：给出平面区域如下图所示，目标函数 tax y，(1) 若在区域上有无穷多个点(x ，y)可使目标函数 t 取得最小值，求此时 a 的值(2) 若当且仅当 x 3，y 54时，目标函数 t 取得最小值，求实数 a 的取值范围？解：(1)由 tax y 得 y axt要使 t 取得最小时的(x，y)有无穷多个，则 yaxt 与 AC 重合ak AC 132054(2)由 KAC a KBC 得 52 a 103.例 3. 某木器厂生产圆桌子和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种 72 立方米，第二种有56 立方米，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一张圆桌需用第一种木料 0.18 立方米，第二种木料 0.08 立方米，可获利润 6 元，生产一个衣柜需用第一种木料 0.09 立方米，第二种 0.28 立方米，可获利 10 元，木器厂在现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多少才能使所获利润最多？解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为 x、y，所获利润为 z，则：05628791yxy即 014728yx则 z6x10y 作出可行域如图ACyxBxy(0,800)M(350,100)(0,200)Ox0 A(1,0)C( , )3254B(0,1)y3由 140728yx 得 35即 M(350，100)由图可知，当直线 l：6x10y 0 平移到经过点 M(350，100)时，z6x10y 最大，即当x350，y100 时， ，z6x10y 最大变式训练 3：某厂要生产甲种产品 45 个，乙种产品 55 个，可用原料为 A、B 两种规格的金属板，每张面积分别为 2m2 和 3m2，用 A 种可造甲种产品 3 个和乙种产品 5 个，用 B 种可造甲、乙两种产品各 6 个问 A、B 两种产品各取多少块可保证完成任务，且使总的用料(面积) 最小解：设 A 种取 x 块，B 种取 y 块，总用料为 z m2，则5643yxz2x3y (x、yN)可行域如图：最优解为 A(5， 5)，x5，y 5 时，z min25，即 A、B 两种各取 5 块时可保证完成任务，且总的用料(面积)最省为 25m2例 4. 预算用 2000 元购买单价为 50 元桌子和 20 元的椅子，希望桌子的总数尽可能的多，但解：椅子的总数不能少于桌子的总数，但不多于桌子数的 1.5 倍，问桌椅各买多少才合适？设桌椅分别买 x、y 张，由题意得：205.10yxx由 205yx解得： 720y 点 A( 720， )由 205.1yx 解得 275yx 点 B(25， 75)满足以上不等式组表示的区域是以 A、B、O 为顶点的AOB 及内部设 xyz ，即yxz；当直线过点 B 时，即 x25，y 275，z 最大 yz，y37买桌子 25 张，椅子 37 张是最优选择变式训练 4：A 1、A 2 两煤矿分别有煤 8 万吨和 18 万吨，需通过外运能力分别为 20 万吨和16 万吨的 B1、B 2 两车站外运，用汽车将煤运到车站，A 1 的煤运到 B1、B 2 的运费分别为 3元/吨和 5 元/吨，A 2 的煤运到 B1、B 2 的运费分别为 7 元/吨和 8 元/吨，问如何设计调运方案可使总运费最少？A xylO 5 154解：设 A1 运到 B1 x 万吨，A 2 运到 B1 y 万吨，总运费为 z 万元，则 A1 运到 B2(8x) 万吨，A2 运到 B2(18y)万吨，z 3x 5(8x)7y8(18 y) 1842xy，x、y 满足1806)()yx可行域如图阴影部分当 x8 时，y12 时，z min156即 A1 的 8 万吨煤全运到 B1，A 2 运到 12 万吨运到 B1，剩余 6 万吨运到 B2，这时总运费最少为 156 万元1二元一次不等式或不等式组表示的平面区域： 直线确定边界； 特殊点确定区域2线性规划实际上是“数形结合”的数学思想的体现，是一种求最值的方法3把实际问题抽象转化为数学问题是本节的重难点，求解关键是