第四章向量组的线性相关性山东建筑大学

班级 姓名 学号1山东建筑大学第四章 向量组的线性相关性1设 , 求 及 .TTTvvv )04,3(,)1,0(,)1,(2 21v321v解 2,T),0(31v TTT )(),()(T)123,4123,021 T),(2. 设 其中 , ,(5)(3321 aa T)5,(1Ta)05,(2,求 .Ta,4解 由 整理得)()()(321536a )1,4(5)10,(2,156TTTT)4,(3设 ,证明向量组12233441,线性相关.234,证明 设有 使得4321,x则2340x1233441()()()()0x班级 姓名 学号214122334()()()()0xxxx(1) 若 线性相关,则存在不全为零的数 ,23, 21,k; ; ; ;41xk212xk323xk434x由 不全为零,知 不全为零,即 线性相关.321, 4, 12,(2) 若 线性无关, 则 4321,a04321x014321x由 知此齐次方程存在非零解. 则 线性相关.011234,综合得证.4. 设 ,且向量组 线性无关,证121212,r r ra,21明向量组 线性无关.r证明 设 则021rbkbk 122()()()rrprpk 0rk因向量组 线性无关,故2,r021rrkk 01021 rk班级 姓名 学号3因为 故方程组只有零解.0101 则 . 21rkk所以 线性无关,r5. 设向量组 线性无关，向量 可由向量组 线性表示，而向量:Am,21 1A不能由向量组 线性表示.证明: 个向量 必线性无2 212,lm关.证明 ., ,21,001, 10,.,2112 21121不不不不不 lmikkAklkl llkkmiii mm 6. 当 为何值时，向量组 ， ，T)1,023(1T)1,42(2线性相关.T)0,3(解 由 063210432101423),(321 TA所以当 时， ，所以 .6)(R67. CCBC班级 姓名 学号48. (1).线性相关；(2). ；(3).线性相关；(4).线性无关。02ba9. 求下列向量组的秩，并求一个最大无关组： .8,24,41,9,41,2 321 TTT 解 线性相关.33a由 824109321T 03219秩为 2,一组最大线性无关组为 .1,a10. 利用初等变换求矩阵 的列向量组的一个最大无关组，并把不48203597属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解 482035197132r5307234r031470215所以第 1、2、3 列构成一个最大无关组， 。321458aa11. 已知向量组 ， ， 与向量组T)1,0(1T),2(Tb)0,(3， ， 具有相同的秩，且 可由向量组T)3,2(1276933线性表示，求 的值.ba,班级 姓名 学号5解 因为 线性无关，而 ，所以 线性相关，且向量组21, 213321,的秩为 2，所以向量组 的秩也为 2.由于 可由 线性表示，321, 3, 321,故 可由 线性表示，即 线性相关.21, 21,于是有 ，解得 ，另外 ，解得 .01baba3013b5故 ， .512. DC13. 由 所生成的向量空间记作 TTaa,0, ,0,21 1V，由 所生成的向量空间bb 13,2记作 ，试证: .V21V证明 设 , Rkakx1,RxV1212,任取 中一向量,可写成 ,1要证 ,从而得2Vk21由 得121a12121223kk上式中,把 看成已知数,把 看成未知数11,有唯一解01D21,21V班级 姓名 学号6同理可证: ( ) 故12V02D21V14. 验证 为TTT 2,13,21的一个基，并把 ， 用这个基表示.3Rv705v89解 由于 6231,321 a即矩阵 的秩为 3. 故 线性无关，则为 的一个基.),(21 321,a3R设 ，则3akakv720531k132k故 1av设 ，则322189321231k故线性表示为 32av15. 求下面齐次线性方程组的基础解系与通解.026835414321xx班级 姓名 学号7解 (1) 04131268354210初 等 行 变 换A所以原方程组等价于 4321xx取 得 ; 取 得 .3,143x0,21 4,03x1,021x因此基础解系为 ，通解为 。4,3021 40321432cx16. 设 ，求一个 矩阵 ，使 ，且 .8259ABA)(BR解 由于 ,所以可设 . 则由)(BR43210xB可得, , 解00825931421xAB 5928023141x此非齐次线性方程组可得唯一解 ， 故所求矩阵 2151432x 2150B17. 设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为 3，已知 是它的三个解321,班级 姓名 学号8向量，且 ， ，求该方程组的通解。543214321解 由于矩阵的秩为 3， ，一维故其对应的齐次线性方程组的基础1rn解系含有一个向量，且由于 均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的32,结构性质得 齐 次 解齐 次 解齐 次 解 654)()()(22121321 为其基础解系向量，故此方程组的通解： ，54326kx)(Rk18求下列非齐次方程组的通解.624135431xx解: 002179612435初 等 行 变 换B通解为201,79,01班级 姓名 学号920179021432 cx19. DBCAD第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把向量组 正交化.01,321解：根据施密特正交化方法:令 ， , 101ab123,122bab，4351,23133baba故正交化后得 5431230),(321b2. 判断下列矩阵是不是正交阵，并说明理由:班级 姓名 学号10(1) (2);1231.97418解： (1) 第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵(2) 该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵班级 姓名 学号113. 设 为 n 维列向量, , 令 , 求证 : H 是对称的正交阵.x1xTTxEH2证明 因为HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)TE2(xT)TxTE2xxT 所以 H 是对称矩阵 因为HTHHH(E2xxT)(E2xxT)E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)E4xxT4x(xTx)xTE4xxT4xxTE 所以 H 是正交矩阵4. 设 与 都是 阶正交矩阵, 证明：ABn（1） 也是正交阵；T,*1（2） 也是正交阵.证明（1）因为 是 阶正交阵，故 ， nAT1所以 EATT11故 也是正交阵1 AATTT )()()( 1111*正交. ETT)(A正交.（2） 因为 是 阶正交阵，故 ，B,nAT1BT1EBTT)(故 也是正交阵A5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1) (2) .;4216312并问它们的特征向量是否两两正交?班级 姓名 学号12解：(1) . )3(2421EA故 的特征值为 3,1当 时,解方程 ,由210)(x, 得基础解系)(EA 1P所以 是对应于 的全部特征值向量01kP21当 时,解方程 ,由320)3(xEA, 得基础解系1)(EA 12P所以 是对应于 的全部特征向量0(2kP3 ,故 不正交021),(,2121 T 21(2) .)9(63EA故 的特征值为 9,1,021 当 时，解方程 ，由1Ax, 得基础解系013632A 1P故 是对应于 的全部特征值向量.)(1kP1当 时,解方程 ，由2)(xEA, 得基础解系013273EA 012P故 是对应于 的全部特征值向量)0(2kP2班级 姓名 学号13当 时，解方程 ，由930)9(xEA, 得基础解系021382EA 123P故 是对应于 的全部特征值向量)0(3kP93 ， ，01),(,2121 T 012),(,3232 PT， 所以 两两正交012),(,3131 PT 321,P6 设 为 阶矩阵 证明 与 的特征值相同 AnTA证明: 因为| ATE|(AE)T|AE|T|AE|所以 AT与 A 的特征多项式相同 从而 AT与 A 的特征值相同 7 设 , 证明 的特征值只能取 1 或 2. 0232证明: 设 是 A 的任意一个特征值 x 是 A 的对应于 的特征向量 则(A23A2E)x2x3x2x(232)x0 因为 x0 所以 2320 即 是方程 2320 的根 也就是说 1 或 28设 是 阶矩阵 的特征值 证明 也是 阶矩阵 的特征值 mmnBnBA证明: 设 x 是 AB 的对应于 0 的特征向量 则有(AB)xx 于是 B(AB)xB(x) 或 BA(B x)(Bx) 从而 是 BA 的特征值 且 Bx 是 BA 的对应于 的特征向量 9 已知 3 阶矩阵 的特征值为 1 2 3 求 AA752解: 令 ()3527 则 (1)3 (2)2 (3)3 是 (A)的特征值 故|A35A27A|(A)|(1)(2)(3)32318 班级 姓名 学号1410. 设方阵 与 相似, 求 x , y.124xA45y解 方阵 与 相似，则 与 的特征多项式相同，即E124x405y54yx11. 设 A 与 B 都是 n 阶方阵, 且 ,证明 AB 与 BA 相似.0A证明: 则 可逆0则 与 相似B)()(1112. 设矩阵 可相似对角化 求 .50432xAx解 由)6(1504132| 2xE得 A 的特征值为 16 231 因为 A 可相似对角化 所以对于 231 齐次线性方程组( AE)x0 有两个线性无关的解 因此 R(AE)1 由 03140)(xr知当 x3 时 R(AE)1 即 x3 为所求 13. 设 3 阶方阵 A 的特征值为 ;对应的特征向量依次为1,132求 A.,12,31 pp解：因为 ，101AP班级 姓名 学号15又 ，213P2131P所以 ， .1A09 21021314. 已知 是矩阵 的一个特征向量， 试求参数 及Tp),(1352baAba,特征向量 所对应的特征值.解： 设 是特征向量 p 所对应的特征值 则(AE)p0 即 012135ba解之得 1 a3 b0 15. 设 3 阶实对称阵 A 的特征值为 6,3,3, 与特征值 6 对应的特征向量为，求 A.Tp,1解： 设 . 由 ， 知 6534231x16A6534231x3 是 的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知 的秩为 1，A E故利用 可推出 秩为 1.3365342653421xxx则存在实的 使得 成立ba,),()1,(65342ba由解得 1432xxx得 1A16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:班级 姓名 学号16(1) ; 021解： 210EA )2(4)1(故得特征值为 4,31当 时，由 . 21020431x解得 . 单位特征向量可取:1321kx 321P当 时,由 . 12012032x解得 . 单位特征向量可取: 231kx 321P当 时,由 . 解得 单位特征向量可取: 4304203321x1321kx, 得正交阵 . .312P 21),(321P40121AP(2) 542解： ，42EA )10()2故得特征值为 10,321班级 姓名 学号17当 时，由 . 解得 121042321x 102132kx此二个向量正交,单位化后,得两个单位正交的特征向量; ， 单位化得 0151P 150512P 154232P当 时,由 . 解得 . 单位化得35428321x2132kx.得正交阵 . 213P),(321P3250145101AP17. 设 求340A.10A解 由 )5()(21| E得 A 的特征值为 11 25 35 对于 11 解方程( AE)x0 得特征向量 p1(1 0 0)T 对于 15 解方程( A5E)x0 得特征向量 p2(2 1 2)T 对于 15 解方程( A5E)x0 得特征向量 p3(1 2 1)T 令 P(p1 p2 p3) 则P1APdiag(1 5 5) APP1 A100P100P1 因为100diag(1 5100 5100) 120512011所以班级 姓名 学号18120551205110A 101518. 用矩阵记号表示下列二次型:(1) ;yzxzyxf 4242 解： zzf1),(2) .423241312124321 6xxxxf 解： 4324321 10),( xf19. 求一个正交矩阵化下列二次型成标准形:(1) ;323214xf解：二次型的矩阵为 , 0A32EA )1(5)2(故 的特征值为 ,1当 时, 解方程 ，10)(xEA由 . 得基础解系 . 取 1220EA 0101P当 时，解方程 ，520)5(xEA班级 姓名 学号19由 ，得基础解系 . 取 012035EA 102202P当 时，解方程 ，13)(xEA由 得基础解系 . 取 ，0120EA 1032103P于是正交变换为. 且有 3213210yx 23215yf(2) .43241212421 xxf 解：二次型矩阵为 10A，101EA 2)1(3)(故 的特征值为 ,3,42当 时，可得单位特征向量 ，1212P当 时，可得单位特征向量 ，32212P班级 姓名 学号20当 时，可得单位特征向量 ， 1430213P2104于是正交变换为 43214321021yx且有 42321yyf20. 证明:二次型 在 时的最大值为方阵 A 的最大特征值.AxfT1证明 为实对称矩阵，则有一正交矩阵 ，使得T成立BTn21其中 为 的特征值，不妨设 最大，n,21 A1为正交矩阵，则 且 ，故TT1 TBA则 其中xfByx221nyy Txy当 时，即 即y 12 122n 故得证1221)(ynyf 最 大最 大 21.用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵：(1) ；3231231321),( xxx解 f(x1 x2 x3)x122x322x1x32x2x3(x1x3)2x322x2x3(x1x3)2x22(x2x3)2 令 即 323y3231y二次型化为规范形 fy12y22y32班级 姓名 学号21所用的变换矩阵为 10C(2) .3212321321 4),( xxxf 解 f(x1 x2 x3)2x12x224x322x1x22x2x3 23221)()(令 即 322)(xy3231yxy二次型化为规范形 fy12y22y32所用的变换矩阵为 10C22.判别下列二次型的正定性:(1) ;3121232146xxf 解： , 0A， ， ， 故 为负定21a0160384612f(2) .43241312124321 169 xxxxf 解： ， ， , ,1963102A01a00692 故 为正定4f23.设 U 为可逆矩阵, , 证明 为正定二次型.UATAxfT班级 姓名 学号22证明：因为 所以 A 对称. 对于 由于 U 为可逆矩阵，有TTUA, ,0x否则，若 则必有 矛盾. .0Ux,0x所以当 ,TfxT.所以 为正定二次型。ATf24.设对称阵 A 为正定阵, 证明存在可逆矩阵 U, 使 .AT证明： 正定，则矩阵 满秩，且其特征值全为正不妨设 为其特征值，n,1 nii ,10存在一正交矩阵 P使 nTA21 nn 2121又因 为正交矩阵，则 可逆， PPT1所以 令 ， 可逆,则)(QATQUUAT25. 试证:（1）A 正定,则 与 也正定 ;1*（2）A 与 B 均为 n 阶正定阵 , 则 A+B 为正定阵.证明：（1） 使正 交 阵为 正 定 阵 ,，),21(,0,21 niQinT 121nTTA-1-1-）（）（则 TQ-1又班级 姓名 学号23，),21(,0,112 niQAinT - 正 定 .故 -1A,1* 0）正 定A(.*也 正 定，也 正 定 ， 因正 定 时当 A此，（2） 0,对 任 意 列 向 量均 为 正 定 阵 ， B 0 ,BATT ,)( BATT而 .是 正 定 二 次 型所 以 是 正 定 的故 BA 26. 选择题：（1）设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有一个特征值等于（ b ）12)3(A(a) (b) (c) (d) 34214（2）设 A 为 n 阶可逆阵， 为 A 的一个特征值，则 A 的伴随阵 的一个特征值是（ b ）*(a) (b) (c) (d) 111n（3）设 A 为 n 阶可逆阵，且 （k 为正整数）, 则（ c ）0(a) A=0 （b）A 有一个不为零的特征值(c) A 的特征值全为零 （d）A 有 n 个线性无关的特征向量（4）设 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程