第五章 §1 多元函数及其极限与连续

131第五章 多元函数微分学1 多元函数及其极限与连续【考试要求】1. 理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.2. 了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质.一、基本概念1321. 二元函数的定义设 是 平面上的一个非空点集,如果对于 中的任意一点DxOy D,按照一定的法则 ,变量 总有惟一的值与之对应,则称变(,)Pfz量 是变量 和 的二元函数(或点 的函数),记为 ,其中 ,z P()zfxy称为自变量, 称为因变量, 称为该函数的定义域,数集yz称为该函数的值域.|(,)fxy类似地,可以定义 元函数 .n1212(,),(,) nnyfxxD当 时, 元函数统称为多元函数.2n2. 二元函数的极限设函数 在点 的附近有定义(点 可以除外).(,)zfxy0,)Py0P133若对于任意给定的数 ,总存在正数 ,使得当0时,有 ,则称数 为函数220()()xy|()|fxyA当点 趋向于点 时的极限,记为,zf,P0P或 .0(,),)lim(xyA0lim(,)xyf注 1 称 为点2200,()()。 yxyU的去心 邻域.在几何上 表示以 为中心，0(,)Py0。P,半径为 的去心开圆.注 2 二元函数的极限要求当点 以任何方式趋于点(,)xy134时,均有 .0()Pxy0(,),)lim(,xyfyA注 3 若 沿着某条路经趋于 时,)Px0()Pxy不存在,或 沿着两条不同的路径趋于0(,),)li(xyf(,时, 都存在但不相等,则 不P0(,),)lixyfy0(,),)lim(,xyf存在,这是证明二元函数极限不存在的常用方法.3. 二元函数的连续设函数 在点 的某邻域内有定义,若(,)zfy0()Pxy,则称函数000limli xxyy f在点 处连续.(,)zf(,)y135注 1 等价定义: 若函数 满足 在 的某邻(,)zfxy0(,)Pxy域内有定义； 存在； ,则0(,),)lim(,xyf0 0(,),)limxyff称 在点 处连续.(,zfP注 2 连续函数: 若函数 在平面区域 上每一点都连,zfD续, 则称 在 上连续.(,)fyD注 3 多元初等函数在其定义区域内连续.4. 二元函数的几何意义: 在几何上表(,)(,)zfxy示空间直角坐标系下的一张曲面,该曲面在 坐标面上的投影区域O就是其定义域 .二元连续函数表示一张无洞、无缝、无眼的曲面.二、重要结论1361. 定理 1(有界性):若函数 在有界闭区域 上连续,则(,)fxyD在 上有界.(,)fxyD2. 定理 2(最值性):若函数 在有界闭区域 上连续, 则(,)f在 上必取得最大值和最小值.(,)f3. 定理 3(介值性): 若函数 在有界闭区域 上连续, 则(,)fxy在 上必能取得介于最小值与最大值之间的任何值.(,)fxy三、典型例题题型 1 确定函数的表达式,求函数的定义域例 1 设 ,求 .2(,)yfx(,)fxy137解 令 ，则 ，,yxuv,1uvxy代入原式得 ， 故221,f 21, .yfx例 2 求 的定义域,并画出定义域的图形.24(,)ln()xyf解 222400,1,1.xyxy题型 2 求二元函数的极限138例 1 求下列各函数的极限:(1) ；20limxy解 原式 .2210,xyy注 利用“夹逼准则”求极限.(2) ；2123ln()imcosxyxye解 是一元函数 的定义区域内的,223ln(),cosxyefxy139一点，原式 .321,ln4fe注 利用多元函数的连续性求极限. (3) ；2230silim()xyxy解 令 ，2t则原式 .2320001sin1coslllim36t t t注 1 利用变量代换，无穷小等价代换求极限.注 2 多元函数的不定式一般不能直接使用洛必达法则求极限. 140(4) ； 22limxyy解 令 则当 时 ,cos,in,xy原式 因为当 时, 而i4li.1s210,2sin4,112所以 原式 0.141注 利用“无穷小乘以有界函数仍是无穷小”的性质求极限.(5) ；2201cos()limxyxye解 当 时，0,xy，2220cs()(),1:xye原式 。22001lilim()xxyy注 利用无穷小等价代换，有极限的部分先求出来. (6) .220lim()sinxy142解 ，而 为有界函数， 原式 .20lim()xy2sinxy0例 2 设 ,1i(,),0arctyf yxx求 (1) ； (2) .li(,)ygf0lim()g解 （1）sin11()limarctn.1arctny xxygxx 143（2） 2 2200 0arctnarctnlimli limxx xxg .22001lili1xx 例 3 设(1) ；(2) , (,)sinifyy2(,)xyf分别讨论下列极限:, 及 .0lim()yxf0lim(,)xyf0li(,)xyf解 （1） 与 均01lisiniyx01lisinixyyx144不存在.（无穷小乘以有界函数仍是无穷小）.01limsni0xyyx（2） .220 0li limyxxy, 21,5yxyx不存在.20limy注 1 一般地，14500 00lim,li,lim,li,.xyxxxyy yffff注 2 二重极限与二次极限之间没有必然的联系.题型 3 证明极限 不存在.0li(,)xyf例 1 证明极限22 20lim()xyxy不存在.证明 当 沿 轴 趋于 时，原式 ；当 沿(,)x0y0, 0(,)xy146直线 趋于 时，原式 , 原极限不存在.yx0,401limxy例 2 讨论极限 是否存在.2420limxyxy解 ,22 44242420 0limlim1x xykx kxky 极限值随 的不同而不同，故原极限不存在.题型 4 讨论函数的连续性例 讨论下列各函数的连续性:147(1) 2200,()(,)(,),()(,);xyxyfxyy(2)20,(),().xyf 解 (1) ,其值随着2222 22222 20 0 1limlimx xykykxk的不同而不同，k148极限 不存在， 函数 在 不连续，但在其22220limxyky,fxy0,他点均连续.(2)令 ， , cos,sinxryr 22sin40,rrfxy而当 时， ，从而 ，由夹逼准则可知