第06章-交流电机的数学模型及参数关系

电力电子与交流传动系统仿真第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 16.1 三相异步电动机的数学模型 26.2 三相同步电动机的数学模型 56.3 永磁同步电动机的数学模型 86.4 无刷直流电动机的数学模型 146.5 交流电机的参数计算 176.5.1 笼型绕组的多回路模型 176.5.2 电感参数的解析计算 196.5.3 磁路饱和问题的处理 25第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 1 第6章 交流电机的数学模型及参数关系在第 5 章坐标变换与电机统一理论的基础上，本章针对现代交流传动控制系统中常用的三相异步电动机、三相同步电动机、永磁同步电动机和无刷直流电动机进行数学建模和参数分析，为后续的系统仿真奠定基础。下面首先阐述电机建模的三个共性问题。1. 正方向的规定 交流电机的数学模型由电机绕组的电压方程（包括磁链方程）和电机转子的运动方程（包括转矩方程）组成。由于是对电力传动系统进行分析，考虑的都是电动机，所以采用电动机惯例列写电压方程和运动方程，即在电磁系统方面，以外加电压 为正，线圈流入正向电流 时，产生正值磁链ui；同时，在机械系统方面，电机的电磁转矩 为驱动性质，与转子转速emT同向，而外加负载转矩 为制动性质，与转子转速 反向，如图 6-1 所示。LTuiR emTL图 6-1 正方向的规定2. 基本假设 交流电机的定子一般采用三相对称绕组，为简化问题，同时又不影响数学模型的精度，常作如下假设：1) 定子内壁、转子外表面光滑，不计齿槽效应。2) 气隙磁密按正弦规律分布，不计空间高次谐波。3) 铁芯磁路为线性，不计磁饱和效应。3. 转子运动方程 各类交流电机的转子运动方程都是一样的，即（6-1）tptJRTd0Lem式中， 为转子机械角速度， 为转子位置角， 为电机极对数， 为转动部0pJ分的转动惯量， 为机械阻尼系数。其区别仅在于电磁转矩 的不同计算。R emT第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 2 6.1 三相异步电动机的数学模型1. 基本结构 按照转子结构型式的不同，三相异步电动机可分为绕线型和笼型两种。绕线转子异步电动机的转子绕组和定子绕组一样，也是按一定规律分布的三相对称绕组，可以联结成 Y 形或形。一般小容量电动机联结成 形，大、中容量电动机联结成 Y 形。转子绕组的 3 条引线分别接到 3 个滑环上，用一套电刷装置引出来，其目的是把外接的电阻或电动势串联到转子回路，用以改善电机的调速性能及实现能量回馈等，如图 6-2 所示。ABCabc定 子 绕 组转 子 绕 组图 6-2 绕线转子异步电动机的定、转子绕组笼型转子异步电动机的转子绕组则与定子绕组大不相同，它是一个自行短路的绕组。在转子的每个槽里放置一根导体，每根导体都比转子铁心长，在铁心的两端用两个端环把所有的导条都短路起来，形成一个短路的绕组。如果把转子铁心拿掉，则剩下来的绕组其形状象一个松鼠笼子，如图 6-3a 所示，因此又叫笼型转子。导条材料有用铜的，也有用铝的。如果导条用的是铜材料，就需要把事先做好的裸铜条插入转子铁心上的槽里，再用铜端环套在伸出两端的铜条上，最后焊接在一起。如果导条用的是铝材料，就用熔化了的铝液直接浇铸在转子铁心的槽里，连同端环、风扇一次铸成，如图 6-3b 所示。a ) b ) 图 6-3 笼型转子a) 铜条绕组 b) 铸铝绕组第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 3 笼型转子的绕组结构较为特殊，其数学建模比较复杂，在本章 6.5 节将做专门介绍。这里先建立绕线转子异步电动机的数学模型。图 6-4 所示是一台绕线转子三相异步电动机的定、转子绕组分布示意图，定子三相绕组分别用A、B、C 表示，转子三相绕组分别用 a、b、c 表示，定子 A 相绕组轴线与转子a 相绕组轴线间的夹角为 ，转子以电角速度 逆时针旋转， 表示定子旋转1磁场的同步角速度。ABCuAuBuC1uaubucabcc图 6-4 三相异步电动机的绕组分布图2电压方程 三相异步电动机各绕组的电压平衡方程为（6-2） abcABCrrsabcABCrabcABCpiLMiRus0式中， 和 为定、转子绕组的电压向量， 和 为定、转子绕组的电ABC BCi流向量。（6-3）cbaaCBA,uu（6-4）cbaCBA,iiiii为定、转子的电阻矩阵，设定子每相电阻为 ，转子每相电阻为 ，则rsR、 1R2R（6-5）22r11s 0,0R第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 4 为定、转子的电感矩阵，对于对称的隐极电机，各绕组的自感以及定子rsL、各绕组间的互感和转子各绕组间的互感均为常值。设定子绕组的自感为 ，转1L子绕组的自感为 ，定子各绕组间的互感为 ，转子各绕组间的互感为 ，2 1M2M则（6-6）22r11, LLMLs为定、转子绕组间的互感矩阵，不计气隙谐波磁场时，各个互感系数rssr、均是 角的余弦函数。设定、转子绕组轴线重合时其互感为 ，则 12M（6-7）cos)32cos()32cos( )3(s)s(s12TrssrM可见，三相异步电动机的电压方程（6-2）是一组变系数的微分方程，该方程亦可以简写为（6-8）)(piLRu式中， 为整个电机的电压向量和电流向量，iu、（6-9）abcABCabcABC,i为整个电机的电阻矩阵和电感矩阵，LR、（6-10）rrsrs,LMR03转矩方程 根据式（5-61） ，电磁转矩 可按下式计算emT（6-11）abcABCrssrabcABC0T0em2iiiL0p由式（6-1 ）和式（6-11 ）不难看出，转子运动方程（6-1）也是一个非线性的微分方程。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 5 6.2 三相同步电动机的数学模型1. 基本结构 就基本结构而言，三相同步电动机的定子与三相异步电动机的定子没有什么区别，也是由定子三相对称绕组、定子铁心、机座及端盖等附件所组成。同步电机的转子有两种结构形式，一种是有明显的磁极，称为凸极式，如图 6-5a 所示。这种结构的磁极是用钢板叠成或用铸钢铸成，磁极上套有串联线圈，构成励磁绕组。在励磁绕组中通入直流电流，使磁极产生极性，其极性呈N、S 交替排列。励磁绕组两个出线端联接到两个集电环上，通过与集电环相接触的静止电刷向外引出；另一种是无明显的磁极，转子为一个圆柱体，表面上开有槽，称为隐极式，如图 6-5b 所示。这种结构的励磁绕组嵌于转子表面的槽中，下线较为困难，但比较坚固。同步发电机的转子可以采用凸极式，也可以采用隐极式。对于水轮发电机，由于水轮机的转速较低，把发电机的转子做成凸极式的；对于汽轮发电机，由于汽轮机的转速较高，为了很好地固定励磁绕组，把发电机的转子做成隐极式的。NSNSNSa ) b ) 图 6-5 同步电机的基本结构a) 凸极式 b) 隐极式同步电动机大都做成凸极式的，在结构上与凸极式同步发电机相近，为了能够自起动，一般还在转子磁极的极靴上装设类似于异步电动机的笼型起动绕组。图 6-6 所示是一台凸极式三相同步电动机的定、转子绕组分布示意图，定子三相绕组分别用 A、B、C 表示，转子上有励磁绕组 f，定子 A 相绕组轴线与转子 d 轴方向间的夹角为 ，转子以电角速度 逆时针旋转， 表示定子旋转1磁场的同步角速度，在稳态运行时 （为简便计，此处暂不考虑笼型起动1绕组） 。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 6 fi图 6-6 三相同步电动机的绕组分布图2电压方程 三相同步电动机各绕组的电压平衡方程为（6-12）tiRutiRusddfffCCBBAsA式中， 为定子各相绕组的磁链， 为转子励磁绕组的磁链， 为CBA、 f sR定子每相绕组的电阻， 为励磁绕组的电阻。f对于定子三相绕组和转子励磁绕组，磁链方程为（6-13）fCfBfAffCfBBACAAiLMii iiiLi式中，定子各相绕组的自感 和定子各相绕组间的互感、均为转子角位移 的函数，即CBABCACABM、第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 7 （6-14）)32(coss)32(coss2s0BAC20B2s0CB2s0AMMLs其中， 和 分别是定子绕组自感和互感的恒值分量， 和 分别是定子s0Ls s2Ls绕组自感和互感二倍频分量的幅值。为转子励磁绕组的自感，当不计齿槽效应时，定子铁心内圆为光滑圆柱，f故无论转子转到什么位置，转子磁动势所遇磁阻不变，因而 的大小与转子位fL置无关，为常值。是励磁绕组与定子绕组间的互感，按气fCfBfACfBfAf MM、隙磁场为正弦分布的假定，应有（6-15）)32cos(sAfmfCfffBfAM式中， 为励磁绕组轴线与定子相绕组轴线重合时的互感。AfmM可见，三相同步电动机的电压方程（6-12）也是一组变系数的微分方程，该方程可以简写为（6-16）)p(iLRiu式中， 分别为电压向量、电流向量和磁链向量，iu、（6-17）fCBAfCBAfCB,iu分别为电阻矩阵和电感矩阵，LR、第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 8 （6-18） ffCfBfACBfACABfss,0LMLRR3转矩方程 根据式（5-61） ，电磁转矩 可按下式计算emT（6-19）iL0em2pT式中，电感矩阵 的偏导数 中仅 ，其余元素仍为转子角位移 的函Lf数。6.3 永磁同步电动机的数学模型1. 基本结构 永磁同步电动机的定子与一般电励磁同步电动机的定子相同，定子铁芯通常由带有齿和槽的冲片叠成，在槽中嵌入交流绕组。当三相对称电流通入三相对称绕组时，在气隙中产生同步旋转磁场。转子部分则采用永磁体励磁。永磁同步电动机毋需再由直流电源提供励磁电流，不仅无励磁损耗以及与集电环、电刷有关的损耗，而且可以提高功率因数，使电动机的效率和功率因数大为提高，具有显著的节能效果。永磁同步电动机的无刷结构又是另一个突出的优点，与一般电励磁同步电动机相比，永磁体宛如一个集成块，集励磁电源、引入装置（集电环、电刷）和励磁绕组于一体，使转子结构得以简化。不仅如此，采用性能优良的永磁材料可以减小永磁体体积，并使转子磁路结构灵活多样，以适应不同技术要求的需要。图 6-7 分别列举了永磁同步电动机两种典型的转子结构，其中径向结构极间漏磁较少，可采用导磁轴，不需要隔磁衬套，因而转子零件较少，工艺也较简单；切向结构每极磁通由两块永磁体并联提供，可产生较大的气隙磁通。NSN SSNNSN NSSNNSSa ) b )第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 9 图 6-7 永磁同步电动机的转子结构a) 径向结构 b) 切向结构从几何结构上看，永磁同步电动机转子外径表面均匀，应属于隐极电机。但是，从电气性能上看，永磁同步电动机却属于凸极电机。这是因为同步电机的主要参数直、交轴电枢反应电抗 分别决定于直、交轴电枢反应磁路aqdX、的磁导，在电励磁同步电动机中， ；但在永磁同步电动机中，情况有所不同，因为在直轴磁路中有永磁体，永磁体的磁导率很低，其导磁性能与空气相似，因而大大减小了直轴电枢反应的作用，表现为 较小，如图 6-8a 所adX示；而在交轴磁路中，主要是软铁极靴和套环类的磁性材料，导磁性能较好，交轴电枢反应的作用较大， 较大，如图 6-8b 所示。因此，在永磁同步电动aqX机中 。aqdXNSNSd 轴SNSq 轴a ) b )N图6-8 永磁同步电动机的电枢反应磁路a) 直轴磁路 b) 交轴磁路为具一般性，这里讨论的永磁同步电动机转子上装设有类似笼型转子异步电动机的笼型绕组（如图 6-7 所示） ，使电动机具有自起动能力。当由三相交流电源供电时，笼型绕组可以提供起动转矩，同时保护永磁体免于去磁，所以也称为起动绕组。图 6-9 所示是一台三相自起动永磁同步电动机定、转子的绕组分布示意图，定子上有 A、B、C 三相绕组，转子上有永磁体 m 和笼型起动绕组。定子 A 相绕组轴线与转子 d 轴方向间的夹角为 ，转子以电角速度 逆时针旋转，转子q 轴沿逆时针方向超前 d 轴 90 电角度。为简明起见，笼型起动绕组用 d 轴和q 轴方向上各自短路的绕组 kd 和 kq 来代替，并且已将起动绕组的参数折算到定子方，同时设永磁体交链于定子相绕组磁链的幅值保持不变。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 10 BCmk dk qdqA图 6-9 永磁同步电动机的绕组分布图2相坐标系统中的数学模型(1) 电压方程。永磁同步电动机各绕组的电压平衡方程为（6-20）tiRutiddccsbbaas（6-21）tiudkqkqkqd式中， 为定子相绕组电阻， 为转子直、交轴起动绕组电阻。sRkqdR、(2) 磁链方程。定、转子绕组的磁链方程为 mkqdcbackqbakqddccca kqbbadcaakqdcba 01)32os(0 iiiLML（6-22）式中， 为定子相绕组自感， 为定子相绕组间的互感，cbaL、 caba、第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 11 为转子直、交轴起动绕组的自感， 转子直轴起动绕组kqdL、 ckdbakdM、与定子相绕组间的互感， 转子交轴起动绕组与定子相绕组间cqbkaqM、的互感， 为永磁体交链于定子相绕组磁链的幅值。m各电感系数由下式计算（6-23）)32(coss2s0cb2s0aL（6-24）)32(cos2s0abcssbM（6-25）kqakqddL（6-26）)32cos(sadckbadLM（6-27）)32sin(iaqckqbaqaqL式中， 和 分别是定子相绕组自感和互感的恒值分量， 和 分别是s0LsMs2LsM定子相绕组自感和互感的二倍频分量的幅值， 分别是转子直、交轴起kqdL、动绕组的自漏感， 分别是同步电机的直、交轴激磁电感。aqdL、激磁电感 分别与通过气隙进入转子的定子磁链相对应，前者是定a子相绕组轴线与直轴重合时相应的相绕组自感，而后者是定子相绕组轴线与交第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 12 轴重合时相应的相绕组自感。设 为定子相绕组自漏感，根据式（6-23） ，当sL时0 s20sad而当 时，2 s20saqLL所以（6-28）)(21aqds s0L另外，根据互感的定义，定子 B 相绕组电流 产生的直、交轴气隙磁场在bi定子 C 相绕组中所形成的互感磁链为 )32sin()si()32cos()cs( baqbad LiL相应的互感为 )si()32sin()s()s(aqad设定子相绕组间的互漏感为 （其中负号是因为相绕组轴线在空间互差sM电角度） ，则定子 B、C 两相绕组间的总互感为3/2 2cos)(21)(41 )32sin()i(3coscsaqdaqdsasbc LLM 将上式与式（6-24）比较可知（6-29）)(214aqds s0LMM由式（6-28）和式（6-29） ，并考虑到定子绕组的自漏感 和互漏感sL均很小，对于理想的凸极同步电机而言， ， 。sMs0s21s2(3) 转矩方程。在有永磁体存在的电磁装置中，磁场储能为（6-30）mm21STWiL式中，第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 13 为磁链方程（6-22）中的电感矩阵，L，T01)32cos()32cos( S。Tkqdcbaiii根据式（5-61） ，电磁转矩 可按下式计算em（6-31）)21(m0e SiLiTpWT3d-q -0 坐标系统中的数学模型 由于转子结构不对称，将静止的相坐标系统中的定子 A、 B、 C 三相绕组变换为随转子一起旋转的 d-q-0 坐标系统中的d、 q 两相绕组，可使数学模型得到简化。采用的坐标变换式为（6-32） 2121)3sin()3sin(i 2co2co32其相应的反变换式为（6-33） 1)32sin()32cos(sis1 C即有如下关系式（6-34）T0qd1Tcba uuC（6-35）ii（6-36）T0qd1Tcba 该变换满足合成磁动势不变约束。(1) 电压方程。将上面三式代入式（6-20）中，不计零序分量，可得 d-q-0坐标系统中的定子电压方程（6-37）dqqdspiRu式中， 为电角频率。p第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 14 转子电压方程无需变换，仍为式（6-21） 。(2) 磁链方程。将式（6-35） 、 （6-36）代入式（6-22）中，可得 d-q-0 坐标系统中的定、转子磁链方程（6-38）kqaqmddiLi（6-39）kqqakddi式中， 为直、交轴电枢反应电感， 为直、交轴同步电感。aqdL、 dL、各电感系数之间的关系为（6-40）aqaqdd23L（6-41）aqd式中， 为定子绕组漏感L（6-42）ssML(3) 转矩方程。把式（6-35）代入式（6-29） ，并利用磁链方程（6-38） ，经推导，可得 d-q-0 坐标系统中电磁转矩 的表达式emT（6-43）)(23dqd0eip6.4 无刷直流电动机的数学模型直流电动机由于调速性能好、堵转转矩大等优点而在各种运动控制系统中等到广泛应用，但是直流电动机具有电刷和换向器装置，运行时所形成的机械摩擦严重影响了电机的精度和可靠性，因摩擦而产生的火花还会引起无线电干扰。电刷和换向器装置使直流电动机结构复杂、噪音大，维护也比较困难。所以，长期以来人们在不断寻求可以不用电刷和换向器装置的直流电动机。随着电子技术、计算机技术和永磁材料的迅速发展，诞生了无刷直流电动机。这种电动机利用电子开关线路和位置传感器来代替电刷和换向器，既具有直流电动机的运行特性，又具有交流电动机结构简单、运行可靠、维护方便等优点，它的转速不再受机械换向的限制，可以制成转速高达每分钟几十万转的高速电动机。因此，无刷直流电动机用途非常广泛，可作为一般直流电动机、伺服电动第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 15 机和力矩电动机等使用。1. 基本结构 无刷直流电动机由电动机本体、电子开关线路和转子位置传感器三部分组成，其系统构成如图 6-10 所示，其中直流电源通过开关线路向电动机定子绕组供电，位置传感器检测电动机的转子位置，并提供信号控制开关线路中的功率开关器件，使之按照一定的规律导通和关断，从而控制电动机的转动。无刷直流电动机的基本结构如图 6-11 所示，其中电动机结构与永磁同步电动机相似，转子是由永磁材料制成的具有一定极数的永磁体，主要有表面式和内嵌式两种结构，其中表面式最为常见，如图 6-12 所示。定子是电动机的电枢，定子铁心中安放着对称的多相绕组，可接成星形或角形，各相绕组分别与电子开关线路中的相应开关器件相连接，电子开关线路有桥式和非桥式两种。图 6-11 表示的是常用的三相星形桥式连接方式。位置传感器是无刷直流电动机的重要部分，其作用是检测转子磁场相对于定子绕组的位置。它有多种结构形式，常见的有电磁式、光电式和霍尔元件。直 流 电 源开 关 线 路电 动 机 本 体位 置 传 感 器负 载图 6-10 无刷直流电动机的系统构成abcACBNS1S2S3S4S5S6SdU图 6-11 无刷直流电动机的基本结构第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 16 a )b )转 轴永 磁 体转 子 铁 心隔 磁 套隔 磁 块紧 圈NSSNNS NSNNNNSSSS图 6-12 无刷直流电动机的转子结构a) 表面式 b) 内嵌式2. 电压方程 由于无刷直流电动机的气隙磁场、感应电动势以及电枢电流都是非正弦的，所以采用直、交轴坐标变换已不是有效的分析方法。通常，直接利用电动机本身的相变量来建立数学模型，既简明又具有较好的准确度。对于图 6-12a 所示的表面式永磁体转子结构，转子各方向磁路的磁阻基本上不随转子位置的变化而改变，所以定子相绕组的自感 和互感 均为常值。LM这样，定子三相绕组的电压平衡方程为（6-44） cbacbacba p0eiiLMiiRu式中， 为定子相绕组电压， 为定子相绕组电流，ba、 cbai、为定子相绕组感应电动势， 为定子相绕组电阻。cbae、当三相绕组为 Y 联接且没有中线时，应有（6-45）0cbaii并且（6-46）acbMii将以上两式代入式（6-44） ，得到电压方程 cbacbacba p00 eiiLLiiRu（6-47）根据电压方程，可以画出无刷直流电动机的等效电路，如图 6-13 所示。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 17 aebcaubuciiiMLRLR图 6-13 无刷直流电动机的等效电路3. 转矩方程。无刷直流电动机的电磁功率为（6-48）cbaemieiP所以，相应的电磁转矩为（6-49）cbaemiiT式中， 是转子旋转的机械角速度。就电动机本体而言，无刷直流电动机是一台方波型的永磁同步电动机，因此其结构及性能与永磁同步电动机有诸多相似之处。但也存在一些重要区别，例如永磁同步电动机可以利用旋转变压器或旋转编码器连续检测转子位置，并根据转子的转速随时调整定子侧逆变器的控制频率，以确保定子旋转磁动势与转子磁动势同步，因此所产生的电磁转矩基本上是恒定的；而无刷直流电动机则仅需检测转子的若干位置即可，根据这些位置便可决定定子侧逆变器开关器件的通断时刻，从而保证定子旋转磁动势在平均意义上与转子磁动势同步，这也是无刷直流电动机属于同步电动机的原因，因此所产生的电磁转矩存在一定的脉动。事实上，影响无刷直流电动机转矩脉动的因素是很多的，主要包括电磁因素、电流换相、齿槽效应、电枢反应以及机械加工等 23。6.5 交流电机的参数计算6.5.1 笼型绕组的多回路模型笼型绕组根据其作用的不同，又称为起动绕组或阻尼绕组。为了正确分析笼型绕组在交流电机中的作用，有必要采用多回路模型。笼型绕组实际上包含多条电流回路，笼型导条的数目越多，电流回路就越多，所以可以采用多回路的方法来模拟笼型绕组。原则上说，电流回路的选取方法是多种多样的，只要包含（或覆盖）所有导条和端环就行。这里按照 d、q 轴方向把笼型绕组分为两大组：m 条 d 轴回路和 n 条 q 轴回路，如图 6-14 所示。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 18 设每极导条数为 ，则 d 轴回路数 m 和 q 轴回路数 n 的计算公式为b（6-50）为 奇 数 时 ）（ 为 偶 数 时 ）（ bn21,按照电动机惯例所规定的正方向，d、q 轴回路的电压方程为（6-51）niRt mnjjiimjjii ,21,d0,1qqdd其中， 、 分别为 d 轴和 q 轴的第 i 个回路的电阻（称为自电阻） ，diRqi（或 ）为 d 轴（或 q 轴）第 i 个回路与第 j 个回路之间的互电阻。互电ijij阻的出现是由于在导条和端环里流过了不同回路的电流，实际上是由于列电压平衡方程而引入的参数，没有直接的物理意义。4 315 2 4 315 2qd di1di2d i1qi2qi3qi1di2d i1qi2qi3qi2d i2di1d i1d图 6-14 笼型绕组的多回路模型上述方法是根据导条的实际分布情况来划分回路的。根据由状态方程计算得出的各回路电流，通过代数运算可以进一步计算出每一根导条和每一段端环的实际电流值。下面以每极有 5 根导条为例进行说明，此时按照式（6-50） ，即直轴方向有 2 个短路的绕组 ，交轴方向有 3 个短路的绕32nm、 2d1、组 。由图 6-14 容易看出，笼型绕组的 5 个导条电流为q1第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 19 （6-52）q1d25B43q2d12Biiiii笼型绕组的 5 个端环电流为（6-53）q32d5R143q32d2Rq1iiiiii6.5.2 电感参数的解析计算1. 电感计算的一般化公式 电励磁三相凸极同步电机具有代表性，其气隙是不均匀的， d 轴方向气隙长度 最小，q 轴方向气隙长度 最大，变化mingmaxg周期为 ，可以用下面的气隙分布函数来表述，（6-54）2cos10其中， 为转子位置自变量。因为)2(1020maxing所以， ， 。axmin012g maxin2g这样，电感计算的一般化公式为 3（6-55） yx2yx0yx0xy coscos4 pNlL式中， 是气隙磁导率， 是电机极距， 是电机极对数， 是铁芯有效长，0 0pl、 分别是 x 相、y 相等效正弦分布绕组的每相串联匝数， 、 分别是xNy xyx 相、y 相绕组轴线与定子 a 相绕组轴线间的夹角， 是转子 d 轴与定子 a 相绕组轴线间的夹角，如图 6-15 所示。第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 20 dABCqf1 d2 d1 q2 q3 q图 6-15 凸极同步电机的结构示意图2. 定子绕组的自感和互感(1) 定子相绕组的自感。将 、 、 代入式（6-55） ，0a32b32c得到定子相绕组主自感（6-56）)32(coss2s0cb2s0aL式中， 、 分别为主自感的恒定分量与倍频分量，s0L2，02s0s4plNL20s28plNLs为定子每相等效正弦分布绕组的串联匝数， ， 为定子每相绕sN 1ws4k组的实际串联匝数， 为定子相绕组的基波绕组系数。wk设 为定子相绕组的自漏感（包括槽漏感、端部漏磁、齿顶漏感及谐波漏sL感等） ，则定子相绕组的全自感为（6-57） 、32coss2s0cscbb 2s0asa LL(2) 定子相绕组间的互感。根据式（ 6-55） ，定子相绕组间的互感可表示为第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 21 （忽略定子相绕组间的互漏感 ）sM（6-58）、32cos2css0baacc 20bL3. 转子绕组的自感和互感(1) 转子绕组的自感。1) 励磁绕组的自感。由于励磁绕组为整距集中绕组，其基波绕组系数。设 为励磁绕组每极串联匝数，则励磁绕组的等效正弦分布绕组串联1fkfN匝数 。frf4k将 代入式（6-55） ，得到励磁绕组的主自感f（6-59）s202srff LNL设 为励磁绕组的自漏感（包括励磁绕组端部漏感、极间漏感及极面漏感fL等） ，则励磁绕组的全自感为（6-60）s202srfffff LNLL2) 直轴第 k 个阻尼绕组的自感（ k=1,2） 。由于直轴第 k 个阻尼绕组为短距集中绕组，其基波绕组系数 ，其中 ， 为直轴第 k 个2sinddkdkyk阻尼绕组的节距。设 为直轴第 k 个阻尼绕组的每极串联匝数（ ） ，则dkN 1dkN直轴第 k 个阻尼绕组的等效正弦分布绕组串联匝数 。ddr4kk将 代入式（6-55） ，得到直轴第 k 个阻尼绕组的主自感dk（6-61）s202sdrdLNLkk设 为直轴第 k 个阻尼绕组的自漏感（包括直轴第 k 个阻尼绕组槽部漏dkL感、端部漏感及极顶漏感等） ，则直轴第 k 个阻尼绕组的全自感为第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 22 （6-62）s202sdrdd LNLLkkk 3) 交轴第 k 个阻尼绕组的自感（ k=1,2,3） 。由于交轴第 k 个阻尼绕组也是短距集中绕组，其基波绕组系数 ，其中 ， 为交轴第2sinqqkkqkykk 个阻尼绕组的节距。设 为交轴第 k 个阻尼绕组的每极串联匝数（ ） ，qkN 1qkN则交轴第 k 个阻尼绕组的等效正弦分布绕组串联匝数 。qqr4kkN将 代入式（6-55） ，得到交轴第 k 个阻尼绕组的主自感2qk（6-63）s202qrqLNLskk设 为交轴第 k 个阻尼绕组的自漏感（包括交轴第 k 个阻尼绕组槽部漏qkL感、端部漏感及极顶漏感等） ，则交轴第 k 个阻尼绕组的全自感为（6-64）s202qrqq LNLLskkk (2) 转子绕组间的互感。1) 励磁绕组与直轴第 k 个阻尼绕组间的互感（k=1,2） 。将 、f代入式（6-55） ，得到励磁绕组与直轴第 k 个阻尼绕组间的互感（忽略互dk漏感 ）fM（6-65）s202sdrfdff LNMkkk 2) 直轴阻尼绕组间的互感。将 （k=1,2）代入式（6-55） ，得到直轴d阻尼绕组间的互感（忽略互漏感 ）12（6-66）s202sdrd211 LNM3) 交轴阻尼绕组间的互感。将 （k=1,2,3）代入式（6-55） ，得qk到交轴阻尼绕组间的互感（忽略互漏感 ）)1(第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 23 （6-67）s202r3qq32q2 sr11 s202rqq2LNMNsss(3) 转子绕组的漏感。因为转子绕组之间的互漏感非常小，通常不予考虑，所以这里仅说明转子绕组自漏感的计算方法。1) 励磁绕组的自漏感。励磁绕组的自漏感可按以下经验公式进行计算 3（6-68）mf20flNpL式中， 是转子铁芯长， 是励磁回路的比漏磁导。mlf )(4.0)(15.).0(27.1)0.(75.1)2.0(.4 m2ppptf lbchcacacd （6-69）式中，)4/(i2ppt Dbhd，0tdc，)2/(0pmmh2/)(pba为气隙长， 为定子铁芯内径， 分别为极靴高和宽， 分别为极iDpbh、 mbh、身高和宽，如图 6-16 所示。phpbmb 2tj2t图 6-16 凸极同步电机的转子磁极2) 笼型绕组的自漏感。首先，计算每根阻尼导条的漏电感（6-70）)(tcB0arlL第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 24 式中， 为导条长， 为槽比漏磁导， 为齿顶比漏磁导。Blct（6-71）s2sc164.03.bhd（6-72）s2s2s2t arctg)(lnbb式中， 为导条孔的直径， 分别为导条孔的高和宽2ds2bh、其次，计算每段端环的漏电感（6-73）)5.0(lne02RingrtL式中， 为每段端环长， 为端环到转子端面的距离， 为端环截面的等效半2tel er径。设磁极之间起连接作用的阻尼环长度为 （图 6-16） ，则极间阻尼环的漏j2t电感为（6-74）2jRingjitL这样，直轴第 个阻尼绕组的自漏感为k（6-75）)2,1(4RingBardkk交轴第 个阻尼绕组的自漏感为（6-76）)3,21()(2RingjRingBarqkLLLk 、4. 定、转子绕组间的互感(1) 定子相绕组与转子励磁绕组间的互感。将 、0a、 、 代入式（6-55） ，得到定子相绕组与转子励磁绕组32bcf间的互感（忽略互漏感 ）sfM第 6 章 交流电机的数学模型及参数关系 25 （6-77）)32cos(safmfccfffbfaffaf M式中， 。20srfafmsLNM(2) 定子相绕组与转子直轴阻尼绕组间的互感。将 、 、0a32b、 （k=1,2）代入式（6-55 ） ，得到定子相绕组与转子直轴第32cdkk 个阻尼绕组间的互感（忽略互漏感 ）dskM（6-78）)32cos(dmadccbbada kkkkkk式中， 。s20sdrdmaLNMkk(3) 定子相绕组与转子交轴阻尼绕组间的互感。将 、 、0a32b、 （k=1,2,3）代入式（6-55 ） ，得到定子