单自由度及多自由度系统模态分析

单自由度及多自由度系统 模态分析 结构振动分析基本理论 振动分析的 “理论路线 ” 空间模型 用于描述结构的物理特性，即质量、刚度和阻尼特性。 模态模型 一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。 响应模型 一系列响应函数组成 在理论分析中，首先从空间模型开始最终到响应模型。 在实验分析中， 首先从响应特性开始 ，最终推求空间模型。 单自由度系统脉冲响应函数 单 自由度系 统 ，承受 单 位脉冲荷 载 (t)时 ，响 应为 h(t) 单 位 脉冲响 应 函数（脉冲响 应 函数） 该 式的解 为 式中， 若系 统 受到任意函数 f(t)激励， 则 响 应为 （ Duhamel积 分）： 单自由度系统脉冲响应函数 单自由度系统频响函数 单自由度系统振动微分方程： 设系统作用简谐激励 稳态位移响应： 稳态速度响应： 稳态加速度响应： 单自由度系统振动微分方程： 位移频响函数 为稳态位移响应与激励幅值之比： 速度频响函数 ： 加速度频响函数 ： 频响函数 单自由度系统频响函数 频响函数的倒数称为 阻抗 位移阻抗： 速度阻抗： 加速度阻抗： 单自由度系统频响函数 频 响函数 H()是 h(t)的傅里叶 变换 。 若系 统 的激励 为 已知此 时 系 统稳态输 出 为 因此 脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频 响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描 述系统固有特性。 线性系统的输入与输出关系 根据傅里叶 变换时 域卷 积 性 质 ，在 时 域的卷 积 在 频 域 应为 乘 积 单位力作用下 的系统时域与 频域的响应 线性系统的输入与输出关系 不同激励下频响函数表达式 简谐激励 下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值 之比 周期激励 f(t)（周期为 T）作用下，稳态位移响应为周期 T的函数 x(t)，都可写为傅里叶级数的形式 系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值 与激励的幅值之比 瞬态激励 f(t)下响应为 x(t) ，一般可做傅里叶变换 系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶变换 之比 随机振动 中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只 能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率 谱与输入的自功率谱之比 不同激励下频响函数表达式 单自由度系统频响函数曲线（ 1） 由频响函数表达式 可得频响函数复指数形式 式中 称为频率比 幅频特性 相频特性 单自由度系统频响函数曲线（ 2） 频响函数表示成复数形式： 其中 实频特性 虚频特性 单自由度系统频响函数曲线（ 3） 对于任一 ，根据上式可计算得到对应的一对 HR()、 HI()值，从而得到复平面上的一条矢量。 从 0变到 ， 矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹 近似 为一个圆。（ Nyquist图） 多自由度系统的振动 无阻尼系统 多自由度无阻尼系统的运动方程： 1、自由振动 设特解 代入上式得 该方程有非零解的充要条件是其系数矩阵行列式为零，即 解得 的 n个互异正根 0i，称为无阻尼系统的固有频率（特征方程 的特征值） 系统特征方程 多自由度系统的振动 无阻尼系统 将 0i代入： 解得 n个线性无关非零矢量 i的比例解，通常选择一定方法进行归 一化，称为模态振型（特征方程的特征向量） 模态振型具有正交性 多自由度系统的振动 粘性阻尼系统 多自由度粘性阻尼系统的运动方程： 其中 进行坐标变换，设物理坐标系中矢量 x在模态坐标系中的坐标为 ，则 代入运动方程得 多自由度系统的振动 粘性阻尼系统 左乘 sT，考虑到模态振型的正交性，得 ms 第 s阶模态质量 ks 第 s阶模态刚度 cs 第 s阶模态阻尼系数 qs 第 s阶模态坐标 令 ，则 多自由度系统的振动 粘性阻尼系统 不考虑起始条件，可得位移响应： 振动系统的空间模型和 模态模型间的转换 物理坐标系中， n自由度系统的运动方程： 模态坐标系中， n自由度系统的运动方程： 从物理模型到模态模型转换，是方程 解耦 的数学变换过程 多自由度系统频响函数 令 令 频响函数 物理意义为：在 j 点作用单位力时， 在 i点引起的响应 频响函数与模态参数的关系 频响函数矩阵中任一行为 如果在结构上的某一固定点 i点拾振，轮流激励所有点，即 可求得 H中的一行。（ 单点拾振法 ） 频响函数与模态参数的关系 频响函数矩阵中任一列为 如果在结构上的某一固定点 j点激振，在其他各点拾振，即 可求得 H中的一列。（ 单点激励法 ） 频响函数图像 频响函数表达式 频响函数的图像可以看作为一系列单自由度系统的频响 函数曲线的迭加。 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 F1 模态阶数 1 2 3 4 5 频率 (Hz) 34.4994 100.6979 158.7263 203.8849 232.5241 结构模态试验技术 结构模态实验 是要通过某种激励方法，人为地使结构产生振动， 提取激励输入和结构响应输出的时域或频域数据；或者在自然环 境激励下，现场提取结构的响应输出数据。 频响函数矩阵或单位脉冲响应函数矩阵中的任一列或任一行，蕴 含了系统全部的模态参数信息。 测量方法： SISO：选取一点作单点激振，在所有测量点依次测量响应 或选取一点作测量响应，在所有测量点轮流测量激振 SIMO：选取一点作单点激振，在所有测量点同时测量响应 MIMO：选取多点同时激振，在所有测量点同时测量响应 试件支承 原则：尽量实现实际结构所要求的边界条件 支承方式： 1. 约束支承方式：将试件安装在基础上 理想状态：基础绝对刚性。（难以达到） 试验中：基础的频响函数值远小于试件结构的频响函数值 基础质量至少为试件质量的 10倍 试件支承 支承方式： 2. 自由支承方式：试件处于悬空状态 理想状态：系统具有六个刚体模态（难以达到） 试验中： 气、磁悬挂 空气弹簧支承 测点及测量方法安排 测试系统 1. 激励设备 2. 传感系统 3. 分析设备 模态实验方法 时域模态参数识别方法 SIMO MIMO Time Domain methods Indirect methods Direct methods MDOF MDOF SIMOSISO MIMO LSCE ITD CE PRCE ERA ARMA DSPI 模态试验激励信号 1. 正弦信号 最常采用的激励信号 a. 步进式正弦激励法 b. 自动正弦慢扫描激励 c. 快速扫描正弦激励 2. 平稳随机信号 a. 自然随机信号 b. 伪随机信号 c. 瞬态随机信号 d. 周期伪随机信号 模态试验激励信号 3. 瞬态冲击信号 一般由锤击法产生 4. 阶跃激励 缆绳预拉试件，突然释放或切断缆绳，激起结构对初 始位移输入的自由衰减振动响应 5. 环境激励 激励点选择 原则：能激起试验频带内全部模态，而且平均模态位移最大 1. 单点随机激励： 不在所要测量的任一阶模态节点上，保证不丢失模态 2. 多点随机激励： 能同时激起试验频带内各阶模态 模态试验设计 1. 试件边界条件与支承方式设计和技术实施 2. 试验频率范围的确定 3. 试验方法（激励源、测量量和测量方法等）论证 4. 激励点位置与数量选择 5. 测量位置和测点数目选择 6. 数据采集、处理方法 7. 模态参数辨识算法选择 8. 试验结果有效性检验方法 模态试验程序 1