小波基本理论及应用

1、 小波历史发展的简介 2、 小波理论的基础知识 3、 基于 matlab的小波应用 4、 论文分析 汇报材料 小波变换和去噪 通俗的讲就是剥大蒜的过程，也就是不断的分层，使得信号 拆分成各种频段（根据采用频率而定），而这一过程要用到低通滤波器 和高通滤波器，而小波去噪就是在高频部分（因为通常白噪声出现在高 频部分）改变数字量，运用一些算法去除一些混有噪声的数字，然后再 运用重构低通滤波器和高通滤波器把刚刚分层的频段加起来，差不多就 是拼凑大蒜的过程吧。 如何改变高频系数（也就是去除噪声）具体算法 如下： 1.软门限和硬门限 所谓门限法 ,就是选择一个门限 ,然后利用这个门 限对小波变换后的离散细节信号和 离散逼近信号进行处理。 硬门限可以 描述为：当数据的绝对值小于给定的门限时 ,令其为零 ,而数据为其他值时 不变。 软门限可以描述为 :当数据的绝对值小于给定的门限时 ,令其为零 , 然后把其他数据点向零收缩。 2.门限选择的准则及其算法 根据现有的文 献 ,对于被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型 , 一般地 , 选择门限的准则 如下 : 1 无偏风险估计准则。对应于每一个门限值 , 求出与其对应的风险 值 , 使风险最小 的门限就是我们所要选取的门限，其具体算法为 : (a) 把待 估计的矢量中的元素取绝对值 , 由小到大排序 , 然后将各个元素平方 , 得到 新的待估计矢量 N V ,其长度为原待估计矢量的长度 n。 (b) 对应每一个元 素下标 (即元素的序号 ) k ,若取门限为待估计矢量的第 k 个元素的 平方根 , 则风险算法为 : (2) 固定门限准则。 利用固定形式的门限 ,可取得较好的去 噪特性。 设 n 为待估计矢量的长度 ,取长度 2 倍的常用对数的平方根为门 限 . (3) 极小极大准则。本准则采用固定门限获得理想过程的极小极大特性 . 极小极大原 理是在统计学中为设计估计量而采用的 ,由于去噪信号可以 假设为未知回归函数的估计 量 ,则极小极大估计量是实现在最坏条件下最 大均方误差最小的任选量。 (4) 混合准则。 它是无偏风险估计和固定门限 准则的混合 1、 小波历史发展的简介 自从 1807年 J.Fourier提出 Fourier分析至今， Fourier分析已 成为信号处理的主要工具，但是在分析突变信号和非平稳信号 时， Fourier分析显得无能为力。 小波分析，即小波变换，与 Fourier分析有相似之处。小波变 换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在 1974 年首先提出的，其基本的数学思想来源于经典的调和分析，特 别是本世纪 30年代的 Little-Palay的理论。与 Fourier变换、窗口 Fourier(Gabor变换 )相比，这是一个时间和频率的局域变换， 因而能有效的从信号中提取信息。通过伸缩和平移功能对函数 或信号进行多尺度细化分析，解决了 Fourier变换不能解决的许 多困难问题，从而小波变换被誉为 “数学显微镜 ”，它是调和分 析发展史上里程碑式的进展。 1、 小波历史发展的简介 小波分析是近年来在国际上引起广泛重视的前沿研究 领域，它的发展推动了相关学科的交叉融合，并为信号处 理带来新思想、新方法。小波分析不仅包含丰富的理论基 础，而且具有极强的应用价值。小波变换具有多分辨率分 析的特点，在时域、频域都具有表征信号局部特征的能力 ，因此广泛地应用于图像处理和模式识别领域中，成为信 号强有力的处理工具。 近年来小波发展的情况 ： 1、 小波历史发展的简介 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新 领域，经过近 10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立 ，理论基础更加扎实。与 Fourier变换相比，小波变换是空间 (时 间 )和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过 伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析， 解决了 Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了 应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、 地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分 支，它是泛函分析、 Fourier分析、样调分析、数值分析的完美 结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间 尺度分析和 多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别 、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面 的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 2、小波理论的基础知识 小波 (Wavelet) 这一术语，顾名思义， “小波 ”就是小的波 形。所谓 “小 ”是指它具有衰减性；而称之为 “波 ”则是指 它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与 Fourier变 换相比，小波变换是时间 (空间 )频率的局部化分析，它 通过伸缩平移运算对信号 (函数 )逐步进行多尺度细化， 最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适 应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节 ，解决了 Fourier变换的困难问题，成为继 Fourier变换以 来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为 “数学 显微镜 ”。 基本概念 ： 2、小波理论的基础知识 小波 (wavelet)： 函数 , 波 振荡 , 小 有限的支集 （ supp） ,或衰减速度比较快 2、小波理论的基础知识 小波级数： is the base. 刻画函数的局部性质。 2、小波理论的基础知识 小波分析则克服了短时傅立叶变换在单分辨率上的缺 陷，具有多分辨率分析的特点，在时域和频域都有表征信 号局部信息的能力，时间窗和频率窗都可以根据信号的具 体形态动态调整，在一般情况下， 在低频部分（信号较平 稳）可以采用较低的时间分辨率，而提高频率的分辨率， 在高频情况下（频率变化不大）可以用较低的频率分辨率 来换取精确的时间定位。 因为这些特定，小波分析可以探 测正常信号中的瞬态，并展示其频率成分，被称为数学显 微镜，广泛应用于各个时频分析领域。 2、小波理论的基础知识 小波包分析 短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的 。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于 其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨 率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的 频带进行指数等间隔划分（具有等 Q结构）。小波包分析 能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行 多层次划分，对多分辨率分析没有细分的高频部分进一 步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择 相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时 -频分 辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。 2、小波理论的基础知识 2、小波理论的基础知识 几种常用的小波 2、小波理论的基础知识 2、小波理论的基础知识 2、小波理论的基础知识 2、小波理论的基础知识 3、基于 matlab的小波应用 3、基于 matlab的小波应用 3、基于 matlab的小波应用 压缩 3、基于 matlab的小波应用 平移 3、基于 matlab的小波应用 多层压缩 3、基于 matlab的小波应用 3、基于 matlab的小波应用 利用 matlab 自带的 leleccum信号函数，采用 db1小波对 此信号进行一维小波分解，然后对近似分量和细节分 量进行重构。 3、基于 matlab的小波应用 使用 db1 进行 3尺度小 波分解，然后提取该 尺度下的近似系数和 细节系数 3、基于 matlab的小波应用 采用阈值法 消除噪声 3、基于 matlab的小波应用 降噪前后信号的比较 3、基于 matlab的小波应用 从上面几个图可以看到，随着分解尺度的不断增加，近似 分量中的噪声越来越少，信号中的高频信息越来越多的被 滤掉，尺度 3下的近似分量 A3与原始信号相比轮廓更为清 晰。 3、基于 matlab的小波应用 matlab中阈值法除噪的界面 3、基于 matlab的小波应用 采用局部阈值法去除图像噪声 可以检测出噪声信号中的跳跃点 可以检测出噪声信号中的跳跃点 3、基于 matlab的小波应用 图像处理的方法： 二维信号用二维小波分析的去噪步骤如下： （ 1）二维信号的小波分解。选择一个小波和小波分解的层次 N， 然后计算信号 s到第 N层的分解。 （ 2）对高斯系数进行阈值量化。对于从 1到 N的每一层，选择 一个阈值，并对这一层的高斯系数进行软阈值量化处理。 （ 3）二维信号的重构。根据小波分解的第 N层的低频系数 和经过修改的从第 1层到第 N层的各层高频系数计算二维信号 的小波重构。 3、基于 matlab的小波应用 可以看出，最终得到的图像在滤除噪声的同时细节信息也损失严重 3、基于 matlab的小波应用 第一幅为原图，第二幅图像是用小波分解 的第一层低频信息重构得到的。 3、基于 matlab的小波应用 应用于边缘检测 可调整图像的像素值，可以改变对比度和颜色 数字水印（ Digital Watermarking ） 技术是将一些 标识信息直接嵌入数字载体当中，但不影响原载体的 使用价值，也不容易被人的知觉系统 (如视觉或听觉系 统 )觉察或注意到。通过这些隐藏在载体中的信息，可 以达到确认内容创建者、购买者、传送隐秘信息或者 判断载体是否被篡改等目的。数字水印是信息隐藏技 术的一个重要研究方向。 3、