1-例题和习题

第一章 行列式 要点和公式 1 全排列及其逆序数、对换 排列的逆序数= 各元素的逆序数之和 . (一个元素的逆序数是指排在其前面并且大于它的元素个数) n 个元素所有排列的种数 Pn=n!，其中奇、偶排列各占一半。 一次对换改变排列的奇偶性。 2 行列式 n 阶行列式的定义： 或 或 行列式的性质： D=D T 上 上上上上Dkcrcrjijiiijj )( (, )( 以下都是行列式等于零的充分条件： 两行(列) 完全相同； 某一行(列) 的元素全为零； 两(列)的元素对应成比例. 若行列式的某一行(列)元素都是两数之和，则行列式可分解 为两个行列式之和. 行列式按行(列)展开法则 或 (i=1,2,n)ij nkjiDAa1 jnkjiDAa1 (其中 ，D 是原行列式的值)jiij ,0 重要的特殊行列式 对角行列式 / 上三角行列式 / 下三角行列式 (1-1)nn 2121 (1-2)nnnaaa a 2121121 (1-3)n nn 21)(21 (1-4)1,2 )1(1,2,11,211 nnnnn aaaa 分块对角行列式 / 分块上三角行列式 / 分块下三角行列式 (1-5)BAOBAO* (1-6)km)1(* 以上两式中， 分别是 k 阶、m 阶行列式.BA、 范德蒙德行列式 (1-7) nijjnnn xxx11321232 )(11 3 克拉默法则和有关定理 克拉默法则: 对 于 n 个 变 量 n 个 方 程 的 线 性 方 程 组 简记为 (i=1,2,n) .212121nnbxaxa njjibxa1 若系数行列式 D0，则方程组有唯一解： (i=1,2,n)xjj 其中 Dj 是用方程组的常数项 b1, b2, , bn 替换系数行列式 D 的第 j 列得到的行列式。 定理：对于非齐次线性方程组 (i=1,2,n) njjibxa1 方程组有唯一解 系数行列式 D0； (等价命题) 方程组无解或有多组解 D=0. 定理：对于齐次线性方程组 (i=1,2,n)01njjixa 方程组只有零解 系数行列式 D0； (等价命题) 方程组( 除零解外)有非零解 D=0. nppta21)(qqa 典型题型 1 全排列的逆序数、奇偶性 计算 n 元排列的逆序数的常用方法是：算出排列中每个元素前 面比它大的元素的个数(即每个元素的逆序数 )，这些元素的逆序数 之和就是所求排列的逆序数. 判断排列的奇偶性的常用方法有两种： 方法一：算出排列的逆序数，若逆序数为奇数，则为奇排列；若 逆序数为偶数，则为偶排列； 方法二：将所给排列进行对换，使其变成标准排列(偶排列) ，若所 需对换次数为奇数，则为奇排列；若所需对换次数为偶数，则为 偶排列. (因为每次对换都会改变排列的奇偶性 ) 例 1 计算排列 134782695 的逆序数，并判断奇偶性 解 逆序数 t(134782695) = = 104020 该排列为偶排列. 例 2 以下排列中( )是偶排列。 (A) 4312 (B) 51432 (C) 45312 (D) 654321 分析 对于(A)4312，将 4 和右边的元素进行相邻对换，直至其 排在第四位，需 3 次相邻对换；再将 3 和右边的元素进行相邻对换， 直至其排在第三位，需 2 次相邻对换 . 于是， 经过总计 5 次相邻对 换，可使 4312 变 成标准排列 1234，因此 4312 是奇排列。 对其它选项可作类似分析。 解一 四个选项中，只有(C)可通过偶数次对换变成标准排列，答 案为(C). 解二 逆序数 5210)432(t 同理，t (51432)=7，t (45312)=8，t (654321)=15. 答案为(C). 练习 1 求排列 13(2n-1)24(2n) 的逆序数, 并讨论奇偶性. 答案 t= n(n-1)/2 当 n=4k,4k+1 时， 为偶排列；n=4 k+2, 4k+3 时， 为奇排列. 例 3 设排列 p1p2pn-1pn 的逆序数为 k, 则 pnpn-1p2p1 的逆序数 为多少？ 解 在 n 个元素中任选两个元素 pi , pj (共有 种可能)，则 pi , pj C 必在两个排列之一中构成逆序，因此两个排列的逆序数之和为 .2nC knptn2)1().(1 2 求行列式中的项 例 4 在六阶行列式中，如下的项带什么符号：a 23a31a42a56a14a65 解一 调换项中元素的位置，使元素的行标排列变成标准排列，即 a14a23a31a42a56a65 再求出列标排列的逆序数，t(431265)=6，故该项带正号. 解二 分别求出行标排列和列标排列的逆序数 t1 (234516)=4 t2 (312645)=4 由于 t1+t2=8，故该项带正号 例 5 写出五阶行列式中包含因子 a13a25 且带负号的所有项 分析 设项为(-1) ta13a25a3ia4ja5k，显然 ijk 是 124 的某个排列，共有 六种可能性，其中有三种使乘积带负 号，三种使乘 积带正号。 不妨设下标 ijk = 124，此时，列标 排列的逆序数为 t(35124)=5，是 奇排列，于是该项带负 号。 再对 124 进行两次对换(这不会改 变整个排列的奇偶性) ，可得 ijk 的另两组使项带负号的取值: 412, 241。 解 设(-1) ta13a25a3ia4ja5k，并令下标 ijk = 124，此时列标排列的逆 序数为 t(35124)=5，是奇排列。再对 124 进行两次对换，得 ijk=412, 241. ijk 的这些取值使含 a13a25 的项带负号，即所求的项为 -a13a25a31a42a54， -a13a25a34a41a52， -a13a25a32a44a51 练习 2 写出四阶行列式中所有带负号且包含 a23 的项. 答案 -a11a23a32a44 -a12a23a34a41 -a14a23a32a41 例 6 求 xxf12573 43)( 中 x4 和 x3 的系数. 分析 从行列式定义的一般项入手，将行标按标准顺序排列， 讨 论列标的所有可能值，并注意每一 项的符号. 设行列式的一般项为 4321)(pptaa，求 x4 和 x3 的系数 就是分别求有 4 个以及 3 个元素含 x 时的项。 若 4 个元素皆含 x，各行元素的列标可取如下值： p1: 1 p2: 1, 2 p3: 3 p4: 1, 4 仅当 p1p2p3p4= 1234 时才能构成四元排列。 若有 3 个元素含 x，各行元素的列标有以下四种情形 p1: 2, 3, 4 1 1 1 p2: 1, 2 3, 4 1, 2 1, 2 p3: 3 3 1, 2, 4 3 P4: 1, 4 1, 4 1, 4 2, 3 第一列中的数值可组成两个 4 元排列：2134, 4231，而表格后三列 所示的允许值中都缺少一个数，不能构成 4 元排列. 解 4 个元素含 x 的项只有 = 6x 4. 有 3 个元素含 x 的项有两个， +4321)4(1at 41321)(at)123(t 59687431 = 4x3-2x3 2x 3 x4 和 x3 的系数分别是 6 和 2. 练习 3 对例 6 中的行列式 f(x)，求 3)(dxf 提示 f(x)是 x 的 4 次多项式，设 f(x)=c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4，则 d3f(x)/dx3= 6a3+24a4x，故本题需先求行列式中 x4 和 x3 的系数. 答案 12)(f 练习 4 求 44324132 14)( axaxxf 中 x4、x 3 的 系数以及常数项。 提示 行列式中涉及 x4 和 x3 的项只有 1 项，即主 对角线上四个元 素的乘积(-1) t(1234) ，其余的项至)()(4321axa 多含 x2；而 f(x)的常数项就是 f(0). 答案 1, a11+a22+a33+a44, 4342132 1312)0(aaf 3 行列式的性质 例 7 设 , 则 = ( )3231aD 32312 14aaD (A) -3D (B) 3D (C) 12D (D) -12D 解一 323124 (-1) , aa上32312 4ac =3D3231 a上 答案为(B). 解二 将 按照第 2 列拆分为两个行列式之和，得D3134aa 3211a 上式右端第一个行列式等于零(因为第 1,2 列成比例) ，而第二个 行列式的各列分别提取公因子，得 DaD3 (-1)332 1 例 8 设 abcd=1, 证明行列式 =0.1 122ddccbbaa 证 将行列式按第 1 列拆分为两个行列式之和，即 D= 122dcb a1122dcba1122dcba2D上 对 D1 的各行分别提取 a,b,c 和 d，并利用 abcd=1,得 D1 = = dccbabd1 122dcba1122dccba12213112243dcba2D D= 0. 练习 5 设 , 12112nnnaaD 则 ( )1,1, 11aan (A) 1 (B) -1 (C) (-1)n (D)2 提示 将 D 左右翻转、再上下翻转(或者, 将 D 依副对角线翻转) 可得到 ，而左右或上下翻转可通 过 n(n-1)/2 次相邻的列( 行)对换 实现. 答案 (A) 例 9 如果 n 阶行列式 满足 , 则称 D 为反对)det(ijaDjiija 称行列式, 证明: 奇数阶的反对称行列式等于零. 证 (即 D 的主对角元全为零)jiijaiia0i 设 ， 则0 032132212113 nnnaaD 0 032133221211 nnnTaaD 0)1(323222113 nnnaaa上Dn)1( 由 n 是奇数，得 D = -D，故 D=0 4 行列式的计算和证明 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可以有多种计算方法； 有的行列式计算需要几种方法综合应用. 除了本章介绍的方法， 以后还会陆续学习到一些新的方法，平时应注意归纳、整理. 在计算行列式时，首先要仔细考察行列式在构造上的特点，利 用行列式的性质对它进行变换后，再考察是否能用常用的几种方 法. 对角线法则，只适用于二、三阶行列式 利用 n 阶行列式的定义 利用定义计算行列式是最基本的方法。 “要点和公式” 中的公式(1- 1) (1-4)就是用定义法证明的 . 例 10 用行列式的定义计算 00 005324353122321aa 解 根据定义，行列式的一般项为 ，当 其中任一元素为零时，乘积为零. 若不考虑各行元素中的零，各行元素的列标分别可取如下值： p1: 2, 3 p2: 1, 2, 3, 4, 5 p3: 1, 2, 3, 4, 5 p4: 2, 3 p5: 2, 3 上面的这些数值无法使 p1p2p3p4p5 组成任何一个 5 元排列 (因为其 中的 p1, p4, p5 只能取 2 或 3)，也就是说，一般项中的 5 个元素至 少有一个为零，故行列式的值等于零. 练习 6 用行列式的定义计算 (n2)n0012 001 答案 行列式的 n！项中只有 1 项不等于 0，即 !)1()1( 2)(,12,2)( naaDnnt 利用行列式性质，化为三角形行列式 利用性质将行列式化为三角形行列式是最常用的方法之一. “要 点和公式”中的公式 (1-5)和(1-6)就是用此法证明的 . 其基本步骤是，利用 ri+krj (ci+kcj)、提取公因子、r irj (cicj)等运算，将对角线以下或以上的元素化为零，然后利用公 式(1-1)(1-4)计算出结果 . 例 11 计算五阶行列式 210467532 59131D 解 210467532 5911D 2035124 4312rr203512 32r 201342 4r203142 *43r 6403211 35r 640212 *54r 20612 45r 21 (注意上面标有*的步骤，其目的是为了避免出现繁琐的分数运算) 5421)(ppt a 例 12 计算 n 阶三对角行列式 .21 12 Dn 分析 三 对 角 行 列 式 可 通 过 逐 行 (或 逐 列 )的 倍 加 运 算 ，将 主 对 角 线 以 下 或 以 上 的 元 素 化 成 零 . 解 nD21 1230 2 r 2134012 3 rnrn1045302 1 = n+11342 例 13 计算 n 阶行列式 .)1(23 1nn D 分析 型 的 行 列 式 可 看 作 是 的 变 形 ，可 通 过 逐 行 的 倍 加 运 算 ， 将 主 对 角 线 以 上 的 元 素 化 为 零 . 解 自倒数第 2 行开始往上，每行加后行， Dn )1(23 121 ),1( nnniri 2)!()1n 例 14 计算 n 阶爪型行列式 .11 321 n Dn 分析 称 为 爪型或箭型，可 利 用 主 对 角 元 ，通 过 r1+kri 或 c1+kci (i=2, 3, , n)运 算 ，将 其 化 为 或 . 解 1 32321 ),.3( nnnicDin2)1( 注 对于以上关于 型行列式的例题，它们的翻转、旋转 等形式，可循类似的思路进行计算. 练习 7 计算 n 阶行列式 x xaaDnn 121 答案 12 )1(ninxa 例 15 计算 n 阶行列式 xa xa Dn 分析 此行列式的特点是：各行(列 )元素之和相等. 可将第 2,3,n 列(行)都加到第一列( 行)上，对第 1 列( 行)提取公因子后，再化为三 角形行列式. 或 者 ，利 用 主 对 角 线 上 下 的 元 素 皆 为 a 的 特 点 ，将 第 一 行 乘 以 ( 1)并 加 至 其 它 各 行 ，化 为 爪 形 行 列 式 计 算 . 解一 将第 2,3,n 行都加到第一行上，并对第一行提取公因子 nD xa xnxrr 11 )( ).(321 将第一行乘以(a)加到其它各行， axaxnxir 11)( ),.32( 1上 1)()1( naxnx 解二 将第 1 行乘以(-1)并加至其它各行， nDaxxaaaxnir ),.32( 1 再将各列都加至第一列， axaxnici )1( ),.32( 1上 1)()1( naxnx 例 16 已知 xia (i=1,2,n)，证明： nxaa 321 nini axa11)( 分析 用 第 一 行 (列 )乘 以 ( 1)并 加 至 其 它 各 行 (列 )，即 可 化 为 爪 形 行 列 式 . 证 axxax aaxnirDnn 13211 ),.32( 由 于 xia， 将 第 i 行 (i=2, 3, , n)乘 a/(xi a)加 到 第 一 行 上 ， 得axxaxaxDnni 132121) )()()()( 3221axnni nini axxa121)( nini axxa11)( 练习 8. 计算 4 阶行列式 .xx11 提示 利用各行元素之和相等的特点进行计算，或者化 为爪型. 答案 .4x 例 17 计算(n 2)阶行列式 )det(ijnaD, 其中 jiaj ),21,(ji 。 分析 此行列式的特点是：在主 对角线上方或下方，相邻行(列) 中 的对应元素相差 1. 这种行列式可通过 逐 行 相 减 的 方 式 ：从 第 一 行 (列 )开 始 ，前 行 (列 ) 减 后 行 (列 )，或 者 ，从 最 后 行 (列 )开 始 ，后 行 (列 )减 去 前 行 (列 )，将 主对 角 线 以 上 或 以 下 的 元 素 化 为 相 同 的 数 ，然 后 再 计 算 . 解 依题意，行列式为 01321430211120 nnnD 013211),21( nniri 再 将 第 一 列 加 到 后 面 各 列 (注 意 ，这 样 做 是 根 据 行 列 式 的 什 么 特 点 ？ ) 1423102 021),32( nnnic 1)()()2( 练习 9 计算( n2)阶行列式 det(ijnaD, 其中 )1,max(jniij , ),2ji 提示 依题意，有 11321nnnD 在副对角线及其上方，各行的对应 元素相同. 从第一行开始，前行 减后行，即 ri-ri+1 (i=1, 2, , n-1)，可将副对角线以上元素全化为 0，即得公式(1-4)的形式. 或者，也可利用副对角线下方相邻列元素 相同的特点计算. 答案 n 2)(1) 分块法 若行列式是公式(1-5)和(1-6) 所示的分块三角形，或者容易变换 成这种形式，则可用分块法计算. 注意公式中的 A 和 B 必须是 “行数=列数”的数表 . 例 18 计算 004321 3965408372 分析 该行列式可分块为 的形式，其中OBA* ，321A432 1 于是可利用公式(1-6)进行计算. 解 432 121)(43D14 )(3)()(!324 练习 10 用分块法计算“练习 6”中的行列式. 练习 11 用分块法计算行列式 432 10xyx 提示 对换第 2,3 行，再对换第 2,3 列，然后分块计算 答案 )(4231xyx 拆分法 若行列式的某些行(列)为几个数之和，则可以考虑将行列式按这 些行(列)拆分为几个行列式之和，前面的例 8 采用的就是拆分法. 特别是，当每个元素都是两数之和时，行列式可拆分为 2n 个行 列式之和，在某些情况下，这个 2n 个行列式中有很多等于零，那 些不等于零的行列式也很容易计算. 例 19 证明 bacbacb2. 分析 等号左端，每列可看作为两个子列之和，各列取两个子列 之一，可将该行列式分解 为 23=8 个行列式之和. 左端行列式中，子列 1-(2)和 2-(1)相同，2-(2)和 3-(1)相同，3-(2)又 和 1-(1)相同 . 因此，在拆分所得的 8 个行列式中，只有两个可能不 为零，即，各列都取第 1 子列，或都取第 2 子列 其它情形下行列 式中都有两列相同，从而等于零. 证 对于左端行列式，每列取子列之一，可拆分为 23=8 个行列式 之和，其中只有两个可能不为 0，即 cbacbacb (再将第二个行列式的第 3 列依次和左 边的两列作相邻对换) bacbac2)1(bac2 例 20 计算 n 阶行列式 (n2)nn yxyxD11222121 分析 该行列式的特点是：任意两列 (行)的第一子列( 行)相同、第 二子列(行) 成比例. 解一 当 n3 时，将行列式按列拆分，得 2n 个行列式之和，其中 每个行列式都至少有两列相同或成比例，故 Dn=0. 当 n=2 时， 111222yxyxD)( 说明 从计算步骤可以看出，D n=0 的结论只有在 n3 时才成立. 计算 n 阶行列式时，要特别留心 Dn 的结果是否能用一个表达式统 一表示，否则，应分开讨论. 解二 当 n3 时，将第 1 列乘以( -1)并分别加到后面各列，得 =0)()(1 )(),2( 1122112yxyxyicDnnnn (第 2,n 列两两成比例) 当 n=2 时， )122 练习 12 用拆分法计算 (n2)nn babaD 21212 答案 当 n=2 时， )(212baD 当 n3 时，D n=0 例 21 计算 n 阶行列式 (n2)baa bn 2121 分析 把原行列式表示成如下形式 baabDnnn 02121 各列的第一子列成比例. 将行列式拆分为 2n 个行列式之和，这些行列式中可能不为零的 有 n+1 个，即全取第二子列，或者除了某一列取第一子列，其余的 都选第二子列. 解 baa bDnnn 02121 b bba11 baab22 + n nab)( 1121nnnbbab ib1 练习 13 用拆分法计算“练习 8”中的行列式. 练习 14 用拆分法解“练习 4”. 降阶展开法 - 行列式按行(列 )展开法则 利用行列式的性质，将行列式的某行(列) 元素尽可能多地化为零， 然后将行列式按该行(列)展开，从而变成 n-1 阶行列式的计算，这 称为降阶展开法，也是最常用的计算方法之一. 例 22 计算 4 阶行列式 51087432 65 分析 对于数字行列式，常用的计算方法是化为上(下)三角行列式 或者用降阶展开法， 这里采用降阶 展开法. 解 先将第 3 行元素尽可能多的化为零，再按该行展开 510874265 5107348436 2 31c 107384 61)( 行 展 开按 第 82609 34 12r 82639 列 展 开按 第 15 413)( 413)( 提 取 公 因 子 注 展开时注意不要遗漏了代数余子式的符号. 练习 15 用降阶展开法计算“练习 6”中的行列式. 提示 按最后一行( 列)展开. 练习 16 用降阶展开法计算 4432 110abba 提示 按第一行( 列)展开后分块计算. 答案 (a 2a3-b2a3)(a1a4-b1b4) 递推法 当 n 阶行列式的结构具有重复性时，可通过按某行(列) 展开，得 出它的线性递推公式，然后递推出结果. 例 23 计算 2n 阶行列式 abba 分析 将行列式按第 1 行( 列)展开，得两项之和，并 进而建立递推 公式. 解 按第 1 行展开，得 上上 1212122 )( nnnn babaababD 22)(nDa)(b 于是，递推可得 22)(nnaD4b1D n)(2 注 本题也可按如下方式给出递推公式 )3,1()3,1(2 nicnirDii abbab 22)(nDba 例 24 计算 n 阶三对角行列式 1 1baabn 分析 三 对角行列式 按 第 一 行 (列 )或 最 后 一 行 (列 )展 开 ，可 建 立 递 推 公 式 . 解 按最后一行展开，有 阶1101 )( nnn abbaDba 再 将 右 端 的 第 二 个 n-1 阶 行 列 式 按 最 后 一 列 展 开 ， 有21 )( naba 把递推公式重新写成， ) nDD 继续递推下去， ( 21naba)32 ) (12aDbn 由于 ，因此，212)(baDnn 将上式中的 n 分别用 n, n-1, n-2, 2 代替，给出 n-1 个等式， 然后对各个等式分别乘 1, a, a2, ., an-2，得 2123121 baDabnnn 将以上等式两端相加，得 221 bDnnnn 把 D1=a+b 代入上式，移项，得 abaa12)( )1(bbn若 若 练习 17 用递推法证明以下 n 阶行列式的结论： na aa1132 na 2121)( xa xan1132 nnnxxa121 1 1323nnbabnibab11)( 提示 这三个行列式按最后一行展开，可得 递推公式如下： 21)(nnDaD nna21)( x b 练习 18 试用递推法计算“例 12-14”中的 n 阶行列式. 例 25 设 ab，计算 n 阶( n2)行列式 nxba x 321 分析 该 行 列 式 的 特 点 是 主 对 角 线 上 面 都 是 a，下 面 都 是 b，其 转 置 行 列 式 DT 相 当 于 把 原 行 列 式 中 的 a 和 b 互 换 . 求 解 思 路 ：若 能 找 出 一 个 递 推 公 式 ，则 利 用 D=DT 可 得 出 另 一 个 递 推 公 式 (即 把 第 一 个 递 推 公 式 中 的 a,b 互 换 )，再 联 立 求 解 . 解 将行列式的最后一列写成如下形式的两数之和，并进行拆分 )(0321axbxaDnn )(0321321 axbabxan 其中，第二个行列式按最后一列展开，得 .1)( D 第一个行列式 abx aa 321 1 321 bxa提 取 公 因 子对 最 后 一 列 1 ),.21( 3 21bxabxanibcn 1)(nibx 于是，递推公式如下， 1)()(ninbxaDx Dn 的转置行列式相当于把 Dn 的 a 和 b 互换了位置，因此1)()(inTxbx 由于 ab，且 DnT =Dn，联立上面的两个递推公式，可解得 ba xxniin11)()( 注 a=b 的情形参见例 16. 练习 19 计算 n 阶行列式 (n2) xyxyx yxyx 提示 方法：采用例 25 的方法，可得 Dn=-yDn-1+(x+y)yn-1 和 Dn=yDn-1+(x-y)(-y)n-1； 方法：先“r 1-r2”，“c1-c2”，然后按第一行展开，再按第一列展开，可 得 . 答案 n 为偶数时, D n=yn; n 为奇数时, D n=xyn-1. 归纳法 如果得出的递推公式难以计算，可考虑通过 n=1,2,3的低阶行 列式去猜想一般结果，然后结合递推公式用归纳法证明猜想成立. 如 果 行 列 式 已 告 诉 结 果 ， 而 要 证 明 与 自 然 数 n 有 关 的 结 论 时 ， 也 可 考 虑 用 数 学 归 纳 法 证 明 . 例 26 计算 cos21cs1o2cs nD 解 将行列式按最后一行展开后，可得递推公式 21cos2nnDD 由于 ，cos1 coscs 于是，猜想 (*)n 用归纳法证明猜想： 已知(*)式对 n=1,2 成立. 假设结论对 n-1, n-2 阶行列式成立，即 ，)1cos(1D)2cos(2nDn 代入递推公式，得 12nn )2cos()cos(n n 故结论对一切自然数 n 成立。 注 本例中递推公式为三项的递 推公式. 如果是两项递推公式，则 归纳假设时只需假设结论对 n-1 成立 . 练习 20 设 ab, 用数学归纳法证明： abx xbax Dnnn )()( 提示 采用例 25 的方法，得 递推公式11)()(nnnbxaDx 加边法 加边法是一种升阶计算的方法：对行列式添加一行一列，构成 与 Dn 相等的 n+1 阶行列式. 通常，所加的行(列) 为 1, 0, , 0，而 所加的列( 行) 则根据具体情况而定. 例 27 计算 .2212 1211nnnn axax )0(nx 分析 若 忽 略 xi，则 每 行 (列 )元 素 都 是 a1, a2, , an 的 倍 数 . 可 通 过 在 左 上 角 添 加 一 行 一 列 ：行 (列 )为 “1, a1, a2, , an”，列 (行 )是 “1, 0, , 0”，从 而 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ，再 加 以 化 简 . 解 按如下方式添 加 一 行 一 列 ， 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ， (n+1 阶)2212 12110nn axaxaa 将第 1 行乘以a 1 加到第 2 行，乘以a 2 加到第 3 行，.，乘 以a n 加到第 n+1 行，即 (爪形)nn nin xaxairD 2111 ),.32( 由于 ，将第 2, 3, , (n+1)列分别乘以 a1/x1, a2/x2, , 021nx an/xn 并加至第 1 列，即 nniin xxaicxaD2121 ),.32( niixa12 例 28 计算 n 阶行列式 (n2) baxbax nnn 21221211 解 按如下方式添 加 一 行 一 列 ， 构 成 与 Dn 相 等 的 n+1 阶 行 列 式 ， (n+1 阶)nnn baxbaxxD 2122121100 )1,.32( nicnnnbabax 212121 当 n3 时，将上面的 n+1 阶行列式按第一行展开，则每个相应 的余子式都至少有两列元素成比例，从而为 0. 当 n=2 时， 212baxDn1)(21bxa 练习 21 用加边法计算“例 20”和“例 21”中的行列式. 利用范德蒙德行列式法 范德蒙德行列式是重要的特殊行列式，要善于识别其变式，得 出展开结果. 例 29 计算 4323232132 coscoscoscos 11 分析 从第 2 行开始，每行减去前行， 即 得 范 德 蒙 德 行 列 式 . 解 rDn1423 43232coscos1141)cos(ij ji 例 30 计算 .332211nnnD 分析 对 各 第 1,2,n 行 分 别 提 取 公 因 子 1, 2, 3, ,n，即 可 得 范 德 蒙 德 行 列 式 的 转 置 行 列 式 . 解 1 1132 ! nnn nD 上 )(4)13(2 ! )1()2(423ni 练习 22 已知 ，计算如下的 n+1 阶行列式：0121na nnnnn n babaaD112111 22112 提 示 对 各 第 1, 2, , n+1 行 分 别 提 取 , 答案 111 nijjijnijjini baaa 例 31 证 明 nijjnnnn xxxxxD1213212321 )()( 分析 通 过 添 加 一 行 一 列 ，使 其 成 为 n+1 阶 的 范 德 蒙 德 行 列 式 Vn+1，再 讨 论 Vn+1 与 Dn 之 间 的 关 系 . 证 添 加 一 行 一 列 ， 使 其 成 为 n+1 阶 范 德 蒙 德 行 列 式 Vn+1，nnnn yxxyxxV 211221 将 Vn+1 按 最 后 一 列 展 开 ， 得 1,21,121,2 )()()( nnnn MyyM 展 开 式 中 的 余 子 式 都 不 含 y，其 中 就是题设行列式 Dn 将 展 开 式 看 作 是 y 的 n 次 多 项 式 ， 其 中 yn-1 的 系 数 是 (*)D1, 又，根据范德蒙德行列式的结论，有 nijjn xxyxyV121 )()()( 上式中 yn-1 的系数是 (*)nijjxxx121)()( 结合(*)和(*)两式，得 nijjn xD12)( 析因子法 如果行列式中某些元素是 x 的多项式，则行列式可作为一个多 项式 f(x). 若通过某些变换，求出了多项式 f(x)的全部互素线性因式(一次 因式)，则这些因式的乘积 g(x)与行列式多项式 f(x)只相差常数乘 因子 k，于是，根据多项式恒等的定义，通过比较 g(x)和 f(x)的某 一项系数，可进一步求出 k. 例 32 求 的展开式 x xf 2 29135)( 分析 根据行列式的定义，容易看出 f(x)是 x 的 4 次多项式， 设 f(x) 的 4 个根为 a,b,c,d，则 f(x)可等价表示为 k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)，其中 k 可利用 f(x)中 x4 的的系数来确定. 解 f(x)是 x 的 4 次多项式. 当 x=1 时，行列式的第 1,2 行相同，有 f(x)=0；当 x=2 时，行 列式的 3,4 行相同，亦得 f(x)=0. 即，f(x )的四个根为 x=1,2. 设 f(x)=k(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) (*) 行列式中含 x4 的项为 (-1)t(1234)a11a22a33a44+(-1)t(3214)a13a22a31a44 = (2-x2)(9-x2)-2(2-x2)2(9-x2) =-3(2-x2)(9-x2) 故 f(x)中 x4 的系数是-3，于是，(*)式中 k=-3，得 f(x)=-3(x-1)(x+1)(x-2)(x+2) 练习 23 用析因子法计算 xaax aaDnnn1321121 提 示 Dn+1 是 x 的 n+1 次 多 项 式 ，其 n+1 个 根 分 别 是 , , ,2iaa 答案 niii xx1)( 注 本 题 也 可 以 利 用 行 列 式 各 行 元 素 之 和 相 等 的 特 点 进 行 计 算 . 5 和代数余子式有关的计算 例 33 设 , 求 D 中 x 的一次项的系数.11 02xD 分析 注意到行列式式中只有(1,2)元为 x，于是，将行列式按第一 行展开： ，得 x 的系数为 A12.14210Ax 解 将行列式按第一行展开，得 x 的系数为 41)(1212 M 2 例 34 设 , 求第四行元素的代数余子式之和.26053114 2D 分析 将第四行元素替 换为 1,1,1,1，这不会改变第四行元素的代 数余子式 .43241,A 再将替换所得的行列式按第四行展开，即得 .43421A 解 51123443421 A 练习 24 对“例 34”中的行列式，求: 4232164MM 提示 将余子式 变换成代数余子式，可看出所求的和式就是第三 列元素与第二列对应元素的代数余子式乘积之和，或者，通过替换 行列式的第二列元素进行计算. 答案 063246324 42121 AA 练习 25 设 , 求所有元素的代数余子式之和.n nDn13 提示 第一列元素的代数余子式之和就是 Dn，而其它各列元素的 代数余子式之和皆为 0. 答案 n-2 例 35 已知 , 求: 270513425431D ; . 43241A45 解 将行列式按第四行展开，有 7)(2)( 543241 DA 又，第二行元素和第四行对应元素代数余子式的乘积之和为 0，