对一道求轨迹问题的探究

-精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 1 对一道求轨迹问题的探究 解题是数学教学的中心，在大量 的数学题目中，有不少习题是非常具有 代表性的典型题目，能够起到很好的导 向作用.教师应该善于利用这些习题，通 过探究式教学，深入挖掘题目，充分发 挥习题作用培养学生的探究能力.笔者就 教学中的一道求轨迹的题目展开了探究. 中国论文网 /9/view-13003176.htm 一、问题的提出 例如图所示，已知 P（4，0）是 圆 x2+y2=36 内的一点，A，B 是圆上的 两个动点，且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程. 解法 1（几何法）设 Q（x，y） ， AB 的中点为 R，则 R 也是 PQ 的中点， -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 2 设 R（ x1，y1） ，由垂径定理 OR2=OB2-RB2=OB2-RP2，所以 x21+y21=36-（x1-4）2-y21， 即 x21+y21-4x1-10=0.又因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=x+42，y1=y+02，代入 x21+y21-4x1-10=0，得 x+422+y22-4x+42-10=0，整理得 x2+y2=56，即为 Q 点的轨迹方程 . 解法 2（构造圆）设 Q（x0，y0） ， 以 PQ 为直径构造圆：（x-x0） （x-4） +（y-y0）y=0，与圆 x2+y2=36 相减即 得两圆公共弦 AB 的直线方程： （x0+4）x+y0y-36-4x0=0.又因为 PQ 的 中点 x0+42，y02 在直线 AB 上，代入 （x0+4）x+y0y-36-4x0=0，得（x0+4） x0+42+y0y02-36-4x0=0，化简得 x20+y20=56，所以 Q 点的轨迹方程为 x2+y2=56. 解法 3（解析法）设圆上两点 A，B 的坐标为 A（x1，y1） ， B（x2 ，y2） ，所以 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 3 x21+y21=36，x22+y22=36. 因为四边形 APBQ 是矩形，所以 PA PB=0，代入 坐标（x1-4 ） （x2-4 ）+y1y2=0，化简 x1x2-4（x1+x2）+16+y1y2=0，设 Q（x0，y0） ，因为 AQ=PB，则 x0=x1+x2-4，y0=y1+y2 ，所以 x20+y20=（x1+x2-4 ） 2+（y1+y2）2=x21+x22+2x1x2- 8（x1+x2）+16+y21+y22+2y1y2=56， 所以 Q 点的轨迹方程为 x2+y2=56. 二、问题的探究 以上三种解法从三个不同的角度 解决了这道求轨迹问题，那么，如果 P 点及圆一般化后是否也有类似的结论呢？ 探究 1 如图所示，已知 P（a，b）是圆 x2+y2=r2 内的一点， a2+b2r2，A，B 是圆上的两个动点， 且满足APB=90，求矩形 APBQ 的顶 点 Q 的轨迹方程. 解法 1 设 Q（x，y） ，AB 的中点 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 4 为 R，则 R 也是 PQ 的中点，设 R（x1 ，y1） ，由垂径定理 OR2=OB2-RB2=OB2-RP2，所以 x21+y21=r2-（x1-a）2-（ y1-b）2， 即 2x21+2y21-2ax1-2by1=r2-a2- b2.又因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=x+a2，y1=y+b2，代入 2x21+2y21-2ax1-2by1=r2-a2-b2， 化简得 x2+y2=2r2-a2-b2，即为 Q 点的 轨迹方程. 解法 2 和解法 3 同理可得.（过程 略） 探究 2 如图所示，已知 P（a，b）是圆（x-c）2+（y-d）2=r2 内的一点， （a-c）2+（b-d） 2r2，A，B 是圆上的两个动点，且满 足APB=90，求矩形 APBQ 的顶cQ 的轨迹方程. 解答过程略，答案为（x-c） 2+（y-d）2=2r2-a2-b2. 三、问题的应用 解题思维的提升、能力的提高离 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 5 不开平时点点滴滴的积累.在平时的教学 与解题中，遇到有价值的问题时，如果 能在“一题多解 ”“延伸探究”中多用点心， 不仅能开拓思维的视野，还能将研究结 果自然地运用到同类题型上，从而提高 解题速度.上述结论在下面的两个问题上 就得到了很好的应用. 1.如图，在平面直角坐标系中， 已知圆 O：x2+y2=16 ，点 P（1，2） ， M，N 为圆 O 上不同的两点，且满足 PM PN=0.若 PQ=PM+PN，则|PQ|的 最小值为. 解因为 PM PN=0，所以 PMPN，又因为 PQ=PM+PN，所以四 边形 MPNQ 是矩形.由上面的结论可知 Q 的轨迹是圆 x2+y2=27，所以 |PQ|的最 小值为 33-5. 2.已知点 A（2，0） ，圆 x2+y2=16 上存在两点 M，N 使得 AMAN，则线段 MN 长的范围是. 解构造矩形 AMPN，设 MN 的中 -精选财经经济类资料- -最新财经经济资料-感谢阅读- 6 点为 B，OA 的中点为 C（1，0） ，在 APO 中，根据中位线定理，BC 平行且 等于 12OP.由上面结论知 P