2010大学生数学建模,b题上海世博会对上海市gdp影响的定量分析

上海世博会对上海市 GDP 影响的定量分析 摘 要 本文运用层次分析法和最小二乘法，建立了一个以 GDP 预测值和实际值的比值为 衡量指标的数学模型，定量分析了上海世博会的影响力。 本文分两部分，第一部分为了解决上海 GDP 增长问题，首先对上海 GDP 进行了宏 观分析研究，运用层次分析法，分别对 GDP 的第一、二、三产业进行加权分析，给出 了三大产业对上海的影响力的数学模型。第二部分，文章通过对从互联网获取的信息 进行整理,重点针对上海市 GDP 贡献最大的第三产业进行分析,利用旅游长途运输总额、 旅游住宿消费总额、旅游购物消费总额、旅游餐饮消费总额对第三产业 GDP 的衡量指 标又进行了具体分析并加权，最终得到 GDP 评价指标，增大了该评价体系的准确度。 最后，给出模型的优缺点。 关键词：定量评估、世博会、影响力、层次分析法、GDP、数学模型 2 1. 问题重述 2010 年世博会在中国上海举办的世界博览会。从 1851 年伦敦的“万国工业博览会” 开始，世博会正日益成为各国人民交流历史文化、展示科技成果、体现合作精神、展 望未来发展等的重要舞台。 问题：请你们选择感兴趣的某个侧面，建立数学模型，利用互联网数据，定量评 估2010年上海世博会的影响。具体通过下述步骤进行定量分析。 上海世博会对上海经济有很大的影响，我们从经济方面对上海世博会进行分析， 而GDP是上海市经济建设的主要决定方面，所以我们用GDP来定量上海世博会的影响力。 我们通过对上海世博会举办期间的重要经济指标GDP的分析，得知 GDP可以分成三个大的方面:第一产业的GDP，第二产业的GDP，第三产业的GDP， （1）运用层次分析法，确定三大产业对上海的影响力的权重，进而建立模型，讨 论上海世博会的影响力。 （2）同样利用层次分析法，确定国内旅游长途交通费用，国内旅游住宿费用，购 物费用，餐饮费用对上海的影响力的数学模型。 在以上两层的基础上我们定量评估2010年世博会对上海的影响力。 2.模型假设与符号说明 2.1 模型假设 1、假定从互联网上得到的数据可靠。 2、由于世博会尚未结束，假定世博会期间游客流量没有较大波动。 3、假定2010年下半年各产业生产总值与上半年持平。 2.2 符号说明 GDP评价指标R 第一产业评价指标 1r2 第二产业评价指标3 第三产业评价指标 旅游长途消费评价指标 1r 旅游住宿消费评价指标2 旅游购物消费评价指标3 旅游餐饮消费评价指标4r 相应于评价指标 的权重 imir 相应于评价指标 的权重j3j3 生产总值S 第一产业（农业）生产总值f 第二产业（工业）生产总值s 第三产业（服务业）生产总值t 3 总产值统计年限tz 第一产业（农业）统计年限f 第二产业（工业）统计年限s 第三产业（服务业）统计年限t 旅游长途消费统计年限c 上海住宿消费统计年限z 上海购物消费统计年限gt 上海餐饮消费统计年限a 旅游人均长途消费额（元）cM 旅游人均住宿消费额（元）z 旅游人均购物消费额（元）g 旅游人均餐饮消费额（元）a 全年旅游人次P 旅游长途消费总额（万元）cZ 旅游住宿消费总额（万元）z 旅游购物消费总额（万元）g 旅游餐饮消费总额（万元）a 表示误差统计中的相应统计量iZ 是数据点 的平均值 )4,321)(,iZti 3.问题分析 世博会对地区经济的发展都有大促进作用，本届上海世博会就对上海的经济起到 了促进作用。为了定量评估上海世博会对上海经济的影响力，我们从经济方面对上海 世博会进行分析。而GDP是经济建设评估的主要决定方面。所以我们用GDP来定量评估 上海世博会的影响力。 利用GDP的增长指标（GDP的实际值比预测值）作为评价世博会对经济的影响力的 衡量指标。 我们分析过程中运用层次分析法，首先通过对经济指标GDP的分析，将GDP分成三 个大的方面（第一层）:第一产业（以农业为主）的GDP，第二产业（以工业为主）的 GDP以及第三产业（服务业为主）的GDP。再将第三产业（第二层）分为国内旅游长途 交通费，国内旅游住宿费，购物费用，餐饮费用四层。 在第一层中，采用最小二乘法进行数据拟合得到各层中GDP增长的变化趋势，进而 可以通过对2010年GDP的实际值比预测值得到各层的衡量指标，利用层次分析方法，得 出各产业的指标对经济影响力的比例权重，进而确定三大产业反映世博会的影响力的 指标。 在第二层中，我用又利用同样的分析方法，给出旅游长途交通费，国内旅游住宿 费，购物费用，餐饮费用对第三产业影响的指标的权重，确定以上四项反映世博会对 第三产业的影响力的指标。 4.问题的建模和求解 4.1评价指标体系的确立 4 GDP 评价指 标体系 第一产业占 上海市 GDP 的比重指标 1E 第二产业占 上海市 GDP 的比重指标 2E 第三产业占 上海市 GDP 的比重指标 3E 国内旅游长 途 交通费用 1F国内旅游住 宿费用 2F国内旅游购 物费用 3F国内旅游餐 饮费用 4F 图 1：GDP 评价指标体系层次结构图、 4.1.1 第一层评价指标的确定 世博会影响力表现方面繁多，但我们只选取其中能够较好体现影响力的四个方面 进行分析，进一步对 2010 年世博会的影响力进行定量评估。根据问题分析部分所得结 论，我们构建了评价指标体系，确定了四个主要评价指标：一是上海市第一产业占上 海市 GDP 的比重为指标 ；二是上海市第二产业占上海市 GDP 的比重为指标 ；三是上1r 2r 海市第三产业占上海市 GDP 的比重为 。3r 指标分析： 为了对 GDP 评价指标进行定量分析，我们对产业指标做了如下定义： ，产 业 预 测 产 值 产 业 实 际 产 值ir 当 时，说明产业实际增长速度大于以往增长的速度，经济增长速度加快；当1ri 时，说明预测增长速度较准确，实际产值较往年并未产生突变，紧急发展平稳；i 当 时，说明实际增长速度较往年较往年有所放缓，连续多年则经济出现衰退趋势。 模型的 GDP 评价指标 为 加权之和，所以整个评价指标体系 模型如下：Rr321, R321rm 4.1.2 第二层评价指标的确定 与三大产业评价指标类似 包括四个方面：一是国内旅游长途交通费用 ；二是r3 r31 国内旅游住宿费用 ；三是国内旅游购物费用 ；四是国内旅游餐饮费用 ； 32 3 4 与三大产业评价指标类似的，我们对影响第三产业的四个方面进行了如下定义 ，当 时，实际增长速度大于以往增长的速度，说明世博会对该方预 测 收 入 实 际 收 入j3r13j 5 面具有促进作用；当 时，说明预测增长速度较准确，世博会对该方面没有明显13rj 作用；当 时，说明实际增长速度较往年有所放缓，说明世博会对该方面具有抑3j 制作用。 模型的评价指标 为 加权之和，所以第二层评价指标体系模型如下：3r3421,r3432rmrm 4.1.3 总体评价指标体系的建立 综合上面所述 GDP 评价指标 的函数关系为R)( 3433231321 rrR 4.2两层模型的合理的评价指标的具体确定 利用层次分析法，首先确定第二层的模型，进而在第二层基础上，再次给出第一 层的模型，综合两层给出评价上海世博会的影响力的总的模型。 4.2.1 第二层合理的评价指标体系的确定 (1) 第二层合理的评价指标体系。 与三大产业评价指标类似 包括四个方面：一是国内旅游长途交通费用 ；二是r3 r31 国内旅游住宿费用 ；三是国内旅游购物费用 ；四是国内旅游餐饮费用32 r3 4 模型的评价指标 为 加权之和，所以第二层评价指标体系模型如下：3421, 34323 rmmrr (2)第二层合理的指标模型的准备。 通过 2005-2009 年国内旅游长途交通费，国内旅游住宿费，购物费用，餐饮费用四 个方面确定第三产业的评价指标，下面给出上海市各年份第三产业的详细数据表 1（文 献【11】 ） ，进行分析得到 2010 年的第三产业上述四个方面的预测值。 表 1 上海市各年份第三产业的详细数据 人均花费（万人） 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 长途交通 Mc176 174 171 156 168 住宿 z219 211 209 206 224 购物 g533 536 572 609 596 餐饮 a220 217 221 212 235 人次（万） pi3618 3966 4064 4118 3835 结合表 1 数据利用 excel 分析法得到直观的上述四个方面的人均消费比重图（图 5） 。 6 人 均 消 费 比 重 图 长 途 交 通 住 宿 购 物 餐 饮 图 2 四个方面的人均消费比重图 接下来，我们通过这四个方面来确定各年第三产业 GDP 的发展趋势，然后判断上 海世博会是否对上海第三产业产生了巨大影响，其结果作为判断上海世博会影响力的 依据。 1、 首先我们为了研究交通运输的发展问题，需要得到人均长途交通运费数 据（表 2） 。 （即 2005 年，2006 年，2007 年，2008 年分别用 1，2，3，4 表示） ，对表 四加以整理，根据 得表 2。icPMZ 表 2 长途交通运费 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 长途交通费用 （元） 176 174 171 156 168 人次（万人） 3618 3966 4064 4118 3835 总 消 费 （亿元） 636768 64.0084 64.1096 64.2408 64.4280 结合上述数据形象表示出长途交通总运费的直观图（图 3） 。 63.263.4 63.663.8 6464.2 64.464.6 1 2 3 4 5 旅 客 长 途 交 通 费 用 总 收 入 旅 客 长 途 交 通 费 用 总收 入 图 3 长途交通总运费 用最小二乘法确定函数模型拟合曲线，从图象可直观看出数据之间满足的规律： ，batZcc 其中 旅游长途消费总额（万元） ， 旅游长途消费统计年限， 为参数。然后用最cZct a, 小二乘法准则，极小化 L 25121 )()( iciimicici btZtf 7 最优的必要条件是 。解方程 0,bLa 0)(21miciii ciciibabLatZ 化简得 micimici ciiicicitba112 将 和 的全部值代入，可解出 ，根据公式预测得 2010 年长途交xiyi 4.632.0zzZ 通花费 为 64.72 亿元。cZ 2、我们来研究住宿收入的发展，给出 2005 年-2009 年上海市旅游住宿费用的 数据（表 3） 。 表 3：上海市旅游住宿费用 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 住宿费用(元) 219 211 209 206 224 人 次（万） 3618 3966 4096 4118 3835 总收益（万元） 79.2342 83.6826 84.1672 84.8303 85.9040 结合上述数据形象表示出上海市旅游住宿费用的直观图（图 4） 。 74 76 78 80 82 84 86 88 1 2 3 4 5 旅 客 住 宿 消 费 收 入 旅 客 住 宿 消 费 收 入 图 4 上海市住宿收入费用 观察走势，按照（1）方法步骤得出数据满足的模型关系： 1.781.zztZ 其中 旅游住宿消费总额（万元） ， 上海旅游住宿费用统计年限，根据公式预测得zZt 2010年住宿花费 为88.7亿元。z 3、我们来研究购物收入的发展，给出 2005 年-2009 年上海市购物收入的数据 （表 4） 。 表 4 2005 年-2009 年上海市购物收入 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 8 购物费用（元） 533 536 572 609 596 人 次（万） 3618 3966 4064 4118 3835 总收益（亿元） 192.8 212.57 231.46 250.78 228.56 结合上述数据形象表示出上海市购物收入的直观图（图 5） 。 0 50 100 150 200 250 300 1 2 3 4 5 旅 客 购 物 总 费 用 旅 客 购 物 总 费 用 多 项 式 (旅 客 购 物 总费 用 ) 图 5 2005 年-2009 年上海市购物收入 观察走势，同（1）方法，假设数据变化符合二次曲线规律，设为 ，catMZg 2 其中 旅游购物消费总额 为待定参数。gZgtca, 应用非线性曲线拟合进行最小化处理： migiimigii atfLZ1221 求最优化的必要条件为 。 021tngiiingia 其中 tngii2 表达式中 为定值，此题等于 2。经过拟合运算，以及复杂计算，得出n ， 8.0267.Zg 根据公式预测得 2010 年购物花费为 为 269.5 亿元。gZ 4、我们来研究餐饮收入的发展，给出 2005 年-2009 年上海市旅游餐饮消费的 数据（表 5） 。 表 5 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 2009 年 餐饮费用（元） 220 217 221 212 235 人 次（万） 3618 3966 4064 4118 3835 9 总收益（万元） 79.59 86.06 89.8 87.36 90.12 结合上述数据形象表示出上海市购物收入的直观图（图 6） 。 7476 7880 8284 8688 9092 1 2 3 4 5 旅 游 餐 饮 收 入 旅 游 餐 饮 收 入 多 项 式 (旅 游 餐 饮 收入 ) 图 6 上海市购物收入的直观图 观察走势，应用 3.2 的方法计算应比较合理，按照如上方法步骤得出数据满足的 模型关系： 2163.80.aatZ 其中 旅游餐饮消费总额（万元） ， 为旅游餐饮消费额统计年限。aZ 根据公式预测得 2010 年餐饮花费为 为 96.246 亿元。a 5、误差分析 下面对以上所得结果进行统计分析，以确定其合理性： 应用公式 ， 241)(iiibatZSE 其中 表示误差平方和， 表示相应的统计量 ， 它反映了关于会直线的偏i SE 差。应用公式 ， 241iiZST 其中 表示总修正平方和， 是数据点 的平均值。 )4,321)(,iZti 可得回归平方和 。SER 与 值相对于直线 的偏差相比较， 反映 值 由回归直线 解Z ZSRbatZ 释的那部分偏差，定义决定系数 ，它度量了回归曲线的拟合程度2Q ， 的值越接近于 1，用回归直线对实际数据的拟合越好。ST EQ122 分别计算上述所得四个回归方程的 并做成表 6。2,STR 表 6 四个回归方程的 2,QST 10 SEST2Q 交通收益模型 0.0108 0.2944 0.963 住 宿 收 益 3.215 25.888 08758 餐 饮 收 益 252.06 1169.36 0.809 购 物 收 益 11.57 58.35 0.802 通过上表我们发现在合理范围内 的值均接近于 1，所以四种模型都较合理，可以应2Q 用。 （3）第二层在评价指标 的求解。r34321, 06.1r05.325.07.1 （4）第二层指标权重的确定。 根据 2009 年长途交通、住宿、购物、餐饮占人均消费比重（见图 2） ，利用层次 分析法模型，考虑各因素对第三产业指标 的重要性， 相对于 的判断矩3r1F2343E 阵为 确定权系数 、 、 、 、 ， 31m24m35 由方根发计算判断矩阵 每行元素乘积的 次方根AnnjiicW1n.,)( 其中 为第 行每个元素。从而得到ijC ， ， ， ，72.117.75.03W6.4 因为 ，所以对其进行化一计算得二级权重为432 ， ， ， 。0.1m2.31.3m14.03 这样我们确定了第二层第三产业评价指标的模型 13 6.7.05 rrr )( 4.22 第一层模型的合理的评价指标体系的确定 （1）第一层模型的合理的评价指标体系。 为了定量评估上海世博会对上海经济的影响力，我们从经济方面对上海世博会进 行分析。而 GDP 是经济建设评估的主要决定方面。所以我们用 GDP 来定量评估上海世 博会的影响力。利用 GDP 的增长量（GDP 的实际值比预测值）作为评价世博会对经济的 影响力的衡量指标。 （2） 第一层模型的指标体系准备。 11 在问题的分析中我们已经对这个问题有了深刻的理解，我们选用了层次分析法确定 权重系数，在确定权重之前，我们给出第一产业、第二产业和第三产业的 GDP 的发展 趋势，为此我们做了一下四个方面的考虑: 第一方面，生产总值的发展趋势。 我们从上海地方志网站上得到了 2003 年到 2008 年上海市的国民经济主要指标它 包括生产总值，第一产业产值，第二产业产值，第三产业产值等一些列重要数据。根 据这些数据我们绘制了表 7。从中可以看出上海市经济的构成、各产业占总产值的比重、 人均生产总值等数据，数据统计不详细，固因有的年份没有统计。由于数据量不足通 过对原始数据分析采用用最小二乘法确定函数模型。 表 7:上海市国民经济主要指标 项目 单位 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 年末户籍人 口 万 人 1283.35 1321.63 1352.39 1360.26 1378.86 1391.04 从业人员 万人 787.72 745.24 836.87 863.32 909.08 1053.24 生产总值 S亿元 6250.81 7450.27 8072.83 9164.10 12188.85 13698.15 第一产业 亿元 92.98 96.71 83.45 90.26 101.84 111.80 第二产业 亿元 3130.72 3788.22 3892.12 4452.92 5678.51 6235.92 第三产业 亿元 3027.11 3565.34 4097.26 4620.92 6408.50 7350.43 人均生产总 值(按户籍 人口计算) 万 元 4.67 5.23 5.99 6.76 6.64 73124 由于表 7 的数据复杂，所以我们精简出几组重要数据画出图 7。 92.98 96.71 83.45 90.26 101.84 111.802000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 生 产 总 值 第 一 产 业 第 二 产 业 第 三 产 业 图 7：上海市三大产业产值及其总产值 按往年经济发展规律全年经济指标可以按半年指标的两倍计算，所以通过对 2010 年上海上半年经济指标统计并经过计算得出表 8。 表 8：2010 年上海全年经济指标统计 生产总值 第一产业 第二产业 第三产业 2010 年 16886 亿 113.78 亿 7754.49 9017.73 12 购物费用 餐饮花费 国内旅游长 途交通费 国内旅游住 宿费 2010 年 303.1 98.2 68.8 93.6 为了给出各产业的总体趋势我们对 2003 年到 2008 年生产总值进行整理、分析， 得出表 9。 表 9：2003 年道 2008 年上海市生产总值 项 目 单位 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 生产总值 亿元 6250.81 7450.27 8072.83 9164.10 12188.85 13698.15 对表 9 数据经行分析并由表 9 作图 8，得生产总值曲线。 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 16000 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 生 产 总 值 生 产 总 值 图 8: 2003 年到 2008 年上海市生产总值折线图 利用上面的数据，用最小二乘法确定生产总值函数模型拟合直线， 设预期模型形式为 ，其中 是生产总值， 总产值统计年限，并决定BAStzStz 用 6 个数据点 来估计 和 。)6,5432,1(,itzi 用 记作 的最小二乘估计，然后用最小二乘法准则，得basz 出 2121 )()( miiimiii batstfsL 6m 最优的必要条件是两个 等于零。得方程：ba ,0)(21miiii iiibLst 化简得 mimi iiii stba112 将 和 的全部值代入，可解出tisi ;25.0,46.2a 13 。46.215.10tS 根据拟合后函数求的 2010 年生产总值为 16226.46 亿元。 第二方面，2010 年第一产业生产总值的预测值。 首先我们给出 2003 年2008 年上海市第一产业产值（表 10） ，结合表 3 给出上海 市第一产业产值柱状图 3，分析其第一产业各年份的变化规律。利用最小二乘法数据拟 合，预测 2010 年的第一产业生产总值。 表 10： 2003 年2008 年上海市第一产业产值 项 目 单位 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 第一产业 亿元 92.98 96.71 93.45 90.26 101.84 111.80 0 20 40 60 80 100 120 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 第 一 产 业 产 值 第 一 产 业 多 项 式 (第 一 产 业 ) 图 9：2003 年2008 年上海市第一产业产值柱状图 从图中我们可以看出，近几年来第一产业虽有所上升但变化不大。 用求解上海世博会对生产总值的影响的方法可以求出 ;08.3,087.ab3tSff 其中 第一产业（农业）生产总值， 第一产业（农业）统计年限。f ft 根据上述公式预测得 2010 年的第一产业生产总值 为 111.088 亿元。fS 对第一产业的年增长率进行分析如表 11，可知第一产业的生产总值占总产值不足 百分之二，相对于上海市经济发展来说所占比重很小。 表 11：第一产业生产总值及其占 GDP 总额的比重 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 生产总值 6250.81 7450.27 8072.83 9164.10 12188.85 13698.15 第一产业 92.98 96.71 83.45 90.26 101.84 111.80 所占比率 1.4% 1.2% 1.03% 1% 0.8% 0.8% 第三方面，2010 年第二产业生产总值的预测值。 通过上海年鉴数据的整理、分析，我们得到 2003 年2008 年上海市第二产业产值 （表 12） ，由表做第二产业的折线图（图 4） ，同时可以利用折线图观看其大致走势以 及大概数值，进而对第二产业的数据进行拟合处理，并利用最小二乘法进行分析，给 出第二产业生产总值的预测值。 表 12：2003 年2008 年上海市第二产业产值 项 目 单位 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 第二产业 亿元 3130.72 3788.22 3892.12 4452.92 5678.51 6235.92 14 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 第 二 产 业 产 值 第 二 产 业 图 10：2003 年2008 年上海市第一产业产值折线图 从图中可以看出第二产业产值，第二产业产值呈上升趋势，并在近几年增幅较大， 用最小二乘法确定函数模型拟合直线，测得 2010 年第二产业生产总值。 设预期模型形式为 ，其中 第二产业（工业）生产总值，BAtSsssS 第二产业（工业）统计年限， 拟合曲线的参数。st , 并决定用 6 个数据点 来要求极小化)6,54321(,itsi L2121 )( misisimi sisi battfL 其中 为参数， 。解下述方程：ba, batfsis)(0)(21misisii sisiibLt 化简得 misimisi siiisisitba112 题中 ，将 和 的全部值代入，可解出6msii 、;648.2,97.235a 代入方程得 97.35648.1tssS 根据公式预测得 2010 年第二产业生产总值 为 7325.54 亿元sS 第四方面，2010 年第三产业生产总值的预测值。 通过对上海市 2003 年至 2008 年第三产业的处理分析得第三产业成产总值（表 13） 由表做第三产业生产总值的直方图（图 11） ，以方便对第二产业的数据进行拟合处理， 同样利用最小二乘法进行分析，给出第三产业生产总值的预测值。 表 13：2003 年2008 年上海市第二产业产值 项 目 单位 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年 15 第三产业 亿元 3027.11 3565.34 4097.26 4620.92 6408.50 7350.43 3027.113565.34 4097.264620.92 6408.5 7350.43 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 2003年 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 第 三 产 业 第 三 产 业 多 项 式 (第 三 产 业 ) 图 11：第三产业生产总值的柱状走势图 进行数据拟合，得到极小化 mi ittimi titi SSafL1221 其中 第三产业（服务业）第 个的生产总值， 第三产业（服务业）第 个统计年Sti ti i 限， 。求最优化的必要条件为ittiaf021stntiiminaS 其中 t nia2 表达式中 为定值，此题中等于 2。经过运算，得出n ttS2.876.1 根据公式预测得 2010 年第三产业的生产总值 为 8787.4 亿元。tS 4.2.2 评价指标 的求解r321, 1)第一产业指标( )04.1r 2) 第二产业指标( )2r59.2 4.2.3 第一层指标权重的确定。 前面分析了 GDP 评价指标 是由第一产业占上海市 GDP 的比重指标、第二产业占R 上海市 GDP 的比重指标、第三产业占上海市 GDP 的比重指标加权组合，而且第三产业 又由国内旅游长途交通费用、国内旅游住宿费用、国内旅游购物费用、国内旅游餐饮 费用、国际旅游外汇收入组成。下面借助层次分析法确定 、 、 。GDP