2011年天津理解析

2011 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、(2011天津理,1) 是虚数单位，复数 ( )i13i (A) ( B) (C) (D)2i2i 2i12i 2、(2011天津理,2)设 ，则“ 且 ”时“ ”的 ( ),xyR2xy24xy (A)充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 (C)充分必要条件 （D ）既不充分而也不必要条件 3、(2011天津理,3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为 ( )i （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 4、(2011天津理,4)已知 为等差数列，其公差为-2，且 是 与 的等比中项，na7a39 为 的前 项和， ,则 的值为 ( )nSanN10S （A）-110 （B）-90 （C ）90 （D ）110 5、(2011天津理,5)在 的二项展开式中， 的系数为 ( ) 62x2x （A） （B） （C） （D）141543838 开始 1,0aii1ai50? 输出 i 开始 否 是 6、(2011天津理,6)如图，在 中，D 是边 AC 上的点，且ABC AB=AD，2AB= BD，BC=2BD，则 sinC 的值为 （ 3 ） （A） （B） （C） （D）6636 7、(2011天津理,7)已知 ， ， ，则( )2log.45a4log3.6b3log0.1)5c （A） （B） （C） （D）abcbcacab 8、(2011天津理,8)对实数 a 和 b，定义运算“ ”： 设函数,1,. ， 。若函数 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则22()()fxxR()yfxc 实数 c 的取值范围是 ( ) （A） （B） 3(,)(1,)23(,2)(1,)4 （C） （ D）,4, 二填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9、(2011天津理,9)一支田径队有男运动员 48 人，女运动员 36 人。若用分层抽样的方 法从该队的全体运动员中抽取一个样本容量为 21 的样本，则抽取男运动员的人数为 。 10、(2011天津理,10)一个几何体的三视图如右图所示（单位： m）则该 几何体的体积为 3m 11、(2011天津理,11)已知抛物线 C 的参数方程为 为参数） 。若斜率为 1 的直 28xty( A D C B 3 1 3 正视图 3 2 1 俯视图 1 3 侧视图 2 3 线经过抛物线 C 的焦点，且与圆 相切，则 。22(4)xyr(0)r 12、(2011天津理,12)如图，已知圆在两条弦 AB 与 CD 相交于点 F，E 是 AB 延长线上 一点，且 DF=CF= ,AF：FB：BE=4：2：1。若 CE 与圆相切，则线段 CE 的长为 2 。 BAFCDE 13、(2011天津理,13)已知集合 ，|3|4|9AxRx ，则集合 .1|46,(0)BxRttB 14、(2011天津理,14)已知直角梯形 ABCD 中， AD/BC， ,AD=2，BC=1 ，P 是腰 DC 上的动点，90ADC 则 的最小值为 。|3|PB 三解答题：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15、(2011天津理,15,13 分 )已知函数 ()tan2)4fx （）求 的定义域与最小正周期；()fx （）设 ，若 ，求 的大小。0,4()2cosf 16、(2011天津理,16,13 分 )学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有 3 个白球、 2 个黑球，乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两 个箱子里各随机摸出 2 个球，若摸出的白球不少于 2 个，则获奖。 （每次游戏结束后将球放 回原箱） （）求在 1 次游戏中， （i）摸出 3 个白球的概率； （ii）获奖的概率； （）求在 2 次游戏中获奖次数 X 的分布列及数学期望 E(X)。 D A C B P x y 17、(2011天津理,17,13 分 )如图，在三棱柱 中， 是正方形 的中1ABCH1AB 心， ， 平面 ，且 .12A1CH1A15H B1BA1AH1C （）求异面直线 与 所成角的余弦值；C1B （）求二面角 的正弦值； （）设 N 为棱 的中点，点 M 在平面 内，且 平面 ，求线段 BM1 1ABMN1ABC 的长。 18、(2011天津理,18,13 分 )在平面直角坐标系 xoy 中，点 为动点，(,)Pab0) 、 分别为椭圆 的左、右焦点，已知 为等腰三角形。1F221xyab12F （）求椭圆的离心率 （）设直线 与椭圆相交于 A,B 两点，M 是直线 上的点，满足 ，求2P2P2AMB 点 M 的轨迹方程。 19、(2011天津理,19,14 分 )已知 ，函数 ， ， （ 的图象连0a2()lnfxa0x()fx 续不断） （）求 的单调区间；()fx （）当 时，证明：存在 ，使 ；18a0(2,)x03()2fxf （）若存在均属于区间 的 ， ，且 ，使 。,31()f 证明 。ln32ln5a 20、(2011天津理,20,14 分 )已知数列 与 满足 ，nab120nnaba ， ，且 ，3(1)2 nnbN12a4 （）求 ， ， 的值；3a45 （）设 ， ，证明 是等比数列；21nncnc 5 （）设 ，证明 （ ）242kkSaa N4176nkSaN 参考答案 1、 【命题立意】本题主要考查了复数的除法运算，可以通过分子分母同乘以分母得共轭复 数把除法运算转化为乘法运算解答。 B【解析】 3(1)42iii 2、 【命题立意】本小题主要考查了充分必要条件的概念以及判断。 A【解析】若 且 ，则一定有 成立；反过来则不一定，所以选择 A。2xy24xy 3、 【命题立意】本题考查了程序框图中的基本运算和循环结构。 B【解析】执行过程 为 1;,2;,5;3,16;4,50aiiaiia 结束，选择 B。 4、 【命题立意】本小题主要考查了等差数列的通项公式、前 项和公式和等比中项等基础n 知识，熟练运用公式进行计算。 D【解析】由已知得 即2739a211()(4)6aa 解得 ，所以 ，所以120a0n n100210S 5、 【命题立意】本小题主要考查了二项式定理及二项展开式的通项公式和某一项的系数的 求解。 C【解析】 的二项展开式的通项为 62x 62631()(12rrrrrrxTCCx 令 得 ，所以 的系数为3r12x4368 6、 【命题立意】本小题主要考查了利用三角函数的定义和正弦定理解三角形。考查学生但 分析问题解决问题的能力。 D【解析】因为 AB=AD，2AB= BD，所以在等腰三角形 ABD 中，312cosBA 所以 ，在三角形 BDC 中，由正弦定理得，6in13D 16sini2CBD 7、 【命题立意】本小题考查了指数、对数的运算、对数函数值的大小比较和运用指数函数 的单调性比较大小。利用函数思想和等价转化思想解答问题。 C【解析】 ，因为 ，333 10loglog0.log0.1()5c433210l.6logl.4log. 所以根据指数函数 为增函数，所以xyacb 8、 【命题立意】本小题为新定义题，学会把信息迁移转化， 主要考查了分段函数、二次函数、二次不等式等基础知识， 运用二次函数的图象和值域解答方程的解的个数问题，学会 运用函数与方程思想，等价转化思想、分类讨论思想和数形 结合思想解答问题。 B【解析】根据定义，由 得22()1xx32x 所以当 时， ，31x)f 当 或 时， ，222()1x()()fxx 所以函数 的图象如图所示，所以函数 的图象与 的图象有两个交点，须使f ()fxyc 或 ,故选 B2c314c 9、 【命题立意】本小题考查了分层抽样及样本频数的计算。 12【解析】男运动员的人数为 （人）214836 10、 【命题立意】本小题主要考查几何体的三视图、圆锥的体积和棱柱的体积计算，考查空 间想象能力和计算能力。 【解析】此几何体为一个圆锥和一个长方体组成，其体积为621316V 11、 【命题立意】本小题主要考查了抛物线的参数方程与普通方程的互化，直线的方程、直 线与圆的位置关系的应用，运用等价转化思想解答问题。 【解析】 消去参数 t，得到抛物线标准方程为 ，所以抛物线的焦点为228xty 28yx ，所以过焦点斜率为 1 的直线 的方程为 ，圆心（4,0）到直线的距离(,0)Fl0x 为半径 |4-2|=r 12、 【命题立意】本题考查了平面几何知识，圆的切线、割线、相交弦长度之间的关系。 7 【解析】设 BE=x，因为 AF：FB：BE=4 ：2：1，所以 AF=4x， FB=2x，72 由两条弦 AB 与 CD 相交于点 F， DF=CF= ，得 ，所以 ，24()x12x 所以 AF=2， FB=1， ,由切割弦定理知 ,所以72AE274CEAB7CE 13、 【命题立意】本小题主要考查了绝对值不等式的解法、利用基本不等式求函数的最值、 集合的运算等基础知识。考查学生的综合分析能力和应用能力。 【解析】由|25x|3|4|9x 得 或 或349x349x 或 或 ，即 ，所以45x5|5Ax 由 ，得 ，所以(0,)t162xt1|46,(0)2,)BxRtt 所以 AB|25 14、 【命题立意】本小题主要考查了平面向量在几何中的应用和向量的坐标运算和模的计算， 还考查了建系的方法和函数求最值的方法，注重考查向量的应用，运用函数思想建立函数 关系解答。 5【解析】以 DA 为 x 轴，以 DC 为 y 轴建立直角坐标系， 则 A(2,0),设 ，则 ，设(0,)Cb(1Bb偶(0,)Pt)b 则 ， ，所以 ，2,PAt,)t3(5,4ABt 所以 ，因为 所以当 时 最小，2|3|5(34b0tb3b|PAB 最小为 5. 15、 【命题立意】本小题考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系， 二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力。 【解析】 （I）由 ， ，得 ， ，24xkZ82kxZ 所以 的定义域为 ， 的最小正周期为 ()f|,82()f2 （II）由 ，得 ， ，()2cosf(+)cos4f2in)4(cosin)( 整理得 sin(sin)(sin)c 因为 ，所以 ，因此 ，即 ，由(0,)4sinco021(cosin)1sin2 ，得 ，所以 ，即 。 ,2(,)26 16、 【命题立意】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、 互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力。 【解析】 （） （i）设“在 1 次游戏中摸出 个白球”为事件 （ ） ，则iiA0,123 2135()CPA (ii)设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B，则 ,又 ,23A2133255()CP 且 、 互斥，所以 . 2A3 2317()()50P （II）由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2. , ,279(0)(1)0P122()()C2749()(10PX 所以 X 的分布列是 X 0 1 2 P 95490 X 的数学期望 2147()050E 17、 【命题立意】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识， 考查空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力 【解析】方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点 B 为坐标原点。依题意得 z yx NB1BA1AMHC1C , ,(20)()B(2,5)C （I）易得 , ,于是,A1(20)AB 9 11 42cos, 3|ACB 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 。 1 （II）易知 , ,设平面 的法向量 ，则1(0,2)A1(2,5)AC1AC(,)mxyz ，即 ，不妨令 ，可得 ，同样地，1mC 50xyzx(5,02 设平面 的法向量 ，则 ,即 ，不妨令1AB(,)nxyz10nAB2yzx ，可得 ，于是 ，从而5y(0,52)cos,=7|mn ，3sin,7m 所以二面角 的正弦值为 1ACB357 （III）由 N 为棱 的中点，得 ，设 ， 2(,)N(,0)Mab ，由 平面 ，得 ,即235(,)2MabM1ABC1NAB ，解得 ，故 ，因 ()(02325()02ab 24ab2(,0)4M 此 ，所以线段 BM 的长 。 BM,0)41|BM 方法二：（I）由于 ,故 是异面直线 与 所成的角。因为 平1/AC1AAC1B1CH 面 ， ，又 是正方形 的中心， ， .可得1AH125H3AB 因此 ,所以异面直线 与 所成角的余弦值为 22111cos 3BAC 1 。 23 （II）连接 ,易知 ,又由于 , ,所以 ,过11B1AB11CA11CBA 点 A 作 于点 R，连接 ,于是 ，故 为二面角 的C1RRB 平面角，在 , ,连接1RtAB211 14sin2()3RAB1AB 在 中， ,从而1 2111114,co7RAB ,所以二面角 的正弦值为 135sin7ARB1ACB35 （III）因为 平面 ，所以 ,取 的中点 D，连接 ND，由于 N 是MN11MN1H 的中点，所以 且 ，又 平面 ，所以 平1C/DH52C1ABD 面 ，故 ,又 ,所以 平面 ，连接 MD 并延长交AB1AB1ABMN 于点 E，则 ,故 ,由于 ,得 。11M1/E114ED12E 延长 EM 交 AB 于点 F,可得 ,连接 NE，在 中， ，故12BFRtN ,所以 ，得 ,连接 BM，在 中2NDE 254NDE4FMtBFM . 204BMF 18、 【命题立意】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何形状、直线的方程、平面向量等基 础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力 与运算能力。 【解析】 （I）设 、 ，由题意，可得 ,即 ，1(,0)Fc2(,)21|PF2()acb 整理得 得 （舍去）或 ，所以 2()a1acae （II）由（I）知 ，可得椭圆方程为 ，直线 方程为,3cb22341xyc2PF A,B 两点的坐标满足方程组 ，消去 y 并整理，得3()yx()y ，解得 ，得方程组的解为 ， ，不妨设2580xc1280,5xc103xyc2853xcy ,设点 M 的坐标为 ，则3(,)5Ac(,3)Bc(,)x8(,),5AMxc ，由 ，得 ，于是,Mxy()yxc3y 11 ，由 ，即833(,),155AMyxx (,3)BMx2ABM ，化简得 ，将)(221863150xy218563xy 代入 ，得 ，所以 ，所以点 M 的轨迹方程是3cxy21056xc0x （ ） 。 21865 19、 【命题立意】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函 数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思 想方法。 【解析】(I) ， ，令 ，解得 21()axfx(0,)()0fx2ax 当 x 变化时， 与 的变化情况如下表：()f20,a2(,)a()fx 0 A 极大值 A 所以， 的单调递减区间是 ；单调递增区间是 ()f 2(,)a2(0,)a （II）证明：当 时， ，由（I ）知 在（0,2）内单调递增，18a21)ln8fxx)fx 在 内单调递减。令 ，由于 在（0,2）内单调递增，故(2,)3()gf(3f 即 ，取 ，则