2010高考数学热点二轮专题：四个二次问题难点解疑

四 个 二 次 问 题 难 点 解 疑 （ 原 创 ） 用 户 名 河 南 省 滑 县 第 六 高 中 马 守 林 2010.02.02 简 介 ： 从 已 下 十 各 方 面 结 合 例 题 对 四 个 二 次 问 题 难 点 解 疑 一 、 二 次 函 数 的 解 析 式 二 、 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 三 、 二 次 函 数 f(x)= y=ax2+bx+c (a0)在 p,q 上 的 最 值 四 、 二 次 不 等 式 在 一 个 区 间 上 判 解 问 题 。 五 、 二 次 方 程 y=ax2+bx+c 0(a0) 的 实 根 分 布 问 题 六 、 二 次 函 数 与 方 程 、 不 等 式 的 关 系 七 、 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 流 行 的 错 误 结 论 及 解 答 错 例 八 、 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 正 确 处 理 办 法 九 、 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 根 处 理 办 法 十 、 典 型 例 题 分 析 、 高 考 连 接 十 一 、 训 练 题 组 “二 次 函 数 、 二 次 不 等 式 、 一 元 二 次 方 程 ”以 及 二 次 曲 线 的 交 点 问 题 是 一 个 有 机 的 整 体 ， 它 们 相 互 渗 透 ， 组 成 了 一 个 特 殊 的 知 识 板 块 ， 屡 屡 出 现 在 高 考 试 题 中 ， 高 考 试 题 中 近 一 半 的 试 题 与 这 三 个 “二 次 ”问 题 有 关 ， 是 高 考 命 题 的 热 点 ， 也 是 难 点 ， 可 以 说 是 数 学 高 考 中 永 恒 的 话 题 ， 它 几 乎 涉 及 高 中 阶 段 所 学 过 的 各 种 数 学 思 想 方 法 ， 所 以 它 最 能 体 现 考 生 对 函 数 思 想 的 把 握 许 多 重 要 的 数 学 方 法 ， 如 配 方 法 、 换 元 法 、 分 类 讨 论 的 思 想 、 基 本 不 等 式 法 、 赋 值 法 等 都 与 它 有 密 切 的 联 系 ； 三 个 “二 次 ”不 但 具 有 丰 富 的 内 涵 ， 而 且 它 们 之 间 又 有 密 切 的 联 系 这 三 类 问 题 用 函 数 的 观 点 可 以 统 一 起 来 ， 问 题 可 以 相 互 转 化 ， 用 图 象 可 以 把 三 者 联 系 在 一 起 在 解 题 过 程 中 ， 如 果 能 恰 当 好 处 地 运 用 它 们 之 间 的 关 系 ， 可 以 化 无 形 为 有 形 、 化 抽 象 为 具 体 、 化 复 杂 为 简 单 ， 同 时 它 们 也 渗 透 着 函 数 与 方 程 、 转 化 与 化 归 、 分 类 与 整 合 和 数 形 结 合 等 多 种 思 想 方 法 ， 利 于 考 查 学 生 的 综 合 解 题 能 力 。 一 、 二 次 函 数 的 解 析 式 1.一 般 式 : y=ax2+bx+c； 2.顶 点 式 : y=a(x-h)2+k； 3.两 根 式 : y=a(x-x1)(x-x2). 二 、 二 次 函 数 的 图 象 和 性 质 设 y=ax2+bx+c； 当 a0 时 , 抛 物 线 开 口 向 上 ； 当 a0)在 p,q 上 的 最 值 当 a0,f(x)在 区 间 p,q 上 的 最 大 值 M， 最 小 值 m,令 x0=21 (p+q) 若 b20) (a0有 解 f(m)0或 f(n)0 （ 即 ： 存 在 一 个 x0,使 得 F(x) 0. ） (2) F(x)0恒 成 立 )(2fab 或 )(2fab 或 2na b (3) F(x)0无 解 f (m) 0且 f (n) 0（ 即 ： 不 存 在 一 个 x0m,使 得 F(x) 0. ） (4) F(x)0, 则 实 数 p的 取 值 范 围 。 (2)在 区 间 内 不 存 在 一 实 数 c使 f (c)0, 即 ： 在 区 间 ,内 f(x) 0恒 成 立 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 3 - - 4 - 令 cbxa)(f2 0)k(af321 a0 a0 =0 0) ax2+bx+c =0 (a0)的 根 有 两 相 异 实 根 12,()x 有 两 相 等 实 根 12bxa 没 有 实 根 ax2+bx+c 0 (y0)的 解 集 12, R y=ax2+bx+c c0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 流 行 的 错 误 结 论 及 解 答 错 例 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 错 误 结 论 1. 2f； 错 误 结 论 2. 12()0fk或 12bka ， 错 误 结 论 3. 12()0fk或 20)(11kabkf 或 221)(kf 错 误 结 论 4.只 有 一 根 2()f,或 1()f (检 验 )或 2(0f (检 验 )检 验 另 一 根 若 在 (k1,k2)内 成 立 错 例 1. 若 方 程 2ax x 1=0在 (0 , 1内 恰 有 一 解 ， 则 a的 范 围 是 ( ) A . a 1 C. 10)在 (k1,k2)根 的 分 布 确 实 是 一 个 难 点 ， 错 误 总 结 ， 错 误 解 答 在 各 种 资 料 上 经 常 出 现 ， 造 成 混 乱 。 八 、 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 正 确 处 理 办 法 正 确 处 理 办 法 可 考 虑 已 下 三 个 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 且 仅 有 一 个 根 1. 正 确 结 论 ： 12f或 20)(11kabf 或 2210)(kabkf 或21,0kabk 2.正 确 结 论 ： 只 有 一 根 12()0fk,或 1()fk或 2()0f检 验 另 一 根 若 在 (k1,k2)内 成 立 ， 或 检 验 重 根 是 否 在 (k1,k2)内 。 注 ： 实 际 操 作 比 1方 便 例 1. 若 方 程 2ax x 1=0在 (0 , 1内 恰 有 一 解 ， 则 a的 范 围 是 ( ) A . a 1 C. 1 1 C. 10)在 1212,;,);,kk内 有 且 仅 有 一 个 根 ？ （ 仍 可 利 用 以 上 三 个 办 法 ） 九 、 f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 根 处 理 办 法 1.f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 (k1,k2)内 有 根 可 分 （ 1） .有 两 根 ； （ 2） .有 且 仅 有 一 根 .两 种 既 ： （ 1） 有 两 根 2121kab)(f （ 2） .有 且 仅 有 一 根 12()0fk,或 1()fk或2()0fk 检 验 另 一 根 若 在 (k1,k2)内 成 立 ， 或 0检 验 重 根 是 否 在 (k1,k2)内 。 例 1： 设 集 合 ,|Axyx(,)|,0Bxyx 若 B， 求 a的 取 值 范 围 解 ： 21xx2(1)0ax则 问 题 转 化 为 ： ()()0f 在 0， 2上 有 实 根 ， 则 原 题 等 价 于 102()30afa 或 ()1230fa 解 得 12或 故 |1 2. 导 数 、 变 量 分 离 法 、 数 型 结 合 处 理 实 根 分 布 例 1： 设 集 合 2(,)|Axyax(,)|1,02Bxyx 若 B， 求 a的 取 值 范 围 y x y= m 3 0 1 y= x2+4x 3 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 9 - 解 ： 2()(1)0fxax在 0， 2上 不 可 能 有 零 根 ， 所 以 在 （ 0， 2上 有 实 根 ， 变 量 分 离 法 ： 评 注 ： 注 意 利 用 图 像 思 考 ： f (x)= ax2+bx+c =0(a0)在 1212,;,);,kk内 有 根 处 理 办 法 ？ （ 仍 可 利 用 以 上 两 个 办 法 ） 十 、 典 型 例 题 分 析 、 高 考 连 接 1 已 知 函 数 22()()fx与 非 负 x轴 至 少 有 一 个 交 点 ， 求 a的 取 值 范 围 解 法 一 ： 由 题 知 关 于 x的 方 程 10a至 少 有 一 个 非 负 实 根 ， 设 根 为 12,x 则 120x或 120 ， 得 94 解 法 二 ： 由 题 知 ()f或 ()210fa ， 得 924a 2： 已 知 曲 线 2()yxa 与 连 结 A( 1,1) , B(2,3)的 线 段 AB没 有 公 共 点 ， 求 实 数 a 的 取 值 范 围 。 解 法 一 ： 线 段 AB的 方 程 为 2x 3y+5=0 ( 1 x 2), 将 之 代 入 曲 线 方 程 ， 化 简 得 22x2 + 20x+25 18a2 0. 令 f (x) = 22x2 + 20x+25 18a2 ( 1 x 2), 则 原 题 等 价 于 抛 物 线 在 1,2上 与 x轴 无 交 点 , 1， 则x 是 增 函 数 ， 原 函 数 在 区 间 ,上 是 增 函 数 ， 则 要 求 对 称 轴 23 0， 矛 盾 ； 若 00,f(x)在( ,+)为增函数. 62 a3 a3 所以 a= . 62 ()若=128a 20,f(x)在(,+) 为增函数 ,所以 a2 , 32 即 a(, )( ,+) 62 62 ()若128a 20,即 0,f(x) 为增函数;当 x (x1,x2)时,f(x)0,得： 2233()0aaxx 讨论得：当 6(,)2时，解集为 (,); 当 ,a时，解集为 2233,)aa ; 当 2,时，解集为 2,)3 . 十一、训练题组 A 组（基础训练） 1、若 ，则方程 在 上恰有（ ）3a0123ax)2,( A、0 个根 B、1 个根 C、2 个根 D、3 个根 解析：令 ，则 .在 ， 时,)(xf axf3 )20(x ，又 ，故 图象在（0，2）上与 x 轴只有一个)(xf 49)(,0f )(f 交点，即 只有一个根. 答案：B 2、若 ，则方程 （ ）)(log)(42axf )1(2xxf 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 17 - A、一定有实数解 B、只有一个实数解 C、必有两个相异实数解 D、没有实数解 解：原方程即为 02log)1(42xax 整理得： log)l(44a .ll44 答案：A 3、已知函数 对任意实数 ，都有 成立，1)(22baxxf x)1()(xff 若当 时， 恒成立，则 的取值范围是 。1,x0 解析：由 知函数 的对称轴为 ， .)1)(f12a 在 上恒成立，即 恒成立.0)(f, )(22 ，即 ,解得 或 .32b2bb 答案： ),(), 4、若 ,且 ，则 的值是 .1yx10,0lgyxyx 解析：由 ，得 ，lg)( 即 .于是 ，从而 与 中必有一222l)()l 0lgxlgy 个为 0，即 x、y 中必有一个为 1，另一个为 10. 答案：11 5、已知函数 和 ，且 xf(x)-g(x)(23xbaf Rbax,)(2 0 对一切实数 x 恒成立. （1）证明： ；2 （2）求 a2+b2取值最大值时 f(x)与 g(x)的表达式. 解：（1）xf(x)-g(x)0，即 ,0)1(234xx 亦即： ，因为 xf(x)-g(x)0 对一切实数 x 恒成立，0)1(abx 故 恒成立2x a0，b 2-4a(1-a)0 即（2a-1） 2+b21. （2） 34)2(34)1(42aaa 当且仅当 即 时，a 2+b2的最大值 )1(432ab3b 此时： .xgxxf 223)(,1)( 6、设函数 .），（）（ R （1）若 ，则对任意实数均有 成立，求 的表达式；01）（f 0）（f ）（ xf （2）在（1）条件下，当 时， 是单调递增，求实数 k2,xkxf）（） （ 的取值范围. 解： ,即 .）（f 01ba1a 又对任意实数均有 成立）（ xf ,04)(,2a 21ba， - 18 - .12xf）（ （2） .xkxkxkfg )1(2)12()( 3 在 恒成立，则 ,043， 06）（ 解得 .k B 组（能力提高） 1、关于 的方程， 有解的充要条件是（ ）x）（ 1lgxa A、 或 B、 C、 D、 或 00a440a4a 解析：由原方程知， ，故知 ，原方程等价于0，12x， ）（ 结合函数 及 的图象知，当 时，函数 与ay）（）（ 12x0aaxy 的图象必有交点.）（）（ 2y 答案：C 2、已知 ，m、n 是方程 的两根，且 ， ，)()(bxf )(xf bnm 则实数 的大小关系是（ ）nmba、 A、 B、 nma C、 D、 解析：由已知 为方程 的两根， 即为方程、 0)(xa0)(xf 的两根为 02)(xn、 由 可得 ba 22b 则有 ， 即 nmb 所以可得 . 答案：A 3、设集合 325,|1|3|),( yyyxM）（）（ 若 ，且对 M 中的其他元素（ ）总有 则 .ba）（ , dc， ac 解析：依题意，本题等价于求函数 在 的最小1)()(f 325y 值分 及 可求得 ， .125y349minx 答案： 49 4、已知 为正整数，方程 的两实数为 ，且cba、 02cba ）（， 212xx ，则 的最小值为 .1|21x， 解析：依题意并知 从而可知 ,0,4212acxb），（， 0121x 高考资源网（） 您身边的高考专家 版权所有高考资源网- 19 - 所以有 又 为正整数，取 ， ,4 1042212 acbacxbfb）（ cb、 1c 则 ，所以 ，从而 ，所以 4425a ，又 ，所以 ，因此 的