2019届高三文科数学上学期月考试卷（三）含解析

2019届高三文科数学上学期月考试卷（三）含解析数学(文科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共8页。时量120分钟。满分150分。第卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ayy12x，x1，则满足ABB的集合B可以是(C)A.0，12 Bx|1x1 C.x0x12 Dx|x0【解析】x1，0y12x12112，Ay0y12.则满足ABB的集合BA，故B可以是x0x0x1x20t8或83t4，又t0，4，则所求概率为P13，故选A.8下列函数中，y的最小值为4的是(D)Ayx4x By2（x23）x22Cysin x4sin x(0x0时y4；当x0时y4，故A错误；y2（x23）x222x221x22.设tx22(t2)，则y2t1t易知函数在t2，)时单调递增，所以y32，故B错误；设tsin x(0x)则yt4t(0t1)，易知函数在t(0，1上单调递减，所以y5，故答案C错误；yex4ex4，故选D.9已知函数yf(x)的周期为2，当x1，1时f(x)x2，那么函数yf(x)的图象与函数y|lg x|的图象的交点共有(A)A10个 B9个 C8个 D1个【解析】作出两个函数的图象如下，函数yf(x)的周期为2，在1，0上为减函数，在0，1上为增函数，函数yf(x)在区间0，10上有5次周期性变化，在0，1、2，3、4，5、6，7、8，9上为增函数，在1，2、3，4、5，6、7，8、9，10上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为0，1，再看函数y|lg x|，在区间(0，1上为减函数，在区间1，)上为增函数，且当x1时y0；x10时y1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选A. 10长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45、60，则长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的体积为(A)A.776 B.73 C.473 D.76【解析】长方体ABCDA1B1C1D1中，AB1，B1C、C1D与底面ABCD所成的角分别为45、60，BCDD13，长方体ABCDA1B1C1D1的各顶点都在同一球面上，球的一条直径为7，可得半径R72，因此，该长方体ABCDA1B1C1D1的外接球的体积为V43R3776，故选A.11已知双曲线C：x2a2y2b21的左、右焦点分别是F1、F2，正三角形AF1F2的一边AF1与双曲线左支交于点B，且AF12BF1，则双曲线C的离心率为(B)A.321 B.31 C.331 D.312【解析】由AF12BF1可知：B为AC之中点BF2AC，F1F22c，BCc，BF23c，ecac3cc223131.故选B.12定义在R上的奇函数fx对任意x1，x2x1x2都有fx1fx2x1x20.若x，y满足不等式fx22xf2yy2，则当1x4时，y2xxy的取值范围是(D)A.3，12 B.3，12C.5，12 D.5，12【解析】设x1x2，则x1x20.由f（x1）f（x2）x1x20，即f(x1)f(x2)，所以函数f(x)为减函数又因为yf(x)为奇函数，所以f(x22x)f(2yy2)f(y22y)，所以x22xy22y，即(xy)(xy2)0.因为y2xxy13xxy131yx，而在条件（xy）（xy2）01x4下，易求得yx12，1，所以1yx12，2，所以31yx32，6，所以131yx5，12，即y2xxy5，12，故选D.选择题答题卡题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D D C A A A D A A B D第卷本卷包括必考题和选考题两部分第1321题为必考题，每个试题考生都必须作答第2223题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本题共4小题，每小题5分13将某班参加社会实践编号为：1，2，3，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知4号，20号，28号，36号，44号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是_12_【解析】根据系统抽样的概念，所取的6个样本的编号应成等差数列，故所求编号为12.14在ABC中，AB4，AC3，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，则AE(ABAC)的值为_72_【解析】AE(ABAC)(ADDE)(ABAC)AD(ABAC)DE(ABAC)AD(ABAC)12(ABAC)(ABAC)12(AB2AC2)12(169)72.15过点2，1且在x轴上截距是在y轴上截距的两倍的直线的方程为_x2y0或x2y40_【解析】截距都为零时直线过原点，斜率为k12，直线为x2y0，当截距不为零时，设方程为x2aya1，代入点2，1得a2，所以方程为x2y40.16小张和小王两位同学课余时间玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”有甲、乙、丙3个柱子，甲柱子上有n(n3)个盘子，从上往下大小不等，大的在下，小的在上(如图)，把这n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上游戏结束，在移动过程中每次只能够移动一个盘子，甲、乙、丙3个柱子都可以利用，且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下，设游戏结束需要移动的最少次数为an，则： (1)a3_7_；(2)当n3时，an1，an的关系可表示为_an12an1_【解析】(1)易求a32317；(2)当n3时，要将n个盘子从甲柱子全部移到乙柱子上，只需将上面n1个盘子转移到丙柱子上，最少需要移动an1次，再将最大的那个盘子转移到乙柱子上，最少需要移动1次，最后将丙柱子上的n1个盘子移动到乙柱子上，最少需要移动an1次，即an2an11次，所以an12an1.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17(本小题满分12分)某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生的平均分是85.(1)计算甲班7位学生成绩的方差s2；(2)从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，求甲班，乙班各一人的概率【解析】(1)甲班学生的平均分是85，92968080x857978785，x5.3分则甲班7位学生成绩的方差为s21762725202027211240.6分(2)甲班成绩在90分以上的学生有两名，分别记为A，B，乙班成绩在90分以上的学生有三名，分别记为C，D，E.从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况：A，B，A，C，A，D，A，E，B，C，B，D，B，E，C，D，C，E，D，E.8分其中两人均来自甲班(或乙班)共有4种情况：A，B，D，C，E，D，(C，E).10分记“甲班，乙班各一人”为事件M，则PM141035，故从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生，甲班，乙班各一人的概率为35.12分 18(本小题满分12分)如图，PA平面ABCD，矩形ABCD的边长AB1，BC2，E为BC的中点(1)证明：PEDE；(2)如果异面直线AE与PD所成的角的大小为3，求PA的长及三棱锥APED的体积 【解析】(1)证明：连接AE，由ABBE1，得AE2，1分同理DE2，AE2DE24AD2，由勾股定理逆定理得AED90，DEAE3分PA平面ABCD，PADE，又PAAEA，DE平面PAE，5分PEDE.6分(2)取PA的中点M，AD的中点N，连MC，NC，MN，AC，NCAE，MNPD，MNC的大小等于异面直线PD与AE所成的角或其补角的大小，即MNC23或3.(或者由观察可知，MNC23，不需分类讨论)设PAx，则NC2，MN1x24，MC5x24.若MNC23，由cosMNC1x2425x2421x24212，得PA2.9分VAPDEVPDAE131222223.10分若MNC3，由cosMNC1x2425x2421x24212，显然不适合题意.11分综上所述，PA2，三棱锥APED的体积为23.12分19(本小题满分12分)已知数列an的前n项和为Sn，且满足a12，an13Sn20(nN*)(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在整数对(m，n)，使得等式a2nman4m8成立？若存在，请求出所有满足条件的(m，n)；若不存在，请说明理由【解析】(1)当n2时，(an1an)3(SnSn1)0，即(an1an)3an0，an12an(n2)，2分另由a22a1得an12an，所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，3分an(2)n.4分(2)把an(2)n代入a2nman4m8中得(2)2nm(2)n4m8，m（2）2n8（2）n4，m（2）2n168（2）n4(2)n48（2）n4，6分要使m是整数，则须有8（2）n4是整数，(2)n4能被8整除，7分当n1时，(2)n42，8（2）n44，此时m2，8分当n2时，(2)n48，8（2）n41，此时m1，9分当n3时，(2)n44，8（2）n42，此时m14，10分当n4，|(2)n4|20，8（2）n4不可能是整数，11分综上所述，所求满足条件的整数对有(2，1)，(1，2)，(14，3).12分20(本小题满分12分)已知椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3.(1)求椭圆C的方程；(2)若椭圆C有一个内接的平行四边形，其一组对边分别过椭圆C的左右两焦点F1和F2，求这个平行四边形面积的最大值【解析】(1)椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3，依题意a2b2c2，abc231，bc3，解得a2，b3，c1，椭圆C的方程为：x24y231.4分(2)设过椭圆右焦点F2的直线l：xty1与椭圆交于A，B两点，则xty1，3x24y212，整理，得：(3t24)y26ty90，由韦达定理，得：y1y26t3t24，y1y293t24，6分|y1y2|（y1y2）24y1y2144t21443t2412t213t24，SOABSOF2ASOF2B12|OF2|y1y2|6t213t24，椭圆C的内接平行四边形面积为S4SOAB24t213t24，10分令m1t21，则Sf(m)243m1m，注意到Sf(m)在1，)上单调递减，Smaxf(1)6，当且仅当m1，即t0时等号成立故这个平行四边形面积的最大值为6.12分21(本小题满分12分)设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)x1时，f(x)有极值，证明：当0，2时，|f(cos )f(sin )|2.【解析】(1)f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aexx1a(x2)，1分当a12时，由f(x)12ex(x2)20，所以f(x)在R上单增递增；2分当0a12时，由f(x)0，得x2或x1a；由f(x)0，得1ax2，f(x)在，1a和(2，)上单调递增，在1a，2上单调递减.4分当a12时，由f(x)0，得x1a或x2，由f(x)0，得2x1a，f(x)在(，2)和1a，上单调递增，在2，1a上单调递减.6分(2)证明：x1时，f(x)有极值，f(1)3e(a1)0，a1，7分f(x)ex(x2x1)，f(x)ex(x1)(x2).8分由f(x)0，得2x1，f(x)在2，1上单增.9分0，2，cos ，sin 0，1，10分f（cos ）f（sin ）f(1)f(0)e12.12分请考生在第2223两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。做答时请写清题号。22(本小题满分10分)选修44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：x3cos sin y3sin cos (为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：sin 61.(1)求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标【解析】(1)曲线x3cos sin ，y3sin cos ，可得：x23cos223sin cos sin2，y23sin223sin cos cos2，曲线C的普通方程：x2y24.3分直线l：sin6132sin 12cos ，直线l的直角坐标方程：x3y20.5分 (2)圆C的圆心(0，0)半径为2，圆心C到直线的距离为1，这三个点在平行直线l1与l2上，如图：直线l1与l2与l的距离为1.l1：x3y0，l2：x3y40.x2y21，x3y0，可得x3，y1，x3，y1两个交点(3，1)、(3，1)；x2y21，x3y40，