2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_10

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 几个重要的不等 式 学业分层测评 13 数学归纳法的应用 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1用数学归纳法证明不等式 (n2)的过程中，由 n k 递推到 1n 1 1n 2 12n1324 n k1 时不等式左边( ) A增加了一项 12 k 1 B增加了两项 和 12k 1 12k 2 C增加了 B 中的两项但减少了一项 1k 1 D以上均不正确 【解析】 由 1k 2 1k 3 12 k 1 1k 1 1k 2 12k 12k 1 12k 2 1k 1 12k 1 .故选 C. 12k 2 【答案】 C 2利用数学归纳法证明不等式“ n223,422 4，利用数学归纳法验证 n5，故 n0的值为 5. 【答案】 C 3对于不等式 对大于 1 的一切自然数 n 都成立，则自然数 m 的 1n 1 1n 2 12nm24 最大值为( ) A12 B13 C14 D不存在 【解析】 令 f(n) ， 1n 1 1n 2 12n 易知 f(n)是单调递增的 f(n)的最小值为 f(2) . 13 14 712 依题意 ， m0) 即 1 ， a b nan nba ( a b)n an n ， bana 故( a b)n an nban1 . 10设 01，又 a11 a(1 a) a1， 1ak 同时， ak1 a ，假设 n k 时，不等式成 122 132 142 1 n 1 212 1n 2 立，则当 n k1 时，应推证的目标是( ) A. 122 132 1 k 2 212 1k 3 B. 122 132 1 k 1 212 1k 2 C. 122 132 1k212 1k 1 D. 122 132 1 k 1 212 1k 【解析】 注意不等式两边含变量“ n”的式子，因此当 n k1 时，应该是含“ n” 的式子发生变化，所以 n k1 时，应为 122 132 1 k 1 2 1 k 2 212 . 1 k 1 2 【答案】 A 2若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则( k1)棱柱对角面的个数为( ) A2 f(k) B k1 f(k) C f(k) k D f(k)2 【解析】 由 n k 到 n k1 时增加的对角面的个数与底面上由 n k 到 n k1 时 增加的对角线一样，设 n k 时，底面为 A1A2Ak， n k1 时底面为 A1A2A3AkAk1 ，增加 的对角线为 A2Ak1 ， A3Ak1 ， A4Ak1 ， Ak1 Ak1 ， A1Ak，共有( k1)条，因此对角面也 增加了( k1)个 【答案】 B 3设平面内有 n 条直线( n3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过 同一点，若用 f(n)表示这 n 条直线的交点的个数，则 f(4)_；当 n4 时， f(n) _(用 n 表示). 【导学号：94910042】 【解析】 f(3)2， f(4)5， f(5)9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来 直线的条数 f(4) f(3)3， f(5) f(4)4， f(n) f(n1) n1. 5 累加，得 f(n) f(3)34( n1) (n3)， 3 n 12 f(n) (n1)( n2) 12 【答案】 5 (n1)( n2) 12 4已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a1 ， an2 SnSn1 0( n2， nN ) 12 (1)判断 是否为等差数列，并证明你的结论； 1Sn (2)证明： S S S .21 2 2n 12 14n 【解】 (1) S1 a1 ， 12 2. 1S1 当 n2 时， an Sn Sn1 ， 即 Sn Sn1 2 SnSn1 . 2， 1Sn 1Sn 1 故 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列 1Sn (2)证明：当 n1 时， S ，成立21 14 12 141 假设 n k(k1，且 kN )时，不等式成立，即 S S S 成立，21 2 2k 12 14k 则当 n k1 时， S S S S 21 2 2k 2k 1 12 14k 14 k 1 2 12 14 1