2016-2017学年高中数学 全册北师大版选修4-5_12

1 【课堂新坐标】2016-2017 学年高中数学 第 2 章 几个重要的不等 式 学业分层测评 7 综合法与分析法 北师大版选修 4-5 (建议用时：45 分钟) 学业达标 一、选择题 1要证明 b，则下列不等式成立的是( ) A. b2 1a1b C. D a|c|b|c| ac2 1 bc2 1 【解析】 ab， c210， ，故选 C. ac2 1 bc2 1 【答案】 C 3要证 a2 b21 a2b20，只需证( ) A2 ab1 a2b20 B a2 b21 0 a4 b42 C. 1 a2b20( a b2 )2 D( a21)( b21)0 【解析】 a2 b21 a2b2( a21)( b21)0. 【答案】 D 4设 a， bR，则“ a b1”是“4 ab1”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 若“ a b1” ，则 4ab4 a(1 a)4 11；若“4 ab1” ，取(a 12)2 2 a4， b1， a b3，即“ a b1”不成立故“ a b1”是“4 ab1”的充分不 必要条件 【答案】 A 5设 ab0， m ， n ，则( )a b a b A mn C m n D不能确定 【解析】 ab0， ， 0， b.a b a b ab 2( )2 a b2 ( a b)(a b) a b ab 2( b )0， b0， c0，且 a b c1，若 M ，则 M 的最小值( 1a 1) (1b 1) (1c 1) 为_. 【导学号：94910022】 【解析】 M 8 8，( ba ca)(ab cb)(ac bc) bca acb abc 当且仅当 a b c 时，等号成立 13 【答案】 8 7有以下四个不等式： ( x1)( x3)( x2) 2； ab b20； a2 b22| ab|. 1|a| 1 其中恒成立的为_(写出序号即可) 【答案】 8已知 a0， b0 且 a b1，则 与 8 的大小关系是_ 1a 1b 1ab 【解析】 a0， b0 且 a b1，1 a b2 0，进而得 2，于是得ab 1ab 4. 1ab 又 2 8. 1a 1b 1ab a b 1ab 2ab 1ab 3 故得 8. 1a 1b 1ab 【答案】 8 1a 1b 1ab 三、解答题 9设 a0， b0， c0.证明： (1) ； 1a 1b 4a b (2) . 12a 12b 12c 1b c 1c a 1a b 【证明】 (1) a0， b0， ( a b) 2 2 4，( 1a 1b) ab 1ab . 1a 1b 4a b (2)由(1)知 . 1a 1b 4a b 同理， ， ，三式相加，得： 1b 1c 4b c 1c 1a 4c a 2 ，( 1a 1b 1c) 4b c 4c a 4a b . 12a 12b 12c 1b c 1c a 1a b 10如果 ab， ab1，求证： a2 b22 (a b)，并指明何值时取“”号2 【证明】 因为 ab，所以 a b0， 欲证 a2 b22 (a b)，2 只需证 2 . a2 b2a b 2 因为 ab， a b0，又知 ab1. 所以 a2 b2a b a2 b2 2ab 2aba b a b 2 2a b ( a b) 2 2 . 2a b a b 2a b 2 所以 2 ，即 a2 b22 (a b) a2 b2a b 2 2 当且仅当 a b ，即 a b 且 ab1 时，取等号 2a b 2 能力提升 4 1设 1，则( ) 13 (13)b (13)a A aa ab ba B aa ba ab C ab aa ba D ab ba aa 【解析】 1， 13 (13)b (13)a 0 a b1， aa b1， ab aa， aaab aaba (ab)a 0 1， a0， ab 1， aa ba，( ab)a ab aa ba.故选 C. 【答案】 C 2若 a， b， cR，且 ab bc ac1，则下列不等式成立的是( ) A a2 b2 c22 B( a b c)23 C. 2 1a 1b 1c 3 D abc(a b c) 13 【解析】 因为 a2 b22 ab， a2 c22 ac， b2 c22 bc，将三式相加，得 2(a2 b2 c2)2 ab2 bc2 ac， 即 a2 b2 c21. 又因为( a b c)2 a2 b2 c22 ab2 bc2 ac， 所以( a b c)21213.故 B 成立 【答案】 B 3若不等式 0 在条件 abc 时恒成立，则实数 的取值范围是 1a b 1b c c a _ 【解析】 不等式可化为 . 1a b 1b c a c abc， a b0， b c0， a c0， 恒成立 a ca b a cb c 5 a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c 2 224， 4. b ca b a bb c 故实数 的取值范围是(，4) 【答案】 (，4) 4已知 a， b， c 均为正数，证明： a2 b2 c2 6 ，并确定 a， b， c 为( 1a 1b 1c)2 3 何值时等号成立 【证明】 因为 a， b， c 均为正数，由平均值不等式得 a2 b2 c23( abc) ， 23 3( abc) ， 1a 1b 1c -13 所以 29( abc) ， ( 1a 1b 1c) -23 故 a2 b2 c2 23( abc) 9( abc) .( 1a 1b 1c) 23 -23