1-4高等数学同济大学第六版本

习题 14 1 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之 解 不一定 例如 当 x0 时 (x)2x (x)3x 都是无穷小 但 不是无穷32)(lim0x)( 小 2 根据定义证明 (1) 当 x3 时为无穷小; 9y (2) 当 x0 时为无穷小 1sin 证明 (1)当 x3 时 因为 0 当 0|x3| 时 有|39|2xy | 所以当 x3 时 为无穷小 2xy (2)当 x0 时 因为 0 当 0|x0| 时 有|1sin| |1sin|xy 所以当 x0 时 为无穷小 xysi 3 根据定义证明 函数 为当 x0 时的无穷大 问 x 应满足什么条件 y21 能使|y|10 4？ 证明 分析 要使|y|M 只须 即| xy 2|1 21|Mx 证明 因为M0 使当 0|x0| 时 有 21x 所以当 x0 时 函数 是无穷大xy 取 M104 则 当 时 |y|10 4 14210|4 4 求下列极限并说明理由 (1) ; x12lim (2) 0 解 (1)因为 而当 x 时 是无穷小 所以 x2121limx (2)因为 (x1) 而当 x0 时 x 为无穷小 所以 1 0 5 根据函数极限或无穷大定义 填写下表 f(x)A f(x) f(x) f(x) xx0 0 0 使 当 0|xx0|时 有恒|f( x)A| xx0 xx0 x 0 X0 使当| x|X 时 有恒|f( x)|M x x 解 f(x)A f(x) f(x) f(x) xx0 0 0 使当 0|xx0|时 有 恒|f(x)A| M0 0 使 当 0|xx0|时 有恒|f(x)| M M0 0 使 当 0|xx0|时 有恒 f(x)M M0 0 使 当 0|xx0|时 有恒 f(x)M xx0 0 0 使当 0xx0时 有 恒|f(x)A| M0 0 使 当 0xx0时 有恒|f(x)| M M0 0 使 当 0xx0时 有恒 f(x)M M0 0 使 当 0xx0时 有恒 f(x)M xx0 0 0 使当 0x0x时 有 恒|f(x)A| M0 0 使 当 0x0x时 有恒|f(x)| M M0 0 使 当 0x0x时 有恒 f(x)M M0 0 使 当 0x0x时 有恒 f(x)M x 0 X0 使 当|x| X 时 有恒 |f(x)A| 0 X0 使 当|x| X 时 有恒 |f(x)|M 0 X0 使 当|x| X 时 有恒 f(x)M 0 X0 使 当|x| X 时 有恒 f(x)M x 0 X0 使 当 xX 时 有恒 |f(x)A| 0 X0 使 当 xX 时 有恒 |f(x)|M 0 X0 使 当 xX 时 有恒 f(x)M 0 X0 使 当 xX 时 有恒 f(x)M x 0 X0 使 当 xX 时 有恒 |f(x)A| 0 X0 使 当 xX 时 有恒 |f(x)|M 0 X0 使 当 xX 时 有恒 f(x)M 0 X0 使 当 xX 时 有恒 f(x)M 6 函数 yxcos x 在( )内是否有界？这个函数是否为当 x 时的无穷大？ 为什么？ 解 函数 yxcos x 在( )内无界 这是因为M0 在( )内总能找到这样的 x 使得|y(x)|M 例如 y(2k)2k cos2k2k (k0 1 2 ) 当 k 充分大时 就有| y(2k )|M 当 x 时 函数 yxcos x 不是无穷大 这是因为M0 找不到这样一个时刻 N 使对一切大于 N 的 x 都有| y(x)|M 例如 (k0 1 2 ) )2cos()2()( k 对任何大的 N 当 k 充分大时 总有 但|y (x)|0M x 7 证明 函数 在区间(0 1上无界 但这函数不是当 x0+时的无穷大 xy1sin 证明 函数 在区间(0 1上无界 这是因为 M0 在(0 1 中总可以找到点 xk 使 y(xk)M 例如当 (k0 1 2 )2 时 有 2)(kxy 当 k 充分大时 y(xk)M 当 x0+ 时 函数 不是无穷大 这是因为1s