2010年(湖北卷)数学文(解析版)

绝密*启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学 本试题卷共 4 页，三大题 21 小题，全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 *祝考试顺利* 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号走宝在试题卷和答题卡上，并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A（或 B）后的方 框涂黑。 2. 选择题的作答：每小题迁出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后。再选涂其他答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3. 填空题和解答题用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内， 答在试题卷、草稿纸上无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1. 设集合 M=1,2,4,8,N=x|x 是 2 的倍数 ，则 MN= A.2,4 B.1,2,4 C.2,4,8 D1,2,8 2.函数 f(x)= 的最小正周期为3sin(),4xR A. B.x C.2 D.42 3.已知函数 ，则3 log,0()2xf1()9f A.4 B. C.-4 D-1414 4.用 、 、 表示三条不同的直线， 表示平面，给出下列命题：abcy 若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；acbca 若 ， ，则 ；若 ， ，则 .yayb A. B. C. D. 5. 函数 的定义域为0.51log(43)yx A.( ,1) B( ,) C（1，+） D. ( ,1)（1，+）34 34 6现有名同学支听同时进行的个课外知识讲座，名每同学可自由选择其中的一个讲座，不 同选法的种数是 A B. C. D.455656265432 7.已知等比数列 中，各项都是正数，且 ， 成等差数列，则ma1a32, 91078a A. B. C. D12122 8.已知 和点 M 满足 .若存在实 使得 成立，ABC0ABCmAMCm 则 = A.2 B.3 C.4 D.5 9.若直线 与曲线 有公共点，则 b 的取值范围是yxb234yx A. , B. ,3121 C.-1, D. ,32 10.记实数 中的最大数为 ，最小数为 min .已知12,xnmax12,nx12,xn 的三边边长为 、 、 （ ）,定义它的倾斜度为ABCabci,bcabct 则“t=1”是“ 为等边三解形 ”的 A,充分布不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题卡对应题号的位 置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写，答错位置，书写不清，摸棱两可均不得分。 11.在 的展开中， 的系数为_。210()x4x 12.已知： 式中变量 满足的束条件 则 z 的最大值为_。2,xy,xy,12yx 13.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为 0.9.则服用这咱新药的 4 个病人中至少 3 人被 治愈的概率为_（用数字作答） 。 14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm 的水，若放入三个相同的珠（球的半么与 圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半 径是_cm. 15.已知椭圆 的两焦点为 ,点 满足 2:1xcy12F0(,)Pxy ,则| |+ |的取值范围为_，直线 与椭圆 C 的公共 201PF2 012y 点个数_。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已经函数 22cosin1(),()sin2.4xfgx ()函数 的图象可由函数 的图象经过怎样变化得出？f （）求函数 的最小值，并求使用 取得最小值的 的集合。()()hxfgx()hxx 17.（本小题满分 12 分） 为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同位置捕捞 出 100 条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克） ，并将所得数据分组，画出频率 分布直方图（如图所示） （）在答题卡上的表格中填写相应的频率； （）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少； （）将上面捕捞的 100 条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的 多处不同位置捕捞出 120 条鱼，其中带有记号的鱼有 6 条，请根据这一情况来 估计该水库中鱼的总条 数。 18.（本小题满分 12 分） 如图，在四面体 ABOC 中，OCOA。OCOB，AOB=120，且 OA=OB=OC=1 （）设 P 为 AC 的中点，Q 在 AB 上且 AB=3AQ，证明：PQOA； （）求二面角 O-AC-B 的平面角的余弦值。 19.（本小题满分 12 分） 已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为 a（单位：m 2） ，其中有部分旧住房需要拆 除。当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的 10%建设新住房，同事也拆除面积为 b（单位：m 2）的旧住房。 （）分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式： （）如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了 30%，则每年 拆除的旧住房面积 b 是多少？（计算时取 1.15=1.6） 20.（本小题满分 13 分） 已知一条曲线 C 在 y 轴右边， C 上没一点到点 F（1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差 都是 1。 （）求曲线 C 的方程 （）是否存在正数 m，对于过点 M（m ，0）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直 线，都有 0？若存在，求出 m 的取值范围；若不存在，请说明理由。FAB 21.（本小题满分 14 分） 设函数 ，其中 a0，曲线 在点321axbcf（ ） =xyf（ ） P（0， ）处的切线方程为 y=1（ ） （）确定 b、c 的值 （）设曲线 在点（ ）及（ ）处的切线都过点（0,2）xyf（ ） 1xf， （ ） 2xf， （ ） 证明：当 时，12x12()()f （）若过点（0,2）可作曲线 的三条不同切线，求 a 的取值范围。yf（ ） 2010 年高考试题数学文 （湖北卷）解析版 1 【答案】C 【解析】因为 N=x|x 是 2 的倍数= ，0，2，4，6，8， ，故 2,48MN 所以 C 正确. 2 【答案】D 【解析】由 T=| |=4，故 D 正确.21 3 【答案】B 【解析】根据分段函数可得 ，则 ，31()log29f211()()94ff 所以 B 正确. 4.【答案】C 【解析】根据平行直线的传递性可知正确；在长方体模型中容易观察出中 a、c 还可 以平行或异面；中 a、b 还可以相交；是真命题，故 C 正确. 5.【答案】A 【解析】由 且 4x-30 可解得 ，故 A 正确.0.5(43)0logx314x 6.【答案】A 【解析】因为每位同学均有 5 种讲座可选择，所以 6 位同学共有 种，故 A 正确.65 7.【答案】C 【解析】依题意可得： ，即 ，则有 可3122()a312a211aq 得 ，解得 或 （舍）21qq 所以 ，故 C 正确 892329016771aqa 8.【答案】B 【解析】由题目条件可知，M 为ABC 的重心，连接 AM 并延长交 BC 于 D，则 ，因为 AD 为中线则 ，即 ，联23AD 2ABDmAM2A 立可得 m=3，故 B 正确 . 9.【答案】D 【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2,3）半径22()(3)4(13)xyy 为 2 的半圆，依据数形结合，当直线 y=x+b 与此半圆相切时须满足圆心（ 2,3）到直线 y=x- b 距离等于 2，解得 或 ，因为是下半圆故可得b=1+- （舍） ，当直线过（0，3）时，解得 b=3,故 所以 D 正确.1 123,b 10.【答案】B 【解析】若ABC 为等边三角形时 ， 即 a=b=c，则 则 l=1；若ABC 为等腰三角形，如max,1in,bcabc a=2,b=2,c=3 时， 则 ，此时 l=1 仍成立但ABC 不为等边三角32a,mi,23ccbba 形,所以 B 正确. 11.【答案】45 【解析】 展开式即是 10 个（1-x 2）相乘，要得到 x4，则取 2 个 1-x2 中的210()x （-x 2）相乘，其余选 1，则系数为 ，故系数为 45.210()5C 12.【答案】5 【解析】同理科 13.【答案】0.9744 【解析】分情况讨论:若共有 3 人被治愈，则 ；314(0.9)1.)02916PC 若共有 4 人被治愈，则 ，故至少有 3 人被治愈概率42(0.9).65 .12097P 14.【答案】4 【解析】设球半径为 r，则由 可得 ,解得 r=4.3V柱柱3322486rr 15.【答案】 2,0 【解析】依题意知，点 P 在椭圆内部.画出图形，由数形结合可得，当 P 在原点处时 ，当 P 在椭圆顶点处时，取到 为12max(|) F12max(|)F ，故范围为 .因为 在椭圆( =2,0,)xy 的内部，则直线 上的点（x, y）均在椭圆外，故 21xy001xy 此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为 0 个. 16.本小题主要考查三角函数的恒等变换、图象变换以及最值等基础知识和运算能力.（满 分 12 分） 解：（） ，11()cos2in()sin2()4fxxx 所以要得到 f（x）的图象只需要把 g（x）的图象向左平移 个单位长度，再将 所得的图象向上平移 个单位长度即可.4 （） .1121()()cos2incos()44hxfgxxx 当 2x+ =2k +z 时，h（x）取得最小值 .4()kZ2 h（x）取得最小值时，对应的 x 的集合为 .3|,8xkZ 16.本小题主要考查频率分布直方图、频数、概率等基本概念和总体分布的估计等统计方 法.（满分 12 分） 解:（）根据频率分布直方图可知，频率 =组距 （频率/ 组距） ，故可得下表 分组 频率1.0,5 0.05 0.20., 0.281520 0.30., 0.153 0.02 （）0.30+0.15+0.02=0.47，所以数据落在 中的概率约为 0.47.1.5,30 （） ，所以水库中鱼的总条数约为 2000 条.1206 18.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时 考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.（满分 12 分） （）在平面 OAB 内作 ON OA 交 AB 于 N，连接 CN，在AOB 中， 且 OA=OB, 。在 RtAON 中， ,120AOB030ABO 03AN 。N 在ONB 中， . 。又129N12B AB=3AQ， Q 为 AN 的中点。在CAN 中， 分别为 AC,AN 的中点，,PQ .由 OA OC，OA ON 知：OA 平面 CON。又 NC 平面/PCN CON, OA CN.由 PQ/CN,知 OA PQ. （）连结 PN,PO. 由 OC OA，OC OB 知：OC 平面 OAB。 又 ON 平面 OAB， OC ON.又由 ON OA 知：ON 平面 AOC. OP 是 NP 在平面 AOC 内的射影。 在等腰 RtCOA 中，P 为 AC 的中点， AC OP。 根据三垂线定理，知：AC NP. 为二面角 O-AC-B 的平面角。ON 在等腰 RtCOA 中，OC=OA=1, OP= 。2 在 Rt AON 中，ON=OA = ，tan30 在 RtPON 中，PN= = ,2OPN6 cos 。15306PN 解法二: ()取 O 为坐标原点，以 OA,OC 所在的直线为 x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 O- xyz（如图所示） 。 则 A(1,0,0),C（0,0,1） ，B 。13(,0)2 。 。ACP为 中 点 ， P(,)3A(,0)2 又由已知，可得 1QB,.36（ -， ） 又 . .O=A+(,0)2 31P=OQ-(0,-)62 .故 。31PQOA=(0,-)(,0=62APQOA （）记平面 ABC 的法向量 ，则由 n ,n ，且 =（1,0，-1） 。n123（ ,） CBA 得 故可取 。 13220,n(,) 又平面 OAC 的法向量为 e=（0,1,0） 。 3,1,03cosne55A（ ， ） （ ）， 二面角 O-AC-B 的平面角是锐角，记为 ，则 。15cos 19.本小题主要考查阅读资料、提取信息、建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识 分析和解决实际问题的能力.（满分 12 分） 解：（1）第 1 年末的住房面积 ，1ab.am0A2（ ） 第 2 年末的住房面积 ，21ab=ab0A 2（ ） （ ） （ +） .-.（ ） （）第 3 年末的住房面积 ，2 22111()a()()000bA 第 4 年末的住房面积 ，2a()1()1bA 第 5 年末的住房面积 24a()()()1000 55-1.6ba 依题意可知， ，解得 ，320ab 所以每年拆除的旧房面积为 。()20m 20.本小题主要考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的性质等基础知识，同时考查推理 运算的能力.（满分 13 分） 解：（）设 P（x，y）是曲线 C 上任意一点，那么点 P（x，y）满足：2(1)1(0) 化简得 .4 ()设过点 M（m，0） （m0）的直线 l 与曲线 C 的交点为 A ，B 。12(,)xy2(,) 设 l 的方程为 x=ty+m，由 得 ，=16（