2012全国高考湖北卷文科数学解析

2012 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷解析） 数学（文史类）试卷 一、选择题： 1已知集合 2|30,AxxR， |05,BxxN，则满足条件CB 的集合 C 的个数为 A1 B2 C3 D4 考点分析：本题考察集合间的关系。 难易度： 解析: , AB, ,则集合 C 的个数为 ，故选,1,34122 D 2容量为 20 的样本数据，分组后的频数如下表： 则样本数据落在区间 10,4)的频率为 A0.35 B0.45 C0.55 D0.65 考点分析：本题考察频率分布。 难易度： 解析：样本数据落在区间 10,4)的个数 ，所以频率 ，23459n90.452p 故选 B 3函数 ()cos2fx在区间 0,2上的零点的个数为 A2 B3 C4 D5 考点分析：本题考察函数与方程，函数的零点 难易度： 解析： ()cos2fx，则 或 ，0xcos2x 考虑到 ，则 ，所以零点的个数为 5，故选 D, 357,4 4命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 分组 10,2),30),4)0,5),60),7) 频数 2 3 4 5 4 2 2 A任意一个有理数，它的平方是有理数 B任意一个无理数，它的平方不是有理 数 C存在一个有理数，它的平方是有理数 D存在一个无理数，它的平方不是有理 数 考点分析：本题考察含有全称量词与存在量词，以及命题的否定。 难易度： 解析：对于命题的否定，既否定条件，也否定结论，故选 B 5过点 (1,)P的直线，将圆形区域 2(,)|4xy分为两部分，使得这两部分的面积之 差最大，则该直线的方程为 A 20xy B 10y C 0 D 340xy 考点分析：本题考察直线与圆的位置关系。 难易度： 解析：要使两部分的面积之差最大，则应使过该点的弦长最短，即弦垂直于直线 ，op ，且过点 ，则 ，整理得 ，故选 A1k,1yx20xy 6已知定义在区间 上的函数0,2 的图象如图所示，()yfx 则 的图象为 考点分析：本题考察函数图象的对称变换。 难易度： 解析： ，故选 B轴 对 称的 图 象 关 于与 对 称 ，的 图 象 关 于与 xx)-(2yx)-(21ffy 7定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ，(,0)(,)()f na 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”. 现有定义在nfafx第 6 题图O 1 2 xAO 1 2 xyBO 1 2 xyCO 1 2 xyDO 1 2 xy 数学（文史类）试题参考答案 第 3 页（共 13 页） 上的如下函数：(,0)(,) ； ； ； .2fx()2xf()|fx()ln|fx 则其中是“保等比数列函数”的 的序号为 f A B C D 考点分析：本题考察等比数列的判定。 难易度： 解析 ：记等比数列 的公比为 q na 对， 成 立,)(21-nf 对， 不 为 常 数 ， 不 成 立 1-1-)(-nnaqnaf 对， )(1-nf 成 立,1-n 对 ， = ，故选 c)(1-naf 不 为 常 数 ， 故 不 成 立1-1-llnnaq 8设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， . 若三边的长为连续的三个正整ABCBCbc 数，且 ， ，则 为320cosbAi:sinBC A B C D 4:325:675:436:54 考点分析：本题考察三角函数的正，余弦定理。 难易度： 解析： cbaC:sin:si ，故排除 B。cba 对 A， 连续自然数，故 a=4,b=3,c=2, ,显然不成立。, 02-cosbcaA 对 C， 连续自然数，故 a=5,b=4,c=3， ，显然不成立。cba, 故选 D。 9设 ，则“ ”是“ ”的,R11abcab A充分条件但不是必要条件 B必要条件但不是充分条件 4 C充分必要条件 D既不充分也不必要的条件 考点分析：本题考察柯西不等式，常用逻辑用语。 难易度： 解析： =abccba1caba 由柯西不等式可得： 2 222c)b(a )a(c)( 即： ，ba1bcab ，ccba 1 已知 ，可得 故选 Aab1abc 10如图，在圆心角为直角的扇形 OAB 中，分别以 OA， OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A 12 B 1 C D 2 考点分析：本题考察几何概型。 难易度： 解析：利用图形的拆分计算不规则图形的面积。假设弧 在单位圆上。AB 半圆内部的阴影面积可以利用圆与三角形面积的做差, 21112484s 半圆外部的阴影面积 222 1484s第 10 题图 数学（文史类）试题参考答案 第 5 页（共 13 页） 所以， ，故选 C122 184pSs 二、填空题 11一支田径运动队有男运动员 56 人，女运动员 42 人. 现用分层抽样的方法抽取若干人， 若抽取的男运动员有 8 人，则抽取的女运动员有 人 考点分析：本题考察分层抽样的方法。 难易度： 解析：设女运动员有 x 人，根据分层抽样方法的特点，有 ，求出 .85642xx 12若 3ii1ba（ ，b为 实数， i为虚数单位） ，则 ab . 考点分析：本题考察复数的基本运算。 难易度： 解析： biaiiib23131 .0323 baba 13已知向量 (1,0)a， (,1)，则 （）与 同向的单位向量的坐标表示为 ； （）向量 3b与向量 a夹角的余弦值为 . 考点分析：本题考察向量的的坐标表示和数量积，及夹角公式。 难易度： 解析：（）由于 ，于是同方向的单位向量（设为 ）1,2e ；03,|bae （）由于 于是由向;1|)0,(512|, aab 量的夹角（设为 ）公式 . 2|3|cos 6 侧视图正视图 4 4 2 俯视图 1 1 第 15 题图 14若变量 ,xy满足约束条件 1,3,xy 则目标函数 23zxy的最小值是 . 考点分析：本题考察线性规划问题求最优解. 难易度： 解析：由约束条件可得可行域，如图所示，阴影部分为可行域，由 Z=2x+3y 得 y= ,把直线 向上平移，由图像可知，图像经过 B（1,0）处zx213xy32 时，z=2x+3y 取得最小值，即 .minz 15已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 . 考点分析：本题考察空间几何体的三视图. 难易度： 解析：由三视图可知，该几何体的形状如图所示，左右面为短型圆柱体，中间 第 16 题图 数学（文史类）试题参考答案 第 7 页（共 13 页） 为 长型圆柱体，则短型圆柱体 长型圆柱体.421V.4122V 所以 16阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 s . 考点分析：本题考察程序框图。 难易度： 解析：最终输出结果为 9 17传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数. 他们研究 过如图所示的三角形数： 将三角形数 1，3，6，10， 记为数列 na，将可被 5 整除的三角形数按从小到大 的顺序组成一个新数列 nb. 可以推测： （） 201b是数列 a中的第_项； （） k_.（用 k 表示） 考点分析：本题考察数列的通项公式。 难易度： 解析：通过观察图中的三角形数，可以知道 ，于是 的21321nanna 通项公式 ； 是 中能被 5 整除的项，则可写出 的前几项，如下：21nanbn nb ，通过观察，可以作如下变形：104935241, ab第 17 题图 10631 8 ， kkkababab 5)1(52145)12(1045)1(52 49341, （）于是 ，即 201是数列 n中的第 5030 项；50316510620 （） .)()(152 kkabkk 三、解答题： 18 （本小题满分 12 分） 设函数 的图象关于直线 对2 2()sin3sincosfxxx()Rx 称，其中 ， 为常数，且 . 1(,)2 （）求函数 的最小正周期； ()f （）若 的图象经过点 ，求函数 的值域. yx(,0)4()fx 考点分析：本题考察三角函数的恒等变换、三角函数的图像与性质。 难易程度： 解析：（）因为 22()sincos3sincofxxx . co3ii()6 由直线 是 图象的一条对称轴，可得 ， x()yfx sin(2)16 所以 ，即 262kZ1)23kZ 又 ， ，所以 ，故 . 1(,)56 所以 的最小正周期是 . fx65 （）由 的图象过点 ，得 ，()yf(,0)4()04f 即 ，即 . 52sin2sin62 故 ，函数 的值域为 . ()i()3fx()fx, 数学（文史类）试题参考答案 第 9 页（共 13 页） 19 （本小题满分 12 分） 某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等 的等腰梯形的四棱台 ，上部是一个底面与四1ABCD 棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 . 2ABCD （）证明：直线 平面 ； 12 （）现需要对该零部件表面进行防腐处理. 已知 ，10AB ， ， （单位：厘米） ，每平方1023A1 厘米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？ 考点分析：本题考察空间的线面位置关系、空间几何体体积，是与 实际问题的结合。 难易程度： 解析：（）因为四棱柱 的侧面是全等的矩形，2ABCD 所以 ， . 又因为 ，所以 平面 ABCD. 2ABD2A 连接 BD，因为 平面 ABCD，所以 .2 因为底面 ABCD 是正方形，所以 . C 根据棱台的定义可知，BD 与 B1 D1 共面. 又已知平面 ABCD平面 ，且平面 平面 ，A1ABCD 平面 平面 ，所以 B1 D1BD. 于是1BD11 由 ， ，B 1 D1BD，可得 ， .2AC21 又因为 ，所以 平面 . AAC （）因为四棱柱 的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以2 .22 21 ()4104301(cm)SSB四 棱 柱 上 底 面 四 棱 柱 侧 面 又因为四棱台 的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等1ACD 腰梯形， 所以 22 11()4SSABABh四 棱 台 下 底 面 四 棱 台 侧 面 等 腰 梯 形 的 高() . 222104(0)300cm 于是该实心零部件的表面积为 ，2123140(c)S A2 B 2 C2D2 C BA D A1 B1 C1D1 第 19 题图 10 故所需加工处理费为 （元）. 0.2.408S 20 （本小题满分 13 分） 已知等差数列 前三项的和为 ，前三项的积为 .na38 （）求等差数列 的通项公式； （）若 ， ， 成等比数列，求数列 的前 项和.231 |na 考点分析：本题考察等差等比数列的性质及运用、等差等比数列的前 n 项和运算。 难易程度： 解析：（）设等差数列 的公差为 ，则 ， ，nad21ad312ad 由题意得 解得 或 113,()8.,4,. 所以由等差数列通项公式可得 ，或 .23()5nan43(1)7nan 故 ，或 . 37 （）当 时， ， ， 分别为 ， ， ，不成等比数列；n212 当 时， ， ， 分别为 ， ， ，成等比数列，满足条件.37aa3 4 故 ,| .nn 记数列 的前 项和为 .|nanS 当 时， ；当 时， ；11|4S2212|5a 当 时，3 24|n naa 5(37)(4)(37)n . 当 时，满足此式.2()(7)1502n 综上， 2 , ,310,1.nSn 21 （本小题满分 14 分） 设 是单位圆 上的任意一点， 是过点 与 轴垂直的直线， 是直线 与A21xylAxDl 数学（文史类）试题参考答案 第 11 页（共 13 页） 轴的交点，点 在直线 上，且满足 . 当点 在圆上xMl|(0,1)DMmA且 A 运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C （）求曲线 的方程，判断曲线 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； C （）过原点斜率为 的直线交曲线 于 ， 两点，其中 在第一象限，且它在kPQP 轴上的射影为点 ，直线 交曲线 于另一点 . 是否存在 ，使得对任yNHm 意的 ，都有 ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由. 0PQHm 考点分析：本题主要考察求曲线的轨迹方程、直线与圆锥曲线的位置关系，要求能正确理 解椭圆的标准方程及其几何性质，并能熟练运用代数方法解决几何问题，对运算能力有较 高要求。 难易度： 解析：（）如图 1，设 ， ，则由 ，(,)Mxy0(,)A|(0,1)DMmA且 可得 ， ，所以 ， . 0|m0x01|y 因为 点在单位圆上运动，所以 . A2 将式代入 式即得所求曲线 的方程为 . C21(0,1)xm且 因为 ，所以(0,1),)m 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆， 两焦点坐标分别为 ， ；2(,0)m2(1,0) 当 时，曲线 是焦点在 轴上的椭圆，1Cy 两焦点坐标分别为 ， . 2(,)2(,) （）解法 1：如图 2、3， ，设 ， ，则 ，0k1Pxk2(,Hxy1(,)Qxk ，1(0,)Nkx 直线 的方程为 ，将其代入椭圆 的方程并整理可得QN1yxC .22221(4) 0mkxkm 依题意可知此方程的两根为 ， ，于是由韦达定理可得1 ，即 . 21124k224xk 因为点 H 在直线 QN 上，所以 . 212124kmxy 于是 ， . 1(2,)PQxk 22112121(,)(,)4kxPHx 而 等价于 ，24)0km 12 即 ，又 ，得 ，20m2m 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ， 21yx0k 都有 . PQH 解法 2：如图 2、3， ，设 ， ，则 ， ，1(0,)x1(,)Pxy2(,)Hxy1(,)Qxy1(0,)Ny 因为 ， 两点在椭圆 上，所以 两式相减可得PHC 212,m . 22211()()0mxy 依题意，由点 在第一象限可知，点 也在第一象限，且 ， 不重合，HPH 故 . 于是由式可得1212()x . 1212()yymx 又 ， ， 三点共线，所以 ，即 . QNHQNHk12yx 于是由 式可得 . 2122112()PQHy mkx 而 等价于 ，即 ，又 ，得 ，Pm0 故存在 ，使得在其对应的椭圆 上，对任意的 ，都有2m2yxk .