2012年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)理科数学试题定稿

2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 数 学 (理科) 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项： 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定 区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不 按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回. 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1已知 i是虚数单位， m、 nR，且 i1in，则 im A 1 B 1C D i 2下列函数中既是奇函数，又在区间 ,上是增函数的为 A yx B sinyx C xye D 3yx 3设 na是公差不为 0 的等差数列， 12a且 136,a成等比数列，则 na的前 5项 和 5S A 1 B 5 C 0 D 0 4 “关于 x的不等式 2x的解集为 R”是“ 1” A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 5一个体积为 123的正三棱柱的三视图如图所示， 则这个三棱柱的左视图的面积为 A. 6 B 8 C 3 D 12 2 6已知点 P是抛物线 24xy上的一个动点，则点 P到点 (2,0)M的距离与点 P到该 抛物线准线的距离之和的最小值为 A 172 B 5 C D 9 7某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查，现从中随机抽出 100 名司机，已知 抽到的司机年龄都在 0,4岁之间，根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分 布直方图如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数 大约是 A 31.6岁 B 2岁 C .岁 D 36岁 8对于非空集合 ,A，定义运算： |,ABxxAB且 ， 已知 |,|dcNbxaM，其中 dcba、 满足 abcd，0bcd ，则 A. (,), B. (,)a C. (,) D. (,), 二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分，满分 30 分） (一)必做题(913 题) 9某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团） 学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30 人，结果合唱社被抽出 12人，则 a_. 10函数 sin()yx的最小正周期是 _. 11已知不等式组 0,2ykx 所表示的平面区域的面积为 4，则 k的值为 _. 合唱社 粤曲社 书法社 高一 45 30 a 高二 15 10 20 第 3 页 共 13 页 12已知向量 a(,2)x， b(1,)y，其中 0,xy.若 4:ab，则 12xy的最小值 为 . 13对任意实数 ,，函数 |)|(2),(baF，如果函数 2()3,f()1gx ，那么函数 ,Gxfgx的最大值等于 . (二)选做题(1415 题,考生只能从中选做一题) 14 （坐标系与参数方程）在极坐标系下，已知直线 l的方程为 21)3cos(，则 点 )2,1(M到直线 l的距离为_. 15.（几何证明选讲）如图， P为圆 O外一点，由 P引圆 O 的切线 PA与圆 切于 点，引圆 的割线 B与圆 交于C 点.已知 B， 1,2CA.则圆 的面积为 . 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （本题满分 12 分） 在 中，角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，满足 2ACB，且14)cos(CB . （1）求 的值； （2）若 5a，求 AB的面积. 17 （本题满分 14 分） 如图，三棱锥 CP中， 底面 ABC， 90，2ABP ， E为 的中点，点 F在 P上，且 FA2. （1）求证：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 B所成的二面角的平面角 （锐角）的余弦值. 资料来源：中国高考吧 18 （本题满分 13 分） C AP B 4 佛山某学校的场室统一使用“佛山照明”的一种灯管，已知这种灯管使用寿命 （单位：月）服从正态分布 2(,)N，且使用寿命不少于 12个月的概率为 0.8，使 用寿命不少于 24个月的概率为 0 （1）求这种灯管的平均使用寿命 ； （2）假设一间功能室一次性换上 4支这种新灯管，使用 个月时进行一次检查，将 已经损坏的灯管换下（中途不更换），求至少两支灯管需要更换的概率. 19 （本题满分 12 分） 已知圆 21:(4)1Cxy，圆 22:()1Cxy，动点 P到圆 1C, 2上点的 距离的最小值相等. （1）求点 P的轨迹方程； （2）点 的轨迹上是否存在点 Q，使得点 到点 (,0)A的距离减去点 Q到点(,0)B 的距离的差为 4，如果存在求出 点坐标，如果不存在说明理由. 资料来源：中国高考吧 20 （本题满分 14 分） 设 aR,函数 ()lnfxa. (1) 若 2，求曲线 ()yf在 1,2P处的切线方程； (2) 若 fx无零点,求实数 的取值范围； (3) 若 ()有两个相异零点 12,x,求证: 21xe. 21 （本题满分 14 分） 设 *Nn，圆 nC： 22(0)nxyR与 y轴正半轴的交点为 M，与曲线yx 的交点为 1(,)，直线 MN与 x轴的交点为 (,0)nAa. (1)用 表示 nR和 a; (2)求证: 12; (3)设 123nnSaa , 123Tn ,求证: 2735nST. 2012 年佛山市普通高中高三教学质量检测（一） 第 5 页 共 13 页 数学试题（理科）参考答案和评分标准 一、选择题：（每题 5 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B B A A B C C 二、填空题（每题 5 分，共 30 分） 9 30 10 2 11 1 12 94 13 3 14 21 15 49 三、解答题:本大题共 6 小题 ,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本题满分 12 分） 解：（1） ACB，且 C， 3B 1 分 14)cos(, 145)(cos1)sin(2 3 分 scos()sin()siCBBCBC 7123451 6 分 （2）由（1）可得 7cos1sin2C 8 分 在 ABC中，由正弦定理 AaBbsinisin 8sinac , 5ab 10 分 三角形面积 13i1022SB. 12 分 17 （本题满分 14 分） （1）证明： P底面 AC，且 底面 ABC， ACPB 1 分 6 由 90BCA，可得 CB 2 分 又 P ， AC平面 PB 3 分 注意到 BE平面 C， E 4 分P , 为 中点， BEP 5 分 CA， BE平面 PAC 6 分 而 BE平面 F， BEFPAC平 面平 面 7 分 （2）方法一、如图，以 B为原点、 所在直线为 x轴、 P为 z轴建立空间直角坐标 系. 则 )1,0(2,()0,(),(EPAC 8 分 4(,)33BFB . 10 分 设平面 E的法向量 (,)mxyz. 由 0,BF得 0342， 即 2zyx（1） （2） 第 7 页 共 13 页 取 1x，则 1,zy， (,1)m. 12 分 取平面 ABC的法向量为 ),0(n 则 3cos,|m， 故平面 ABC与平面 PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为 3. 14 分 方法二、取 的中点 G， 的中点 M，连接 ,CG， 的 中 点为 PCE， AF2， /E. 8 分 BEB平 面平 面 ,， /CGBEF平 面 . 9 分 同理可证： FGM平 面/. 又 M， CBE平 面 平 面 .10 分 则 平 面 与平面 AC所成的二面角的平面角（锐角）就等于平面 ABC与平面BEF 所成的二面角的平面角（锐角） 已知 BP底 面， 2， M平面 CM， A 11 分 又 A， 平面 PB 由于 G平面 ， CG 而 为 平 面 与平面 A的交线， 8 又 AM底面 BC， G平面 M 为二面角 A的平面角 12 分 根据条件可得 2A， 321P 在 PB中， 6cosBGM 在 A中，由余弦定理求得 3 13 分 32cos2GMA 故平面 BC与平面 PEF所成角的二面角（锐角）的余弦值为 3. 14 分 18 （本题满分 13 分） 解：（1） 2(,)N:， (1)0.8， (24)0.P， (2)0.P，显然 ()P 3 分 由正态分布密度函数的对称性可知， 1248， 即每支这种灯管的平均使用寿命是 8个月； 5 分 （2）每支灯管使用 12个月时已经损坏的概率为 10.82， 6 分 假设使用 个月时该功能室需要更换的灯管数量为 支，则 (4,0.)B:， 第 9 页 共 13 页 10 分 故至少两支灯管需要更换的概率 1(0)(1)PP041311.8.0265C （写成 .8也可以）. 13 分 19 （本题满分 13 分） 解：（1）设动点 P的坐标为 (,)xy， 圆 C的圆心 1坐标为 40，圆 2C的圆心 2坐标为 (0,)， 2 分 因为动点 P到圆 1, 2上的点距离最小值相等，所以 12|PC, 3 分 即 222(4)()xyxy，化简得 23yx， 4 分 因此点 P的轨迹方程是 3； 5 分 （2）假设这样的 Q点存在， 因为 点到 (2,0)A点的距离减去 Q点到 (2,0)B点的距离的差为 4， 所以 点在以 和 (2,0)为焦点，实轴长为 4的双曲线的右支上， 即 Q点在曲线 214xyx 上， 9 分 又 点在直线 :23lyx上， Q点的坐标是方程组 2 314yx 的解， 10 11 分 消元得 2310x， 21430，方程组无解， 所以点 P的轨迹上不存在满足条件的点 Q. 13 分 20 （本题满分 14 分） 解：方法一在区间 0,上, 1()axfx. 1 分 （1）当 2a时， (1)2f，则切线方程为 (2)1)yx，即0xy 3 分 （2）若 ,则 ()0fx, ()f是区间 0,上的增函数, (1)faQ , 1)aaaee, ,函数 ()fx在区间 ,有唯一零点. 6 分 若 0a, ()lnfx有唯一零点 1. 7 分 若 ,令 ()f得: xa. 在区间 10a上, 0,函数 ()f是增函数; 在区间 ()上, ()fx,函数 x是减函数; 故在区间 上, 的极大值为 1()lnl1faa. 由 1()0fa即 ln10a,解得: e. 故所求实数 a 的取值范围是 (). 9 分 方法二、函数 ()fx无零点 方程 第 11 页 共 13 页 lnxa即 lnx在 0,上无实数解 4 分 令 ()g，则 21ln()xg 由 0x即 2lx得： e 6 分 在区间 (,)e上, ()g,函数 ()gx是增函数; 在区间 上, 0x,函数 是减函数; 故在区间 0上, ()gx的极大值为 1()ge. 7 分 注意到 (,1)x时， (),0gx； 1x时 ()0； 1,时，)0,ge 故方程 lnxa在 ,上无实数解 1ae. 即所求实数 a 的取值范围是 1(,)e. 9 分 注:解法二只说明了 ()gx的值域是 ,e,但并没有证明. (3) 设 120,x12,()0,ffQ12ln0,ln0xaxa2ln()ax , 2ln) 原不等式 1212xe12()a1212lxx122()lnx 令 12xt,则 ,于是 212()()lnltx. 12 12 分 设函数 2(1)()lntgt, 求导得: 2240()()ttt 故函数 ()gt是 1,上的增函数, (1)gt 即不等式 )lnt成立,故所证不等式 2xe成立. 14 分 21 （本题满分 14 分） 解： (1)由点 N在曲线 yx上可得 1(,)Nn, 1 分 又点在圆 nC上，则 2211(),nnRR, 2 分 从而直线 MN的方程为 nx