上海海事大学08-09数值分析试a卷答案

上海海事大学 2008-2009 学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷 A （答案） 学生姓名： 学号： 专业： 一填空题（每小格分） 1设 则差商 2 ,1032)(346xxf 3,.610f 0 ,.3710 2区间a,b上的三次样条插值函数 S(x)在a,b上具有直到 2 阶导数的 连续函数。 3插值型数值求积公式 )()(0ibaniixfAdxf 的求积系数的表达式为 则 b- i baidl)(nii0 4非线性方程 f(x)=0 的牛顿迭代法在单根 附近具有 阶的收敛速度。*x 5f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7, 则 f1，2= ,f1 ，2，3= 6 Jacobi 方法是求解 对称 矩阵的全部特征值和特征向量的计算方法 7用松弛迭代法求解方程组时，松弛因子必须在 ， 范围内 二如何对方程组 进行调整，使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。又如取 781-90832x 初始向量为 ，用该方法求近似解 ，使得 。T)0,()0 )1(kx3)()1(0kkx （分） 解答：调整第一与第三方程，既可得对角占优系数矩阵 ，所以迭代收敛。 87901-8321x)8(917)()(3)()(2(3)2)1( kkkkxx 得 753.02.)1(x94.032.)( 9.0.)(x0.1.)4(x 因为 ，所以最后结果：3)3()4( 1.x 0.1.)4(x 3求 在0，1上的一次最佳一致逼近多项式 。 （分）xef 解： 在0，1上不变号，故： )21)()(12 )20(022xexf xffp 即 故 0ff e)1ln(2ex 、1-e2x)1ln(2)1()(eexp 四设有一个求积公式 )(0)(0)( 2h0 hffahfdf 求 使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度a （分） 解 (1) 当 时， ； 时，左=右1xfxf 2 2002h0 hahd 解得 1a 当 时， ，3xf 31 223h03x 当 时， ， 左 右4 400244 hhd 所求的具有最高代数精度为 3 五 是任意首项系数为 1 的 n+1 次多项式，证明：（分）)(xp 1）： n0k1)()(xwlxnk 2）： )()(101 knk nknpwp 解：1） ，利用 Lagrange 插值余项 )()()!()()(xR 11)1(n0kn xwpxlp nnnk 2）利用 两边除 n0k1)()(wlnk )(1xn)()(101 knkkn xxpxp 六 给定方程组 cB 其中 ， ， ，且 证明nxRncnR1 (1) 有唯一的 * (2) 给定迭代格式 ， cBxkk1 ， 210k 则有 ， *1xkk ， 任取 ，则迭代格式收敛 （分）nxR0 解 (1)只需证明 的齐次方程组 x=Bx 只有零解, 若有非零解 , 则 x 两边取范数得 因为 ,得 与条件 矛盾, 因而有惟一解 ,即存在惟0x1B1x 一的 使得 = (3 分)xc (2) 将和相减得 )()1( xBkk 两边取范数得 (4 分),210)()1( xxkk (3) 由递推得 ,)0()( kBkk 对任意固定的 有 )0(xlim)(xk 因而迭代格式是收敛的 (4 分) 七证明：左矩形求积公式 。)(2()() fabfabdxfba 设 ，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛,1bacf （分） 解：因为： ；)()(axfxf 故： dxfdba bba )( = 2)()(ff 又：分划a,b得： ，k=1,2,n,1kx 得复合公式： )(2()()()( 11111 nkkknkkbankx fxxfxdfdf 所以： =)(21knkfR )(2fhab 其中： ， 且abh1kxh 有： 0lim 八试利用四点插值推导数值微分四点公式 ，)(429186)( 300 fhffhxf 其中 （分）301,xiii 解： 304)(3210210 2111033 )!,)()( ,(,( xxwfxfxx fRNf ,)( ,32102010 2101033fff 986fh =)(03xR 0)()()(!4444 xfdxwxd = =1302010)(f )(4fh 九对初值问题 写出以梯形公式所得近似解 的表达式。y)( ny 且当步长 时，讨论 的收敛性。讨论绝对稳定性对步长的限制 0hn （分） 解：梯形公式为： ),(),(211 nnn yxfyxfhy 故： ，整理得： 11nny 01