三角函数性和e指数形式的傅里叶变换

三角级数、傅里叶级数 对于所有在以 2pi 为周期的函数 f(x)，可以用一组如下的三角函数 系将其展开： 1，cosx，sinx，cox2x，sin2x，coxnx，sinnx， 显然，这组基在-pi,pi上是正交的，因此可以在周期区间求积分 获得函数 f(x)在以三角函数系为基的展开系数，或者说以三角函数 系为坐标的投影值 a0,an,bn 一个一般的函数 f(x)可以表示为奇函数和偶函数的叠加，因此它的 展开既含有正弦项又含有余弦项，但偶函数的展开仅含有常数项 a0 和正弦项，相似的，奇函数展开仅含有余弦项。 傅里叶级数的复数形式 根据欧拉公式 ejx=cosx+jsinx，任意正弦、余弦项可以用复指表 示，即 cosx=(ejx+e-jx)/2，sinx=(ejx-e-jx)/2j。所以，任 何一个周期函数 f(x)既可以在三角函数系上表出也可以在复指数系 1，ejx，ejnx 上表出，在不同的坐标系之间，存在映射关 系。但重要的是，由于积分变换的核函数形式发生改变，其物理意 义也将有所变化。由于复数的引入，每一个复指数 ejnx 相对于三 角函数系都变为一个二维量，其物理含义是一条三维螺旋线。其道 理非常简单，一个实参 a 表示数轴上的一点，而一个复数 a+bj 表示 二维坐标上的一点，所以 cosx，sinx 分别表示 一条二维曲线，而 ejx=cosx+jsinx 是一条空间三维曲线。 傅里叶变换 周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号可以借助傅里叶变换进行. 对实信号做傅立叶变换时，如果按指数 ejt 为核来求，我们将得 到双边频谱。以角频率为 的余弦信号为例，它有具有位于 两处的，幅度各为 0.5，相角为零的频率特性。实际上，COSt 就 是 ejt 与 ej-t 两条螺旋线的叠加，他们虚部刚好对消，只剩 下实部。 1 与 2 两个角速度的螺旋线坐标值的叠加并不等于角速度 1+2，因为从角速度到螺旋线的映射不是线性关系。这一现象正 体现了频率的正交特性,也是频率分析理论存在的基础. 经过傅立叶变换得到的负频率表示一条反向旋转的螺旋线,而复频率 表示一条整体改变 90 度相位的螺旋线，它们分别与正频率,实频相 对应,都表示一个特定的螺旋线，并没有玄妙的含义。 连续频谱 周期信号用傅里叶级数展开所获得频率线状谱的物理意义十分明确, 即整个信号由所有谱线存在处频率分量叠加而成.比如信号 COSt 对应 与- 处两根谱线. 困难的问题是对连续谱的理解.以下为标准的傅里叶变换对: 由于存在关系式:ej-wt=cos-wt+j*sin-wt,再联想一个信号在三角 函数系上的展开,可以认为上述傅里叶变换的意义是得到信号 x(t) 实部的 cos-wt 系数以及 x(t)虚部的 sin-wt 系数.又由于 cos 的偶 函数性质,sin 的奇函数性质以及 j*j=-1 这一定义,对于某一个特定 的 w,出现在变换式左边的将是 x(t)实部的 coswt 系数以及 x(t) 虚部的 sinwt 系数,两者的加和显然可以用 ejwt 的系数表示. 假如直接以几何意义来思考,为什么傅里叶变换式两端正负号不一致,也 很有趣.回到三角函数展开,在周期-pi,pi上,只有 coswx 与 coswx 的乘积不为零,这也是正交性.而在三维空间中,一条螺旋线与它自身 的乘积再做积分却是零,非要与它每一点的共轭值相乘才不为零.造 成这种形式不统一的根源,可以认为一维是一种特例,而二维是较普 遍的表达,也可以认为实数的共轭是它本身,而复数共轭虚部相反. 连续频谱意义 现在来看连续谱线的含义,它与概率密度函数一样,只有相对的意义, 也就是说,在频谱上高度相同的两点,只表示这两点含对应频率给信 号的贡献相同,而无法得出任一频率分量本身的能量.这与概率密度 函数是相同的,任何一点的概率取值都是零,但概率密度函数曲线相 同高度处代表可能性相同.出现这一问题的根源可能是微积分,或者 说是“极限“带来的困绕,因为物理世界中,时间,能量,都有最小量值, 不可再分.那么,我们可以仅仅把微积分看作只是一种数学处理,对微 小离散累加的近似.因此连续谱线可以理解成相当多,相当细密离散 谱线束的近似,但每一根离散谱线的高度值并非其对信号的贡献,仅 仅表示一个相对的意义.依然可以借助概率密度函数的意义来理解, 离散分布律对应的概率线,线有多高,随机变量取值就有多大可能性, 在连续概率密度函数中,假如化为微小离散的分布律线,将不再是原 来的高度,而应该用该值微笑领域内与原连续曲线所围面积来替代其 高度,这一理解与从频谱回到信号的傅里叶变反换是吻合的. 为了便于理解,我们重新叙述整个问题:1,对于周期信号,由于其由多 个三角函数线性叠加而成,而三角函数本身又具有正交性,那么通过 如下的运算: 即任何基函数与原信号相乘后做区间积分,就可以得到任意特定基函 数在区间平方后曲线所围面积与该基在原信号中加权系数之积.显然,要 把基函数平方曲线所围面积的值去除,才能得到系数净值.因此,在上 述式子前,要除以一个 pi,也就是去掉了所围面积. 2,那么,对于非周期信号,首先我们可以视其为一个周期极长的信号, 而且这个信号只在周期中的一部分有非零值,当然,这个信号只有部 分非零并不影响所有的操作和理解.在周期信号的展开中,所有可能 包含的基函数为其周期的分数也即这些基函数频率是原信号频率的 倍数.比如一个 2Hz 的周期信号,他包含的基函数只可能是偶数 Hz 的 三角函数.因此,我们假设一个信号的周期特别长,也即频率特别低, 会导致什么呢?当周期长到趋近于极限,频率也同时低到趋近于极限, 结合时间量子的概念,可以认为这个极端是原子频率,即一个最小的 频率.那么,对这个非周期信号展开时,所有频率都有可能对其有贡献,因 为原信号的频率低到了一个原子频率.于是,对一个非周期,或者说是 一个周期无限长信号展开时,我们必须考虑所有可能的频率分量,实 际上,这些微间隙量子化的频率值并不连续,但是由于它们非常细蜜, 可以用人类思维