赵玉苗编高中数学基本不等式优秀试题集锦

赵玉苗编高中数学基本不等式优秀试题集锦 一 , 0，则 112 的最小值是（ C ） A 2 B 22 C 4 D 5 , 若 113 3 3 与 的 等 比 中 项 ， 则的最小值为（ C ） A . 8 B . 4 C. 1 D. 143.“ 18a”是“对任意的正数 x ， 21”的（ A ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4. 设 a、 b、 ，则下列 等式中 不恒成立 的是 （ C ） A. | 122 C. 21| 213 5. 已知不等式 (x+y)(1x + 9 对任意正实数 x,则正实数 B ) . x, 则 (x+y)(1x + 4y)的最小值为 ( B ) A. 6 . 若关于 x 的不等式 1( 2 4k 4的解集是 M，则对任意实常数 k ，总 有（ A ） M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M； M， 0 M 8. 若 a,b,c 0且 a(a+b+c)+ ,则 2a+b+ D ) A. 3 B. 3 +1 C. 2 3 +2 D. 2 3 . 若直线 1（M ,则 ( B ) A. 122 1. 22 下列结论正确的是 ( B ) A x 且 1x 时， 1x2 B. 0x当 时， 1 2C 当 2x 时， 1最小值为 2 时， 1最大值 二 11. 已知 ,x y z R ， 230x y z ，则 2 答案 3 12. 若直线 )0,0(022 始终平分圆 082422 周长， 则 12最小值为 223 13. 已知正整数 满足 304 使得1取最小值时，则实数对（ ), (5， 10） 14. 已知 a,b 为正实数，且1,12 则的最小值为 3+ 22 15. 如果存在实数 x，使12成立，那么实数 x 的取值 集合 是 1 三 16. 按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为 a 元，如果他卖出该产品的单 价为 m 元，则他的满意度为 如果他买进该产品的单价为 n 元，则他的满意度 为 如果一个人对两种交易 (卖出或买进 )的满意度分别为 1h 和 2h ，则他对这两种交易的综合满意度为12 现假设甲生产 A、 B 两种产品的单件成本分别为 12 元和 5 元，乙生产 A、 B 两种产品的 单件成本分别为 3 元和 20 元，设产品 A、 B 的单价分别为 和 ，甲买进 A 与 卖出 B 的综合满意度为 卖出 A 与买进 B 的综合满意度为 )求 m 、 表达式；当 35，求证： h甲= (2)设 35当 别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最 大的综合满意度为多少？ (3)记 (2)中最大的综合满意度为 0h ，试问能否适当选取 值，使得0和 0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。 解析 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识，考查数学建模能力、抽 象概括能力以及数学阅读能力。满分 16 分。 (1) 当 35， 2353 5 ( 2 0 ) ( 5 )125 m 甲 ,2353 2 0 ( 5 ) ( 2 0 )35 m 乙, h甲=2）当 35， 2211=,2 0 5 1 1( 2 0 ) ( 5 ) ( 1 ) ( 1 ) 1 0 0 ( ) 2 5 1 B m m m 甲由 1 1 1 5 , 2 0 , 2 0 5B Bm m得， 故当 1120即 2 0 , 1 2时， 甲乙两人同时取到最大的综合满意度为 105。 （ 3） （方法一） 由（ 2）知：0h= 105由010=1 2 5 5 甲得： 1 2 5 52， 令 35,则 1 ,14 ，即： 5(1 4 ) (1 ) 2 。 同理，由0105乙得： 5(1 ) (1 4 )2 另一方面， 1 ,14 1 4 1 5、 1 + 4 y 2 , 5 , 、 1 + y , 2 ,255( 1 4 ) ( 1 ) , ( 1 ) ( 1 4 ) ,22x y x y 当且仅当 14 ，即 ，取等号。 所以不能否适当选取 值，使得0和0同时成立，但等号不同时成立。 17. 记关于 x 的不等式 01的解集为 P ，不等式 11x 的解集为 Q （ I）若 3a ，求 P ； （ ，求正数 a 的取值范围 解：（ I）由 3 01，得 13P x x （ 1 1 0 2Q x x x x 由 0a ，得 1P x x a ，又 ，所以 2a ， 即 a 的取值范围是 (2 )， 18. 已知 m， n 为正整数 . （ ）用数学归纳法证明：当 x， (1+x)m1+ （ ）对于 n6，已知21311 证 2131， m=1,1,2 ， n； （ ）求出满足等式 3n+4m+( n+2)m=(n+3)n. 解：（）证：当 x=0 或 m=1 时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明： 当 x x 0 时， m 2,(1+x)m1+ 1 (i)当 m=2 时，左边 1+2x+边 1+2x，因为 x 0,所以 ，即左边 右边，不等式成立； （ 设当 m=k(k 2)时，不等式成立，即（ 1+x） k1+当 m=k+1 时，因为 x以 1+xx 0,k 2,所以 . 于是在不等式（ 1+x） k1+边同乘以 1+x 得 （ 1+x） k (1+x)(1+1+x)=1+(k+1)x+(k+1)x, 所以（ 1+x） k+11+(k+1)x,即当 m k+1 时，不等式也成立 . 综上所述，所证不等式成立 . ( )证：当 ,)21()311(,21311,6 ）（时， 而由（），31)311( n mn m.)21()311()31( nn m （）解：假 设存在正整数 00 )3()2(43600000 使等式成立， 即有（ 0330） +00 )32()34(000nn 1. 又由（）可得 （ 0330） + 0000 )311()31()32()34( 000 0000 ,12 1121)21()21()311( 0000 10 与式矛盾， 故当 n 6 时，不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形； 当 n=1 时， 3 4，等式不成立； 当 n=2 时， 32+42 52，等式成立； 当 n=3 时， 33+43+53 63，等式成立； 当 n=4 时， 34+44+54+64 为偶数，而 74 为奇数，故 34+44+54+64 74,等式不成立； 当 n=5 时，同 n=4 的情形可分析出，等式不成立 . 综上，所求的 n 只有 n=2,3. 19. 设 p:实数 x 满足 224 3 0x a x a ,其中 0a ,命题 :q 实数 x 满足 226 0 ,2 8 0 . ( )若 1,a 且 为真，求实数 x 的取值范围； ( )若 p 是 q 的充分不必要条件 ,求实数 x 的取值范围 . 解 由 224 3 0x a x a 得 ( 3 ) ( ) 0x a x a ， 又 0a ,所以 3a x a , 当 1a 时， 1 3x ,即 p 为真时实数 x 的取值范围是 1 3x . 由 22602 8 0 ,得 23x,即 q 为真时实数 x 的取值范围是 23x 若 为真，则