广东省惠州市2017届高三4月模拟数学理科试题含答案解析

惠州市 2017 届高三模拟考试 数 学 (理科 ) 卷 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 . （ 1）已知集合 2| 0 , | l g 2 1A x x x B x y x ，则 （ ） （ A） 10,2（ B） 0,1 （ C） 1,12 （ D） 1,2（ 2）若复数13iz i （ i 为虚数单位）， 则z=（ ） （ A） 3 （ B） 2 （ C）2（ D）5（ 3）执行如图所示的程序框图，如果输出的结果为 0， 那么输入的 x 为（ ） （ A） 19（ B） 1 或 1 （ C） 1 （ D） 1 （ 4）已知双曲线 22 1 0 , 0xy 的左，右焦点分别为12,曲线上一点 P 满足2PF x轴 若1 2 21 2 , 5F F P F，则该双曲线的离心率为（ ） （ A） 3 （ B） 32（ C） 125（ D） 1312（ 5） 下列函数中，与函数 y 3|x|的奇偶性相同，且在 ( ， 0)上单调性也相同的是 ( ) （ A） y 1 （ B） y x| （ C） y 1x （ D） y 1 （ 6） 如图，网格 纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） （ A） 136 （ B） 34 （ C） 25 （ D） 18 （ 7） 512的展开式中 2x 的系数为（ ） （ A） 25 （ B） 5 （ C） 15 （ D） 20 （ 8）设42， 变量 x， y 满足条件433 5 251 ，则 z 的最小值为（ ） （ A） 2 （ B） 4 （ C） 8 （ D） 16 （ 9）已知 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 )f x x 的最小正周期是 ，将 ()单位长度后所得的函数图象过点 (0,1)P ，则 ( ) s i n ( )f x x（ ） （ A） 在区间 , 63上单调递减 （ B） 在区间 , 63上单调递增 （ C） 在区间 , 36上单调递减 （ D） 在区间 , 36上单调递增 （ 10）已知过抛物线 2 4焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点（点 A 在第一象限）， 若 3B ，则直线 l 的斜率为（ ） （ A） 2 （ B） 12（ C） 32（ D） 3 （ 11）三棱柱 111 的侧棱与底面垂直， 11 ， N 是中点，点 P 在 11，且满足 111 ，直线 平面 成角 的正切值取最大值时 的值为（ ） （ A）21（ B）22（ C）23（ D）552（ 12） 设曲线 e xf x x （ e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l，总存在曲线 3 2 c o sg x a x x上某点处的切线2l，使得12则实数 a 的取值范围为（ ） （ A） 1,2 （ B） 3, （ C） 21,33（ D） 12,33第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13题第 21题为必考题，每个考生都必须作答。第 22题、第 23题为选考题，考生根据 要求作答。 二填空题：本题共 4小题，每小题 5分， 共 20分 。 （ 13）在边长为 1 的正三角形 ，设 2 3B C B D C A C E， ，则 E （ 14）已知 20 , , c o 3 ，则 （ 15） 我国南北朝时 期 的数学家 祖 暅 提出体积的计算原理（ 祖 暅 原理）： “幂势既同，则积不容异 ”。 “势 ”即是高， “幂 ”是面积 。 意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等 。 类比 祖 暅 原理，如图所示，在平面直角坐标系中，图 1 是一个形状不规则的封闭图形，图 2 是一个上底为 1的梯形，且当实数 t 取 0,3 上的任意值时，直线 图 1 和图 2 所截得的两线段长始终相等，则图 1 的面积为 _ （ 16）已知 中， 2 , B C 6,6，若线段 延长线上存在点 D ，使4，则 _ 1图 2图 2 4 613三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 已知等差数列 1 2 2 3 1 2 1 a a a a a n n n N （ ）求数列 （ ）求数列12的前 n 项和（ 18）（本小题满分 12 分） 某省 2016 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制 85 分及以上，记为 A 等；分数在 70,85 内，记为 B 等；分数在 60,70内，记为 C 等； 60 分以下，记为 D 等 ,合格， D 为不合格 两所学校学生的原始成绩均分布在 50,100 内，为了比较两校学生的 成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 5 0 , 6 0 , 6 0 , 7 0 , 7 0 , 8 0 , 8 0 , 9 0 , 9 0 , 1 0 0的分组作出甲校的样本频率分布直方图如图 1 所示，乙校的样本中等级为 , 所示 . （ ） 求图 1 中 x 的值，并根据样本数据比较甲乙两校的合格率； （ ）在选取的样本中，从甲，乙两校 C 等级的学生中随机抽取 3 名学生进行调研，用 X 表示所抽取的 3 名学生中甲校的学生人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望 （ 19）（本小题满分 12 分） 如图所示，四棱锥 P 的底面是梯形，且 /D ， 面 E 是 12C D P D A D A B （ ） 求证： 平面 （ ）若 3， 4， 求直线 平面 成角的大小 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 0a 的一个焦点为 3,0F ，其左顶点 A 在圆22: 1 2O x y上 （ ）求椭圆 C 的方程； （ ） 直线 : 3 0l x m y m 交椭圆 C 于 ,点 N 关于 x 轴的对称点为1N（点1 不重合），且直线1x 轴的交于点 P ，试问 面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( , )xf x e a x b a b R 在 处的切线方程为 2 （ ） 求函数 () （ ）若 k 为整数，当 0x 时， ( ) ( ) 1k x f x x 恒成立，求 k 的最大值（其中 () () 请考生在第 22、 23 两题中任选一题 作 答，如果多做，则按所做的第一题计分， 作 答时，请用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 （ 22）（本题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，直线 l 的参数方程为 t 为参数），以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 c o s （ ）求曲线 C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线； （ ）设直线 l 与曲线 C 交于 ,点 P 的直角坐标为 1,0 ， 试求当4时， B 的值 . （ 23）（本题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知函数 1.f x x x （ ）若 ，恒有 成立，求实数 的取值范围； （ ）若 ，使得 2 20m m f t 成立， 求实数 t 的取值范围 . 惠州市 2017 届高三模拟考试 数学（理科）参考答案与评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B D B A B C C B D A D 1【解析】 ,21,1,0 , 1,21故选 C 2【解析】131 iz i 1 3 1 1211ii ，所以1z=2 ,故选 B 3【解析】程序框图表示2312以0102解得： 1x ，0230 解集为空，所以 1x ，故选 D. 4【解析】 8513213512 22121 那么中，在，故23812 e 5【解析】 函数 y 3|x|为偶函数，在 ( ， 0)上为增函数，选项 A 的函数为奇函数，不符合要求；选项 B 的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项 D 的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项 A 符合要求， 故应选 A. 6【解析】画出满足条件的四棱锥，底面是边长为 3 的正方形，顶点在底面的射影为点 B，高为 4，根据垂直关系可得 ， ， 直角三角形 的公共斜边，所以取 点 O ， O 为四棱锥外接圆的 圆心，34343 2222222 342 那么四棱锥外接球的表面积为 344 2 故选 B. 7【解析】 555 )1(2)1()2()1( 含有 2x 项的构成为222 15520 ，故选 C 8 【解析】 作出不等式组对应的平面区域，由431解得11，设 1,1A ，由图可知，直线2x y m经过点 A 时， m 取最小值，同时24 2 2x y x 取得最小值，所以2 1 1 3m 8z . 故选 C 9【解析】 2 , ( ) s i n ( 2 )f x x 平移得到的函数是 2s i n ( 2 )3 ，其图象过（ 0， 1）， 2 ) =13 ，因为 0 ， 6， ( ) s i n ( 2 )6f x x ，故选 B 10【解析】设1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，则123，又21 1， 3 1 3( , 3 ) , ( , )4 1 2 3， 3k 选 D 11【解析】过 P 作 接于 , ， 则， 故当 小时大。此时 1,2M N A B M A B 为 中 点 ,12【解析】 x s ,1)( ，在 )(取点 ),( 11 在 )(取点),( 22 要 21 ，需 11s 23,23s ， 1,011 23,231,0 3231 a ， 故选 D 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13 1414 15 26152916 3 13【解析】因为 2D ，所以 D 为 中点即 12A D A B A C， 3E ， 13B E B C C E B C C A ， 14E 14【解析】因为 (0, )2 ，所以 ( , )3 3 6 ，所以 5s i n ( )33 ，所以 2 1 5 3c o s ( ) c o s ( ) c o s s i n ( ) s i 3 3 3 3 3 2 3 2 15 26 15【解析】类比祖 暅 原理，可得两个图形的面积相等，梯形面积为 2932121 S， 所以图 1 的面积为29. 16【解析】因为线段 延长线上存在点 D ，使4， 030 所以 230c o 222 即 2 所以， 所以 030 中，根据正弦定理 321226s 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17（本小题满分 12 分） 解 （ ）设等差数列 d ，由已知得 121 2 2 34,( ) ( ) 1 2 ,a a a 2 分 即 12234,8,所以 11( ) 4 ,( ) ( 2 ) 8 ,a a da d a d 解得 1 1,2,4 分 所以 21 6 分 （ ）由（ ）得112122n ，所以1 2 2 13 5 2 3 2 11 2 2 2 2 ， 2 3 11 1 3 5 2 3 2 12 2 2 2 2 2 ， 8 分 得：221 1 1 1 2 1 2 31 1 32 2 2 2 2 2nn n 10 分 所以 4662n 12 分 18 （ 本小题满分 12 分） 解 （ ）由题意，可知 1 0 0 . 0 1 2 1 0 0 . 0 5 6 1 0 0 . 0 1 8 1 0 0 . 0 1 0 1 0 1x ， 2 分 甲学校的合格率为 1 1 0 0 4 0 3 分 而乙学校的合格率为 21 4 分 甲、乙两校的合格率均为 96% 5 分 （ ）样本中甲校 C 等级的学生人数为 0 2 1 0 5 0 6 6 分 而乙校 C 等级的学生人数为 4 随机抽取 3 人中，甲校学生人数 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3 7 分 123644331 0 1 0130 , 1 ,3 0 1 0 P 2 1 36 4 6331 0 1 0112 , 326C C P X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 130 310 12 16 11 分 数学期望 3 1 1 91 2 31 0 2 6 5 12 分 19 （本小题满分 12 分） （ ）证明：取 中点 F ，连结 ,如图所示 因为 D ，所以 P 1 分 因为 平面 平面 所以 F 又因为 B A ，所以 平面 3 分 因为点 E 是 点，所以 /B ，且2 4 分 又因为 /D ，且2所以 /D ，且 D ， 所以四边形 平行四边形，所以 /F ， 所以 平面 6 分 （ ）解：设点 O， G 分别为 中点，连结 则 /B ， 因为 平面 平面 所以 D ，所以 D 7 分 因为 3，由（ ）知， 3, 又因为 4，所以 2， 所以 2 2 22 2 2 2 3 2 ,A P A F A D D F 所以 为正三角形，所以 D ， 因为 平面 平面 所以 O 又因为 B A ，所以 平面 8 分 故 ,G 两垂直，可以点 O 为原点，分别以 ,G 方向为 ,的正方向， 建立空间直角坐标系 O ，如图所示 (0,0, 3)P ， ( 1 , 2 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 )， 13( , 2, )22E ， 所以 ( 1, 0 , 3 ) ， ( 1, 2 , 3 ) ， 33( , 0 , )22 ， 9 分 设平面 法向量 ( , , )x y zn ， 则 0,0, 0 ,2 3 0 ,y z 取 1z ，则 ( 3, 0,1)n ， 10 分 设 平面 成的角为 ， 则 31s i n | c o s , | | |232 n， 11 分 因为 0, 2，所以 6， 所以 平面 成角的大小为 6 12 分 20 （本小题满分 12 分） 解：（ ） 椭圆 C 的左顶点 A 在圆 2212上， 32a 又 椭圆的一个焦点为 )0,3(F ， 3c 3222 椭圆 C 的方程为 131222 分 （ ）设 ),(),( 2211 则直线与椭圆 C 方程联立 223,1,12 3x 化简并整理得 036)4( 22 12 26 4m ，12 23 4yy m 分 由题设知 ),( 221 直线1(121 211 令 0y 得211221211221212111 )3()3()( yy 43464622点 )0,4(P 分 2122121 4)(121|21 M N 222222 )4(132)43(4)46(21 分 166 132619)1(213261911322222且仅当191 22 m 时等号成立） 的面积存在最大值，最大值为 1. 12 分 21 （本小题满分 12 分） 解：（ ） xf x e a ， 由已知得 1f ，故 1，解得 1a 又 f ，得 ，解得 2b 2 分 2xf x e x ，所以 1xf x e 当 0x 时， 0 ；当 0x 时， 0 所以 0 ， ，递减区间为 ,0 4分 （ ）法一 1k x f x x ，及 1xf x e 整理得 11e ，当 0x 时恒成立 令 1 01x ， 221e 6 分 当 0x 时， 0 , 1 0 ；由（ ）知 2xf x e x 在 0 ， 上为增函数， 又 21 3 0 , 2 4 0f e f e 8 分 所以存在 0 1,2x 使得 0002 = 0xf x e x ，此时 00= +2 00,， 0 ；当 0 ,时， 0 所以 000002m i 2 , 31x g x 10 分 故整数 k 的最大值为 2 . 12 分 法二 1k x f x x ，及 1xf x e 整理得， 10xk x e k 令 10xg x k x e k x ， 1 xg x k x e =0得， =1 6 分 当 1k 时，因为 0x ，所以 0 ， 0+， 上为减函数， 0 1 0g x g