数学百大经典例题

典型例题一 例 1 若 ，证明 （ 且 ） 0x)1(log)1(logxxaa01a 分析 1 用作差法来证明需分为 和 两种情况，去掉绝对值符号，然后 比较法证明 解法 1 （1 ）当 时， 因为 ，1,0x 所以 )(log)(laa xx 0)1(l2a （2 ）当 时， 因为 ,0x 所以 )1(log)(laa 1ogxx 0)(l2a 综合（1） （2 ）知 )1(log)(lxxaa 分析 2 直接作差，然后用对数的性质来去绝对值符号 解法 2 作差比较法 因为 )(l)(logxxaa l1l)lg()l(gxa)1l()l(1 ，0)lg(2xa 所以 )1(lo1loa - 2 - 说明：解法一用分类相当于增设了已知条件，便于在变形中脱去绝对值符号；解法二用 对数性质（换底公式）也能达到同样的目的，且不必分而治之，其解法自然简捷、明快 典型例题二 例 2 设 ，求证：0ba.aba 分析：发现作差后变形、判断符号较为困难考虑到两边都是正数，可以作商，判断比 值与 1 的大小关系，从而证明不等式 证明： babab a)( ，0.0,1 . )(baab. 又 ，0ab . 说明：本题考查不等式的证明方法比较法(作商比较法 ).作商比较法证明不等式的步 骤是：判断符号、作商、变形、判断与 1 的大小. 典型例题三 例 3 对于任意实数 、 ，求证 （当且仅当 时取等号）ab44()2baab 分析 这个题若使用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有 ，4()2ab 展开后很复杂。若使用综合法，从重要不等式： 出发，再恰当地利用不等式的2ab 有关性质及“配方”的技巧可得到证明。 证明： （当且仅当 时取等号）2ab2 两边同加 ，44():()()ab 即： （1） 2 又： （当且仅当 时取等号）2abab 两边同加 2():()() 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 22()ab （2） 24()()a 由（1）和（2 ）可得 （当且仅当 时取等号） 44()2bab 说明：此题参考用综合法证明不等式综合法证明不等式主要是应用均值不等式来证明， 要注意均值不等式的变形应用，一般式子中出现有平方和乘积形式后可以考虑用综合法来 解 典型例题四 例 4 已知 、 、 ， ，求证abcR1abc19.abc 分析 显然这个题用比较法是不易证出的。若把 通分，则会把不等式变得较复 杂而不易得到证明由于右边是一个常数，故可考虑把左边的式子变为具有“倒数”特征的 形式，比如 ，再利用“均值定理”就有可能找到正确的证明途径，这也常称为“凑倒ba 数”的技巧 证明： 1c 1ababc ()()(1)abc 3cab ，同理： ， 。2ba 2acbc 1329.c 说明：此题考查了变形应用综合法证明不等式题目中用到了“凑倒数” ，这种技巧在 很多不等式证明中都可应用，但有时要首先对代数式进行适当变形，以期达到可以“凑倒数” 的目的 典型例题五 例 已知 ，求证： 0.cbaacba11 分析：此题直接入手不容易，考虑用分析法来证明，由于分析法的过程可以用综合法来 - 4 - 书写，所以此题用两种方法来书写证明过程. 证明一：(分析法书写过程) 为了证明 0acba11 只需要证明 c 0,cba 011 成立cbaa 0 成立 证明二：(综合法书写过程) cba0,cba 01c1 成立baa 0 成立c 说明：学会分析法入手，综合法书写证明过程，但有时这两种方法经常混在一起应用， 混合应用时，应用语言叙述清楚. 典型例题六 例 6 若 ，且 ，求证：0,ab2cab2.cab 分析 这个不等式从形式上不易看出其规律性，与我们掌握的定理和重要的结论也没有 什么直接的联系，所以可以采用分析的方法来寻找证明途径但用“分析”法证不等式，要 有严格的格式，即每一步推出的都是上一步的充分条件，直到推出的条件是明显成立的（已 知条件或某些定理等） 证明：为要证 22.cabcab 只需证 ，22 即证 ，ac 也就是 ，2()ab 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 即证 ，2acb 即证 ，() ，0,2,0c ，故 即有 ，ab2cab20c 又 由 可得 成立，c() 所求不等式 成立22cabcab 说明：此题考查了用分析法证明不等式在题目中分析法和综合法是综合运用的，要注 意在书写时，分析法的书写过程应该是：“欲证需证” ，综合法的书写过程是： “因为（）所以（）” ，即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄 混 典型例题七 例 7 若 ，求证 23ba2ba 分析：本题结论的反面比原结论更具体、更简、宜用反证法 证法一：假设 ，则 ， )(2)( 223 baba 而 ，故 23ba1)(22ba 从而 ，1 2 42)(2abba 这与假设矛盾，故 证法二：假设 ，则 ， 故 ，即 ，即 ，33)2(2bba 26182b0)1(2 这不可能从而 证法三：假设 ，则 8)(3)(3aa 由 ，得 ，故 23ba6ba2)(b - 6 - 又 ，2)(23baba ( ，即 aba22 0)(2 这不可能，故 说明：本题三种方法均采用反证法，有的推至与已知矛盾，有的推至与已知事实矛盾 一般说来，结论中出现“至少” “至多” “唯一”等字句，或结论以否定语句出现，或结 论肯定“过头”时，都可以考虑用反证法 典型例题八 例 8 设 、 为正数，求证 xy32yxyx 分析：用综合法证明比较困难，可试用分析法 证明：要证 ，只需证 ，32 2332)()(yx 即证 ，636446 23yxyxyx 化简得 ， 32 0)(2 ，0342yy 3x 0)32(22yy 原不等式成立 说明：1本题证明易出现以下错误证法： ， ，xyx22323yx 然后分(1) ；(2) ；(3) 且 ；(4) 且 来讨论，结果无yx1yxx10y10 效 2用分析法证明数学问题，要求相邻两步的关系是 ，前一步是后一步的必要条BA 件，后一步是前一步的充分条件，当然相互为充要条件也可以 典型例题九 例 9 已知 ，求证 212yx 3122yx 分析：联想三角函数知识，进行三角换元，然后利用三角函数的值域进行证明 证明：从条件看，可用三角代换，但需要引入半径参数 r 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS ，212yx 可设 ， ，其中 cosrsinr 201，r )sin(co2222 yx 由 ，故 3sin1231rr 而 ， ，故 2rr22yx 说明：1三角代换是最常见的变量代换，当条件为 或 或22ryx2ryx 时，均可用三角代换2用换元法一定要注意新元的范围，否则所证不等式的2byax 变量和取值的变化会影响其结果的正确性 典型例题十 例 10 设 是正整数，求证 n 12121nn 分析：要求一个 项分式 的范围，它的和又求不出来，可以采用n “化整为零”的方法，观察每一项的范围，再求整体的范围 证明：由 ，得 ),21(2kn nk12 当 时， ；1kn 当 时，22 当 时， nkn1 1221 说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境例如证明 由 ，如果从第 3 项开始放缩，正好可证明；如果从第4722n kk12 2 项放缩，可得小于 2当放缩方式不同，结果也在变化 2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值 缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需 小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和 典型例题十一 - 8 - 例 11 已知 ，求证： 0ba baba8)(28)( 2 分析：欲证不等式看起来较为“复杂” ，宜将它化为较“简单”的形式，因而用分析法 证明较好 证明：欲证 ，baa8)(28)( 2 只须证 b442 即要证 ， 22)(2baa 即要证 b2 即要证 ，aa12 即要证 ba 即要证 ，即 121bba 即要证 （* ）a ，（* ）显然成立，0b 故 baa8)(28)( 2 说明：分析法证明不等式，实质上是寻求结论成立的一个充分条件分析法通常采用 “欲证只要证即证已知”的格式 典型例题十二 例 12 如果 ， ， ，求证： xyzR32323288 yxzyzxyx 分析：注意到不等式左边各字母在项中的分布处于分离状态，而右边却结合在一起，因 而要寻求一个熟知的不等式具有这种转换功能（保持两边项数相同） ，由 ，易得 ，此式的外形特征符合要求，0)()()(222acba cabcba22 因此，我们用如下的结合法证明 证明： 242488 )()(zyxzyxx 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS 222)()()(xzyx 2yz 222)()()(zxyx zyz 323232xzyx 388zyzyx 说明：分析时也可以认为是连续应用基本不等式 而得到的左右两边都是ab2 三项，实质上是 公式的连续使用cabcba22 如果原题限定 ， ， ，则不等式可作如下变形：xyzR 进一步可得到： )1(388zyx zyxzxyz13 535 显然其证明过程仍然可套用原题的思路，但比原题要难，因为发现思路还要有一个转化 的过程 典型例题十三 例 13 已知 ， ， ，求证：在 三数中，10ab10c acba)1()1(， 不可能都大于 4 分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明假设命题不成立，则 三数都大于 ，从这个结论出发，进一步去导出矛盾acba)1()1(， 41 证明：假设 三数都大于 ，acb)(， 41 即 ， ， 4)1(ba41)( 又 ， ， ，00 ， ， 2)(2)(cb21)(ac 311ba 又 ， ， 2)(2)(cb21)(ac - 10 - 以上三式相加，即得： 23)1()()1( acba 显然与相矛盾，假设不成立，故命题获证 说明：一般情况下，如果命题中有“至多” 、 “至少” 、 “都”等字样，通常情况下要用反 证法，反证法的关键在于“归谬” ，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合 法的解题思想 典型例题十四 例 14 已知 、 、 都是正数，求证： abc 332abcab 分析：用分析法去找一找证题的突破口要证原不等式，只需证 ，32 即只需证 把 变为 ，问题就解决了或有分析法的途径，32abcc2ab 也很容易用综合法的形式写出证明过程 证法一：要证 ， 332ca 只需证 ，bcab 即 ，移项，得 32c32abc 由 、 、 为正数，得 abcabc 原不等式成立 证法二： 、 、 为正数， 33abcabcabc 即 ，故 22 ，3abcaba 32 说明：题中给出的 ， ， ， ，只因为 、 、 都是正数，形式2bacba3aabc 同算术平均数与几何平均数定理一样，不加分析就用算术平均数与几何平均数定理来求证， 问题就不好解决了 原不等式中是用“不大于”连结，应该知道取等号的条件，本题当且仅当 时取abc 大家网，全球第一学习门户！无限精彩在大家.www.TopS “”号证明不等式不论采用何种方法，仅仅是一个手段或形式问题，我们必须掌握证题 的关键本题的关键是证明 32abcc 典型例题十五 例 15 已知 ， ，且 求证： 0ab1ba 1)(1(0ba 分析：记 ，欲证 ，联想到正、余弦函数的值)(1MM 域，本题采用三角换元，借助三角函数的变换手段将很方便，由条件 ， 可1baR、 换元，围绕公式 来进行1tansec2 证明：令 ， ，且 ，b20 则 )tan1()sec1(sec)(1( 2 a)inoicosco2 sin1i ， ，即 成立2001)(1(0ba 说明：换元的思想随处可见，这里用的是三角代换法，这种代换如能将其几何意义挖掘 出来，对代换实质的认识将会深刻得多，常用的换元法有：(1)若 ，可设x ；(2)若 ，可设 ， ， ；(3)若 ，Rx,sin12yxcosxinyR12yx 可设 ， ，且 corsinrr 典型例题十六 例 16 已知 是不等于 1 的正数， 是正整数，求证 xn nnnxx12)(1 分析：从求证的不等式看，左边是两项式的积，且各项均为正，右边有 2 的因子，因此 可考虑使用均值不等式 证明： 是不等于 1 的正数，x ，021 nnx)( - 12 - 又 021nx 将式，两边分别相乘得 ，nnnx2)( x11 说明：本题看起来很复杂，但根据题中特点，选择综合法求证非常顺利由特点选方法 是解题的关键，这里因为 ，所以等号不成立，又因为，两个不等式两边均为正，所 以可利用不等式的同向乘性证得结果这也是今后解题中要注意的问题 典型例题十七 例 17 已知， ， ， ，且 ，求证 xyzR1zyx 3zyx 分析：从本题结构和特点看，使用比较法和综合法都难以奏效为找出使不等式成立的 充分条件不妨先用分析法一试，待思路清晰后，再决定证题方法 证明：要证 ，3zyx 只需证 ，)(2yzx 只需证 1yzxy ， ， ，xzR ， ， ，y2xz2yz2 ，)()(zx 成立1yy 3zx 说明：此题若一味地用分析法去做，难以得到结果在题中得到只