高等数学（同济大学第六版）第七章微分方程教案

高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 1 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解等概念。 2 掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 3 会解齐次方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4 会用降阶法解形如 ( )y f ( ) ， = y f x y( , ) ， = y f y y( , ) 的方程。 5 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。 7 会求自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 1 变量可分离的方程及一阶线性方程的解法。 2 形如 ( )y f ( ) ， = y f x y( , ) ， = y f y y( , ) 的方程解法。 3 线性微分方程解的性质及解的结构定理。 4 简单的二阶常系数线性微分方程的特解和通解。 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，称为微分方程. 未知函数是一元函数的微分方程，称为常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程，称为偏微分方程. 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶. 满足微分方程的函数，就是说，把这个函数代入微分方程能使方程成为恒等式，称这个函数为该微分方程的解. 如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的常数个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解. 用于确定通解中任意常数的条件，称为初始条件. 确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解，即不含任意常数的解. 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题. 积分曲线: 微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线. 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 2 变量可分离的方程 形式： )()( 或 ( ) d ( ) dg y y f x x= . 解法： 第一步 分离变量，将方程写成 ( ) d ( ) dg y y f x x= 的形式; 第二步 两端积分： = ()( ，设积分后得 ( ) ( )G y F x C= + ，称为隐式( 通) 解。 2 齐次方程 形式： dy = . 解法：在方程 dy = 中，令 ，即 y ，有 )( =+ 分离变量，得 )( ， 两端积分，得 = 求出积分后，再用 替u ，便得所给齐次方程的通解. 3 形式： )()( + 称为非齐次线性方程. 0)( =+ 为对应于非齐次线性方程 )()( + 的齐次线性方程. 公式解： 齐次线性方程 0)( =+ 公式解 ( ) ( )P x e C R= . 非齐次线性方程 )()( + 的公式解 ( ) ( ) ( ) P x d x P x d xy e Q x e d x C = + 4 可降阶的 1 ） )()( n = 型 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 3 要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解. 2 ） ),( = 型 这种方程的特点是不显含未知函数y. 解法：令 ) ,( 则 )( = ，原方程化为以 )( 未知函数的一阶微分方程， ) .,( 设其通解为 ) ,( 1= 然后再根据关系式 , 又得到一个一阶微分方程 ) .,( 1= 对它进行积分，即可得到原方程的通解 .),( 21 += 3 ） ),( = 型 这种方程的特点是不显含自变量x. 解法：把 y 暂时看作自变量，于是，由复合函数的求导法则有 = 这样就将原方程就化为 ) .,( 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为 ) ,( 1= 这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解 .),( 21 = 1 二阶线性 解的结构 二阶非齐次线性微分方程的一般形式是 )()()(22 + 二阶齐次线性微分方程的一般形式是 0)()(22 =+ 1 如果函数 )(1 )(2 方程 0)()(22 =+ 两个解, 则 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 4 -)()( 2211 = 也是该方程的解，其中 21, 任意常数. 2 如果 )(1 )(2 方程 0)()(22 =+ 两个线性无关的特解，则 )()( 2211 = 就是该方程的通解，其中 21, 任意常数. 3 设 y 是 方 程 )()()(22 + 的 一 个 特 解 ， 而 Y 是 其 对 应 的 齐 次 方 程0)()(22 =+ 通解，则 += 就是二阶非齐次线性微分方程 )()()(22 + 的通解. 4 设 1y 与 2y 分别是方程 )()()( 1 + 与 )()()( 2 + 的特解，则 + 21 方程 )()()()( 21 =+ 的特解. 5 设 21 是方程 )()()()( 21 =+ 的解，其中 )() ,() ,() ,( 21 实值函数，i 为纯虚数. 则 1y 与 2y 分别是方程 )()()( 1 + 与 )()()( 2 + 的解. 2 二阶常系数齐次线性方程 0=+ 解法 二阶常系数齐次线性方程 0=+ 特征方程为 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 5 -,02 =+ 称特征方程的两个根 ,1r 2r 为特征根. 则方程对应的通解为 )s i nc o s()(,002121212121212121 += +=+=+=+=+有 一 对 共 轭 复 根有 二 重 根有 二 个 不 相 等 的 实 根的 通 解微 分 方 程的 根特 征 方 程3 二阶常 非齐次线性方程 )( + 的特解 1 ） ( ) ( )m xf x P x ，其中 是常数， )( x 的一个m 次多项式，则方程具有形如 * ( )k m xy x Q x 的特解，其中 )( 与 )( 次（m 次）的多项式，而k 按 是不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0 、1 或2. 2 ） ( ) ( ) c o s ( ) s i n l x e P x x P x = + ，其中 ， 是常数， )( x 的一个m 次多项式，则方程具有形如 y* = xk R(1)m( x) c o s x+ R(2)m( x) s i , 的特解 其中R(1)m( x) 、R(2)m( x) 是m 次多项式, m=l, n , 而k 按+i ( 或不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0 或1. 1 求解下列一阶微分方程 （1 ） 21dd = ； （2 ） 221 += ； （3 ） 2 =+ ； （4 ） s i n =+ （其中 为常数）； （5 ） 22 yx = ； （6 ） 0)( 22 =+ 2 求下列微分方程的特解 （1 ） 0s i nc o sc o ss i n = 4)0( =y ； 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 6 -（2 ） 32 ， 1)0()0( = 3 求下列微分方程的通解 （1 ） 065 = （2 ） 02 51 0 =+ （3 ） 0522 =+ 4 写出下列微分方程的特解形式 （1 ） 122 2 +=+ （2 ） 2 e)12(44 +=+ ； （3 ） 1223 2 +=+ 5 求下列微分方程的特解 （1 ） =+ ， 1)0(,0)0( = （2 ） s i =+ ， 1)0(,1)0( = 6 设 +=+=+= 23221 , 是某二阶线性非齐次方程的解，求该方程的通解。 1 求解下列一阶微分方程 （1 ） 21dd = ； （2 ） 221 += ； （3 ） 2 =+ ； （4 ） s i n =+ （其中 为常数）； （5 ） 22 yx = ； （6 ） 0)( 22 =+ 解：（1 ）分离变量得 21 dd = , 两边积分得 = , 求积分得 1a rc s i n|l n = , 即 1 1a r c s i n a r c s i n ( )C Cx xy e e C e C e= = = , 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 7 a r c s i n e= . （2 ） 方程可化为 )1) (1( 2+= , 分离变量得 1(1 1 2 +=+ , 两边积分得 +=+ 1(1 1 2 , 即 += 221a rc t a n . 于是原方程的通解为 )21t a n ( 2 += . （3 ）先求齐次微分方程 02 =+ 通解. 由 = ， 分离变量得 = ， 两边积分得 2xy 再求非齐次微分方程 2 =+ 的通解. 设 2( ) e xy c x = 为原方程的通解，代入方程 2 =+ ， 整理有 2( ) e 2xc x x = ， 从而得 2( ) 2 e xc x x = ， 则 2( ) e xc x C= + （其中C 为任意常数）,所以原方程的通解为 2e1 += （其中C 为任意常数）. （4 ）因 )( ， s i n)( = ，故通解为 ( ) ( ) ( ) P x d x P x d xy e Q x e d x C = + d s i n e d a x a xC b x x = + 2e e ( s i n c o s ) 1bC a x + + （5 ）方程变形为 y 2 = ，进一步化简为 =+ 2 ， 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 8 于 y 的一阶线性微分方程，其中 = )(,2)( ，通解为： d e ( ) e d y yy yx y y C = + 2 214 Cy y= + （6 ）原方程可化为 21 += 令 ，即 ，代入方程，得 21 +=+ ，化简 + 21 积分，得 + 21 ，将 回代，得通解为 + 22 . 2 求下列微分方程的特解 （1 ） 0s i nc o sc o ss i n = 4)0( =y ； （2 ） 32 ， 1)0()0( = 解：（1 ）方程可变为 c o ss i nc o ss i n = ，两边积分，得 l nc o sl nc o sl n = 即 c o sc o s = 为方程的通解。 又 4)0( =y ，代入，得 0c o o s C= 22C = 即满足初始条件的特解为 xy c o o s = . （2 ）解：令 = ，则 ，从而 32 ， 2= 积分，得 22121 142 = 由 1)0()0( = 得 01 =c 所以 2= 由 1)0( =y 知 = 2 所以 21 = 由 1)0( =y 知 12 =c = 1 1 . 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 9 求下列微分方程的通解 （1 ） 065 = （2 ） 02 51 0 =+ （3 ） 0522 =+ 解：（1 ）方程 065 = 特征方程为 0652 = 特征根 61 =r ， 12 =r ， 所以方程通解为 =y C + 61 . （2 ）方程 02 51 0 =+ 特征方程为 02 51 02 =+ 特征根 521 = 所以方程通解为 =y 21 e)( + . （3 ）方程 0522 =+ 特征方程为 0522 2 =+ 特征根 1 32 2r i= , 所以方程通解为 =y )23s i o s(e 2121 . 4 写出下列微分方程的特解形式 （1 ） 122 2 +=+ （2 ） 2 e)12(44 +=+ ； （3 ） 1223 2 +=+ 解 ：（1 ） 方 程 122 2 +=+ 应 齐 次 方 程 02 =+ 特 征 方 程 为 022 =+ 特 征 根2,0 21 = 非 齐 次 方 程 自 由 项 12)( 2 += 即 0= ， 恰 为 特 征 单 根 ， 所 以 设 特 解 为* 2( )y x ax bx c= + + . （2 ）方程 2 e)12(44 +=+ 对应齐次方程 044 =+ 特征方程 0442 =+ 特 征 根 221 = 非 齐 次 方 程 自 由 项 2 e)12()( += ， 即 2= ， 是 特 征 重 根 ， 所 以 设 特 解 为* 2 2 2( ) e xy x ax bx c = + + . （3 ）方程 1223 2 +=+ 应齐次方程 023 =+ 特征方程 0232 =+ 特征根 2,1 21 = 非 齐 次 方 程 自 由 项 12)( 2 += 即 0= ， 不 是 特 征 根 ， 所 以 设 特 解 为* 2y ax bx c= + + . 5 求下列微分方程的特解 高等数学阶段小结 第七章 微分方程 高等数学 - 10 -（1 ） =+ ， 1)0(,0)0( = （2 ） s i =+ ， 1)0(,1)0( = 解：（1 ）原方程对应齐次方程 044 =+ 特征方程 0442 =+ 特征根 221 = 所以齐次方程的通解为 xc 21 e)( += . 再求非齐次方程 =+ 的特解， 2= 是特征重根，所以设特解为 2 e = ，代入方程，得 1=A ，即原方程的特解为 xp 2e = . 所以原方程的通解为： 22122221 e)( +=+=+= . 则 xx 22122 e)(2e)2( += , 由条件 1)0(,0)0( = = = ，12 012 1 解得 = ，1021所以原方程满足初始条件的特解为 2 e)( += . （2 ）先解 02 =+ 其特