高考数学考试万能工具包 第二篇 考前必看解题技巧 专题2_2 套用18个解题模板

专题02 套用18个解题模板模板一求函数值例1已知函数f(x)的定义域为R.当x0,0的情况;(3)将x+视为一个整体.解题思路为:【变式训练】【2018辽宁省凌源市模拟】已知函数，当时，函数的最小值与最大值之和为_模板五三角函数的图象变换例5将函数的图象上各点的横坐标缩小为原来的，再向右平移(0)个单位后得到的图象关于直线对称，则的最小值是()A. B. C. D. 【答案】D模板构建三角函数图象变换的主要类型:在x轴方向上的左、右平移变换,在y轴方向上的上、下平移变换,在x轴或y轴方向上的伸缩变换.其基本步骤如下:【变式训练】【2018湖南省长郡中学模拟】为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度模板六解三角形例6【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知在中， 是边上的点，且， ， ,则的值为 （ ）A. B. C. D. 【答案】A.模板构建利用正弦定理、余弦定理都可以进行三角形的边、角之间的互化,当已知三角形的两边及一边的对角,或已知两角及一角的对边时,可以利用正弦定理求解三角形中的有关量;如果已知三边或两边及其夹角,则可利用余弦定理进行求解.其基本思路如下:【变式训练】【2018河南省南阳市第一中学模拟】在中，内角所对的边分别为.（1）求；（2）若的面积为，求的周长.模板七利用函数性质解不等式例7已知定义在上的偶函数在上递减且，则不等式的解集为_【答案】模板构建函数性质法主要适用于解决抽象函数对应的不等式问题.其解题要点如下:【变式训练】【2018吉林省实验中模拟】设函数，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 模板八利用基本不等式求最值例8设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最大值时， 的最大值为_【答案】1【解析】由x23xy4y2z0，得zx23xy4y2，模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:【变式训练】已知,且满足,那么的最小值为_.模板九不等式恒成立问题例9【2018河南省中原名校联考】已知函数，当时， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】记函数在上的最小值为: 的定义域为.令，得或.时，对任意的,， 在上单调递增， 的最小值为当时，的最小值为;故实数的取值范围为.故选C.模板构建分离参数法是求解不等式恒成立问题的常用方法,其解题要点如下:【变式训练】（）设不等式对满足的一切实数的取值都成立，求的取值范围； （）是否存在实数,使得不等式对满足的一切实数的取值都成立模板十简单的线性规划问题例10已知， 满足约束条件则目标函数的最小值为_【答案】【解析】模板构建线性规划问题是指在线性约束条件下求解线性目标函数的最值问题,解决此类问题最基本的方法是数形结合法.其基本的解题步骤如下:【变式训练】【2018辽宁省凌源市联考】已知实数满足则的最小值为_模板十一数列的通项与求和例11【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知等差数列中， ，数列中， .（1）分别求数列的通项公式；（2）定义， 是的整数部分， 是的小数部分，且.记数列满足，求数列的前项和.两式相减，得故.模板构建数列的通项与求和问题的解题步骤如下:【变式训练】【2018贵州省贵阳市第一中学模拟】已知的内角所对的边分别是且， ；等差数列 的公差 .（）若角及数列的通项公式；（）若数列满足 ，求数列的前项和.模板十二空间中的平行与垂直例12【2018南京市、盐城市一模】如图所示，在直三棱柱中， ，点分别是的中点.（1）求证： 平面；（2）若，求证： .【解析】证明：（1）因为是直三棱柱，所以，且，又点分别是的中点，所以，且则由侧面底面，侧面底面，且底面，得侧面 又侧面，所以 又， 平面，且，所以平面 又平面，所以模板构建证明空间中的平行与垂直的步骤如下:【变式训练】如图， 为圆柱的母线， 是底面圆的直径， 是的中点.（）问： 上是否存在点使得平面？请说明理由；（）在（）的条件下，若平面，假设这个圆柱是一个大容器，有条体积可以忽略不计的小鱼能在容器的任意地方游弋，如果小鱼游到四棱锥外会有被捕的危险，求小鱼被捕的概率.模板十三求空间角例13【2018吉林省实验中学模拟】如图， 为圆的直径，点， 在圆上， ，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知， （）求证：平面平面；（）当的长为何值时，二面角的大小为（）设中点为，以为坐标原点， 方向分别为轴、轴、轴方向建立空间直角坐标系（如图）设，则点的坐标为，则，又，因此，当的长为时，平面与平面所成的锐二面角的大小为60。模板构建空间角的求解可以用向量法.向量法是通过建立空间直角坐标系把空间图形的几何特征代数化,避免寻找角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化,具体步骤如下:【变式训练】在四棱柱中，底面是正方形，且， （1）求证： ；（2）若动点在棱上，试确定点的位置，使得直线与平面所成角的正弦值为模板十四直线与圆的位置关系例14【2018四川省绵阳市南山中学模拟】若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的斜率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】圆可化为 则圆心为（-2，2），半径为3，1+ 由直线l的斜率k=-则上式可化为k2+4k+10解得 故选B模板构建几何法是通过比较圆心到直线的距离与圆的半径的大小来确定直线和圆的位置关系的方法,其基本步骤如下:【变式训练】【2018北京市丰台区模拟】已知直线和圆交于两点，则_模板十五圆锥曲线中的最值与范围问题例15【2018辽宁省凌源模拟】知椭圆的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与轴重合的直线与椭圆交于两点，且. （1）求椭圆的方程；（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.【解析】（I )依题意， 解得，故椭圆的方程为；（2）依题意，椭圆右焦点坐标为，设直线，直线与椭圆方程联立 化简并整理得，由题设知直线的方程为，令得 ，点(当且仅当即时等号成立)的面积存在最大值，最大值为1. 模板构建与圆锥曲线有关的最值问题的变化因素多,解题时需要在变化的过程中掌握运动规律,抓住主变元,目标函数法是避免此类问题出错的法宝,应注意目标函数式中自变量的限制条件(如直线与椭圆相交,0等).解题步骤如下:【变式训练】(2018合肥市质检)已知点F为椭圆E： (ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围模板十六圆锥曲线中的探索性问题例16在直角坐标系xOy中,曲线C:y=与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)在y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有OPM=OPN?说明理由.解析(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a)或M(-2,a),N(2,a).因为y=x,所以y=在x=2处的导数值为,所以曲线C在(2,a)处的切线方程为y-a=(x-2),即x-y-a=0.y=在x=-2处的导数值为-,所以曲线C在(-2,a)处的切线方程为y-a=-(x+2),即x+y+a=0.故所求切线方程为x-y-a=0和x+y+a=0.(2)假设存在符合题意的点P(0,b),(假设存在)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入曲线C的方程,整理得x2-4kx-4a=0,(联立方程)所以x1+x2=4k,x1x2=-4a,所以k1+k2=+=.当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以存在点P(0,-a)符合题意.(得出结论)模板构建圆锥曲线中的探索性问题在高考中多以解答题的形式呈现,常用假设存在法求解,其解题要点如下:【变式训练】【2018湖南师大附中模拟】已知抛物线C：y22px(p0)的焦点F与椭圆： y21的一个焦点重合，点M(x0，2)在抛物线上，过焦点F的直线l交抛物线于A，B两点()求抛物线C的方程以及|MF|的值；()记抛物线C的准线与x轴交于点H，试问是否存在常数R，使得且|HA|2|HB|2都成立？若存在，求出实数的值； 若不存在，请说明理由模板十七离散型随机变量例17【2018辽宁省凌源市模拟】共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在某地区随机采访了10名男士和10名女士，结果男士、女士中分别有7人、6人表示“经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”.（1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率；（2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的人数为，求的分布列与数学期望.故随机变量的分布列为的数学期望.模板构建公式法就是直接利用古典概型、互斥事件、对立事件、相互独立事件以及独立重复试验、条件概率等的求解方法或计算公式求解离散型随机变量的概率的方法.其基本步骤如下:【变式训练】某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数（Air Pollution Index）的监测数据，结果统计如下：大于300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数101520307612（）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有7天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染合计供暖季非供暖季合计1000.250.150.100.050.0250.0100.0050.0011.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828附： （）政府要治理污染，决定对某些企业生产进行管控，当在区间时企业正常生产；当在区间时对企业限产（即关闭的产能），当在区间时对企业限产，当在300以上时对企业限产，企业甲是被管控的企业之一，若企业甲正常生产一天可得利润2万元，若以频率当概率，不考虑其他因素：在这一年中随意抽取5天，求5天中企业被限产达到或超过的恰为2天的概率；求企业甲这一年因限产减少的利润的期望值模板十八线性回归方程例18某种设备的使用年限x和维修费用y(万元),有以下的统计数据:x/年3456y/万元2.5344.5(1)画出上表中数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,求出y关于x的线性回归方程y=x+.解析(1)由题意知使用年限x和维修费用y的样本数据所对应的坐标分别为(3,2.5),(4,3),(5,4),(6,4.5).(构建坐标)在平面直角坐标系中画出散点图如图所示.(画图)(2)xiyi=32.5+43+54+64.5=66.5,=32+42+52+62=86,=(3+4+5+6)=4.5,=(2.5+3+4+4.5)=3.5,(计算)所以=0.7,=-=3.5-0.74.5=0.35,(代公式)所以所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.(得结果)模板构建线性回归方程常用来预估某变量的值,因此选择恰当的拟合函数是解题的关键,一般解题要点如下:(1)作图.依据样本数据画出散点图,确定两个变量具有线性相关关系.(2)计算.计算出,xiyi的值;计算回归系数,.(3)求方程.写出线性回归直线方程y=x+.【变式训练】【2018湖南省长沙市第一中学模拟】2017年4月1日，新华通讯社发布：国务院决定设立河北雄安新区.消息一出，河北省雄县、容城、安新3县及周边部分区域迅速成为海内外高度关注的焦点.（1）为了响应国家号召，北京市某高校立即在所属的8个学院的教职员工中作了“是否愿意将学校整体搬迁至雄安新区”的问卷调查，8个学院的调查人数及统计数据如下：调查人数()1020304050607080愿意整体搬迁人数()817253139475566请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出变量关于变量的线性回归方程（保留小数点后两位有效数字）；若该校共有教职员工2500人，请预测该校愿意将学校整体搬迁至雄安新区的人数；（2）若该校的8位院长中有5位院长愿意将学校整体搬迁至雄安新区，现该校拟在这8位院长中随机选取4位院长组成考察团赴雄安新区进行实地考察，记为考察团中愿意将学校整体搬迁至雄安新区的院长人数，求的分布列及数学期望.参考公式及数据： .答案部分模板一求函数值【变式训练】【答案】Af(8)= ，f(5)= ，所以f(8)f(5)=2故选A模板二函数的图象【变式训练】【答案】D【解析】为奇函数，图象关于原点对称，排除；当时，设，则，即在区间上递增，且，又在区间上，排除B；当时， ，排除C，故选D.模板三函数的零点问题【变式训练】【答案】【解析】作图，由图可得实数m的取值范围是模板四三角函数的性质【变式训练】【答案】模板五三角函数的图象变换【变式训练】【答案】C【解析】= 所以需把函数的图象向左平移个单位长度得到函数故选C模板六解三角形【变式训练】【解析】（1）由题意及正弦定理得，又，的周长为. 模板七利用函数性质解不等式【变式训练】【答案】A【解析】为偶函数，且在 单调递增，因为，所以 选A.模板八利用基本不等式求最值【变式训练】【答案】【解析】由，得=当且仅当且时等号成立的最小值为模板九不等式恒成立问题【变式训练】【解析】（）不等式可化为， 满足条件的的取值范围为. （）令 ，使的一切实数都有.当时， 在时， ，不满足题意；当时， 只需满足下式或或 解之得上述不等式组的解集均为空集，故不存在满足条件的的值.模板十简单的线性规划问题【变式训练】【答案】【解析】作出不等式组所对应的可行域，如图所示：当过点A时， 有最小值为.故选： 模板十一数列的通项与求和相减得， 则. 模板十二空间中的平行与垂直【变式训练】【解析】（）存在，E是的中点 证明：如图 由平面，且由（）知，平面，又是中点，因是底面圆的直径，得，且，平面，即为四棱锥的高 设圆柱高为，底面半径为，则， ， ，即 模板十三求空间角【变式训练】【解析】（1）连接， ， ，因为， ，所以和均为正三角形，于是设与的交点为，连接，则，又四边形是正方形，所以，而，所以平面所以、两两垂直如图，以点为坐标原点， 的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则， ， ， ， ， ， ，由，易求得设（），则，即，所以模板十四直线与圆的位置关系【变式训练】【答案】2【解析】圆，表示圆心为(1,0)，半径为1的圆.圆心（1，0）满足直线，即该直线过圆心，所以.答案为